Pemet aan banyak-ke-satu.

4. Pemet aan banyak-ke-satu.

Misalkan

B sedemikian sehingga t erdapat dua at au lebih anggot a himpunan A memiliki pet a yang sama di himpunan B, maka f disebut pemet aan banyak-ke-sat u ( many-one mapping). Pemet aan f: A

f: A

Bdikat akan banyak-ke-sat u jika x 1 , x 2 A, f(x 1 )= f(x 2 ) x 1 x 2.

5. Pemet aan

I ndentitas .

Misalkan

A sedemikian sehingga masing-masing anggot a himpunan di A dipet akan pada dirinya sendiri, maka f disebut pemet aan identit as yang dilambangkan dengan I. Secara simbolis, pemet aan ident it as dituliskan dengan not asi f: A

f: A

A jika f(x) = x, x

A. Pemet aan ident it as bersifat one-to-one dan onto.

Contoh 2.27: Diket ahui A = { 1, 2, 3} dan B = { 4, 5} . K lasifikasikanlah pemet aan berikut ini:

(i)

f = { (1, 4), (2, 5), (3, 5)} (ii) g = { (1, 4), (2, 5)}

Jawab:

(i) pemet aan f adalah pemet aan banyak-ke-sat u (ii) pemet aan g t idak dapat didefinisikan karena t idak t erdapat pet a

untuk 3. Contoh 2.28. Diket ahui f:

. K lasifikasikanlah pemet aan di bawah ini. (i) f(x) = 2x, dengan x

(ii) 2 f(x) = x , dengan x

Jawab: (i) pemet aan f(x) bersifat sat u-satu, dan ont o. (ii) Pemet aan f(x) bersifat banyak-ke-sat u, dan int o.

Contoh 2.29. Diket ahui f: . K lasifikasikanlah pemet aan di bawah ini.

2 (i) x f(x) = x (ii) f(x) = e (iii) f(x) = log (x) (iv) f(x) = t an x

Jawab:

(i) Pemet aan f(x) bersifat sat u-sat u, karena:

Selanjut nya, karena set iap bilangan real a memiliki akar kuadrat,

berart i f a = a = a . Hal ini menunjukkan bahwa pet a f

adalah semua bilangan real, dan karena itu pemet aan f t erhadap x bersifat onto . Dengan demikian pemet aan f(x) bersifat sat u-sat u

dan onto , at au bersifat bijektif.

(ii) Dapat ditunjukkan bahwa pemet aan f(x) bersifat sat u-sat u, karena

x 1 fx x 2 ()

1 = fx () 2 ⇒ e = e yang mengimplikasikan bahwa x 1 = x 2.

Selanjut nya dengan memisalkan x adalah sebarang bilangan real posit if, maka x f(x) = e adalah juga bilangan real posit if. Demikian

adalah bilangan real posit if. (iii) dan (iv) diselesaikan oleh mahasiswa sebagai lat ihan.

pula 1 f(- x) = e =

a. K esamaan Pemet aan

Misalkan f: A

B, maka pemet aan oleh f dan g dikat akan pemet aan yang sama jika f = g, x A.

B dan

g: A

b. Invers Pemet aan Misalkan

B adalah pemet aan bijekt if (sat u-sat u dan ont o), maka − pemet aan 1 f :B

f: A

A dimana f(a) = b dengan b

B adalah pet a dari a

A oleh f, dinamakan invers pet a dari f.

T eorema 2.2.

Jika f: A

B adalah pemet aan yang bersifat satu-sat u dan onto, maka invers pemet aan 1 − f :B

A juga adalah pemet aan yang bersifat sat u-satu dan onto.

Bukti:

Misalkan x 1 dan x 2 adalah sebarang anggot a himpunan A dengan x 1 x 2 , yang memiliki pet a y 1 dan y 2 sedemikian sehingga f(x 1 )= y 1 dan f(x 2 )= y 2. (1).

− 1 f − Jika 1 f adalah invers dari f, maka () y

1 = x 1 f − dan 1 () y 2 = x 2 (2).

K arena f adalah fungsi yang bersifat sat u-satu, maka unt uk x 1 x 2 f(x 1 )

f(x -1

y 1 y 2. [berdasarkan (1) dan (2)] . Jadi − t erbukt i bahwa 1 f bersifat sat u-satu

2 ). Oleh karena it u, f ( y 1 )

(3). Selanjut nya karena f bersifat ont o (diket ahui, lihat t eorema), maka semua elemen yang berbeda pada himpunan B merupakan pet a f dari elemen yang berbeda dari himpunan A. Demikian pula, semua elemen yang berbeda

− pada himpunan A merupakan pet a 1 f dari elemen yang berbeda dari

− himpunan B. Jadi, 1 f adalah pemet aan onto.

... (4). − Berdasarkan persamaan (3) dan (4) disimpulkan bahwa 1 f merupakan

pemet aan yang bersifat satu-sat u dan ont o.

T eorema 2.3.

− Jika 1 f: A B adalah pemet aan yang sat u-sat u dan ont o, maka f :B A adalah t unggal.

Bukti: Bukti:

A adalah dua pemet aan inversi dari

g = h.

Misalkan y adalah sebarang elemen himpunan B dan misalkan g(y) = x 1 sedemikian sehingga f(x 1 ) = y. Selanjut nya karena h adalah invers pemet aan dari

f, maka h(y) = x 2 f(x 2 )= y. K arena f adalah fungsi yang bersifat sat u-

sat u (diket ahui), maka f(x 1 ) = f(x 2 )

x 1 = x 2 (menurut definisi). Jadi g(y) = − h(y), at au h = y, menunjukkan bahwa 1 f adalah pemet aan yang unik.

F. Operasi Biner

Mahasiswa t ahun ket iga di perguruan t inggi t ent u sudah memahami operasi-operasi di dalam mat emat ika sepert i operasi penjumlahan dan perkalian, dalam sist em bilangan bulat . Operasi-operasi t ersebut merupakan cont oh operasi biner. Operasi biner adalah proses yang mengkombinasikan dua elemen himpunan (himpunan yang sama) untuk menghasilkan elemen ket iga dari himpunan t ersebut . Elemen yang ket iga ini haruslah bersifat unik, art inya haruslah t erdapat sat u dan hanya sat u hasil dari keombinasi kedua elemen pert ama, dan juga selalu t erdapat kemungkinan unt uk mengkombinasikan kedua elemen t ersebut . Untuk menegaskan perbedaan ant ara proses, operasi, dan kombinasi, diberikan definisi sebagai berikut :

Definisi 2.18 . Operasi Biner. Operasi Biner pada himpunan t ak kosong A adalah pemet aan f dari AxA ke A

it u sendiri. Dalam mat emat ika, t erdapat suat u kesepakat an unt uk mengasumsikan bahwa jika suatu definisi formal dit et apkan, maka definisi t ersebut secara ot omat is bersifat bikondisional. Definisi t ersebut disepakat i sebagai pernyat aan

jika dan hanya jika t anpa harus dituliskan secara eksplisit . Definisi 2.18 di at as dipahami sebagai definisi yang menyat akan bahwa f adalah suatu operasi jika dan hanya jika t anpa harus dituliskan secara eksplisit . Definisi 2.18 di at as dipahami sebagai definisi yang menyat akan bahwa f adalah suatu operasi

f adalah pemet aan dari A x A ke A. Operasi biner sudah didefinisikan dengan jelas, t et api sebagian makna konsep mungkin tidak t ercakup di dalamnya. Misalnya f adalah pemet aan dari

A x A ke A, maka f(x,y) yang didefinisikan untuk set iap pasangan berurut ( x,y) dari elemen-elemen A dan pet a f(x,y) adalah unik. Dengan kat a lain, elemen-elemen x dan y dari himpunan A dapat dikombinasikan sedemikian sehingga diperoleh suatu elemen ket iga di A yang bersifat unik, yaitu f(x,y). Hasil yang diperoleh dengan melakukan operasi biner t erhadap x dan y adalah f(x,y), dan satu-sat unya hal yang t idak umum adalah not asi hasil t ersebut . Biasanya hasil operasi biner dinyat akan dalam x + y dan x y. Not asi yang sama dapat dit uliskan dengan x * y unt uk menyat akan f(x,y). Jadi x* y menyat akan hasil dari suat u operasi biner * pada himpunan A , sama sepert i f(x,y) menyat akan sebarang nilai pemet aan dari A x A ke A .

Contohi 2.30. Dua cont oh operasi biner pada yait u pemet aan dari x ke yang didefinisikan sebagai berikut:

1. x* y = x + y 1, unt uk (x,y)

x.

2. x* y = 1 + xy, unt uk (x,y)

x.

Contoh 2.31. Operasi pada subset -subset A dan B dari U yang membent uk irisan A B, merupakan operasi biner pada kumpulan semua subset dari U . Hal yang sama juga berlaku pada operasi membent uk gabungan himpunan.

K arena kit a membahas t ent ang pasangan berurut an dalam hubungannya dengan operasi biner, maka hasil operasi biner antara x* y dengan y* x mungkin saja memiliki nilai yang berbeda.

Definisi 2.19. Komut atif, Assosiat if. Jika * adalah suat u operasi biner pada himpunan

A yang t ak kosong, maka * disebut komutatif jika x* y = y* x unt uk semua x dan y di A. Jika x* (y* z) =

( x* y)* z untuk semua x,y,z di A, maka operasi biner t ersebut dikat akan assosiatif.

Contoh 2.32. Operasi biner penjumlahan dan perkalian pada bilangan bulat bersifat komut at if dan juga assosiat if. Meskipun demikian, operasi biner pengurangan pada bilangan bulat t idak bersifat komut at if dan juga t idak assosiat if. Sebagai cont oh, 5 7 7 5, dan 9 (8 3) (9 8) 3. Contoh 2.33. Operasi biner * yang didefinisikan di sebagai berikut :

x* y = x + y 1

adalah operasi yang komut at if, karena

x* y = x + y 1 = y + x 1= y * x.

Operasi * juga bersifat assosiat if karena

x* (y * z) = x * (y + x 1) = x + (y+ x 1) 1 = x+y+z 2

dan

( x* y) * z = (x+ y 1) * z = ( x+ y 1) + z 1 = x+y+z 2

Contoh 2.34. Operasi biner * yang didefinisikan di sebagai x* y = 1+ xy adalah komut at if, karena

x* y = 1 + xy = 1 + yx = y * x

t et api t idak assosiat if, karena

( x* y) * z = (1 + xy) * z = 1 + (1 + xy)z = 1+ z + xyz

Jadi, dalam hal ini operasi biner * t idak assosiat if pada . K omut at if dan assosiat if merupakan sifat dari operasi biner it u sendiri. Sebaliknya, komut at if dan assosiat if dapat juga melekat pada sifat himpunan yang dioperasikan, dan sekaligus juga melakat pada operasi binernya.

Definisi 2.20. T ert ut up Misalkan * adalah operasi biner pada suatu himpunan t ak kosong A,

dan misalkan B

B dan y

A. Jika x * y merupakan elemen B unt uk semua x

B, maka B dikat akan tertutup t erhadap operasi * . Dalam hal khusus dimana B = A dalam Definisi 2.20, maka sifat t ert ut up akan berlaku secara ot omat is, karena hasil x * y adalah elemen A sesuai dengan definisi operasi biner di A.

Contoh 2.35. Misalkan operasi biner * didefinisikan pada , yaitu

x* y = |x|+ |y|, (x,y)

Himpunan B yang merupakan himpunan bilangan bulat negat if, t idak t ert utup t erhadap operasi * karena x = -1

B dan y = -2

B, t et api

x* y = (-1) * (-2) = |-1|+ |-2|= 3 B

Contoh 2.36. Definisi bilangan bulat ganjil dapat digunakan unt uk membukt ikan bahwa himpunan S yait u semua bilangan bulat ganjil, bersifat

t ert ut up dengan operasi perkalian. Misalnya x dan y adalah sebarang bilangan bulat ganjil. Berdasarkan definisi bilangan bulat ganjil, maka= 2 m+ 1 untuk suat u bulangan bulat m dan y = 2n+ 1 unt uk suat u bilangan bulat n. Operasi perkalian ant ara x dan y adalah:

xy = (2m+ 1)(2n+ 1) = 4 mn+ 2m+ 2n+ 1 = 2( mn+ m+ n) + 1 = 2 k+ 1 xy = (2m+ 1)(2n+ 1) = 4 mn+ 2m+ 2n+ 1 = 2( mn+ m+ n) + 1 = 2 k+ 1

Definisi 2.21. Elemen Ident itas Misalkan * adalah operasi biner pada suat u himpunan tak kosong A. Suat u

elemen e di dalam A disebut elemen ident it as t erhadap operasi biner * jika e memiliki sifat sedemikian sehingga

e* x= x* e= x

untuk semua x A.

Contoh 2.37. Bilangan bulat 1 merupakan suat u ident it as dengan operasi perkalian (karena 1 .x = x.1 = x), t et api bukan elemen ident it as unt uk

penjumlahan (karena 1+ x = x + 1 x).

Contoh 2.38. Elemen 1 merupakan ident it as unt uk operasi biner * yang dinyatakan dengan

x* y = x + y 1, (x,y)

karena

x* 1 = x + 1 1 = 1 * x = 1 + x 1 = x

Contoh 2.39. T idak ada elemen ident it as unt uk operasi biner * yang didefinisikan sebagai berikut

x* y = 1 + xy, (x,y)

karena t idak ada bilangan bulat z yang t et ap sehingga

x* z = z * x = 1 + xz = z unt uk semua x .

Definisi 2.22. Invers K anan, Invers K iri, Invers Misalkan e adalah elemen ident it as unt uk operasi biner * pada himpunan A,

dan misalkan a A. Jika t erdapat suatu elemen b A sedemikian sehingga a * b = e, maka b disebut invers kanan dari a t erhadap operasi yang dan misalkan a A. Jika t erdapat suatu elemen b A sedemikian sehingga a * b = e, maka b disebut invers kanan dari a t erhadap operasi yang

Contoh 2.40. Set iap elemen x memiliki invers dua sisi (- x + 2) dengan operasi biner * yang didefinisikan

x* y = x + y 1, (x,y)

karena

x* (-x + 2) = x x + 2 1 = (-x + 2) * x = -x + 2 + x 1 = 1 = e

G. Soal-Soal

Untuk set iap pernyat aan di bawah ini, t entukan pernyat aan yang benar dan pernyat aan yang salah.

1. Dua himpunan dikat akan sama jika dan hanya jika keduanya memiliki anggot a himpunan yang t epat sama.

2. Jika A adalah subset dari B dan B adalah subset dari A, maka A dan

B adalah himpunan yang sama.

3. Himpunan kosong adalah subset dari semua himpunan kecuali dirinya sendiri.

4. A A = unt uk semua himpunan A.

5. A ∪ A= A ∩

A unt uk semua himpunan A.

6. A ⊂

A unt uk semua himpunan A.

7. { a, b} = { b, a}

8. { a, b} = { b, a, b}

9. A B = C B, menunjukkan bahwa A = C unt uk semua himpunan

A, B, dan C.

10. A B = A C, menunjukkan bahwa B = C unt uk semua himpunan

A, B, dan C.

11. A x A = A, untuk set iap himpunan A.

12. A x = untuk set iap himpunan A.

13. Jika diket ahui

B dengan A dan B adalah himpunan t ak kosong, maka -1 f ( f(S)) = S unt uk set iap subset S dari A.

f: A

14. Jika diket ahui

B dengan A dan B adalah himpunan t ak kosong, maka -1 f ( f(S)) = T unt uk set iap subset T dari B.

f: A

15. Misalkan f: A

B, maka f(A) = B unt uk semua himpunan t ak kosong

A dan B.

16. Set iap pemet aan yang bijekt if adalah juga pemet aan yang sat u-satu dan ont o.

17. Suatu pemet aan dikat akan ont o jika dan hanya jika kodomain dan rangenya sama.

18. Misalkan g: A

A, maka ( f g)(a) = (g f)(a) unt uk set iap a A.

19. K ompisisi pemet aan merupakan operasi yang assosiat if. Selesaikanlah lat ihan-lat ihan di bawah ini.

20. Gambarkanlah himpunan A dengan menyebut kan sifat -sifat keanggot aannya.

21. Jika didefinisikan A = { 2, 7, 11} dan B = { 1, 2, 9, 19, 11} , apakah set iap pernyat aan di bawah ini benar?

22. Jika diket ahui A dan B adalah sebarang himpunan, t entukanlah apakah pernyat aan berikut ini benar at as salah.

23. Untuk semua himpunan A, B, C, nyat akanlah pernyat aan berikut ini benar at au salah.

a. A C ∩ A = f. A ∩ = A ∪

b. A ∩ (B ∪

C) = A ∪ (B ∩ C)

g. A ∪ (B C )= A ∪ (B ∪ C)

24. T ent ukanlah anggot a dari himpunan-himpunan berikut , jika: U = { 0, 1, 2, 3, ,10}

25. Nyat akan himpunan di bawah ini sebagai himpunan A, A C , U , at au , jika A adalah sebarang himpunan, dan U adalah himpunan semest a.

26. T uliskan himpunan kuasa (power set )P(A) dari himpunan A di bawah ini.

a. A = { a}

e. A = { 0, 1}

b. A = { a, b, c}

f. A = { 1, 2, 3, 4}

c. A = {1, {1} }

g. A = {{ 1} }

d. A = { }

h. A = { ,{ }}

27. T uliskan dua part isi dari masing-masing himpunan di bawah ini.

a. { x|x adalah semua bilangan bulat }

b. { 1, 5, 9, 11, 15}

c. { a, b, c, d}

d. { x|xadalah semua bilangan bulat }

28. T uliskan semua part isi yang berbeda dari himpunan A di bawah ini.

a. A = { 1, 2, 3}

b. A = { 1, 2, 3, 4}

29. Misalkan himpunan A memiliki + n anggot a, dengan n .

a. T ent ukan banyaknya anggot a himpunan kuasa ( power set) P(A).

b. Jika 0

n, t ent ukan banyaknya anggot a himpunan kuasa (power set ) P(A) yang t erdiri at as k elemen.

30. T ent ukan syarat yang paling umum yang harus t erpenuhi agar subset - subset A dan B (di dalam U ) memenuhi kesamaan berikut ini.

31. Diket ahui adalah himpunan semua bilangan bulat , dan A= { x|x = 3p 2 unt uk suat u p } B= { x|x = 3q+ 1 untuk suatu q } Bukt ikan bahwa A = B

32. Diket ahui adalah himpunan semua bilangan bulat , dan C= { x|x = 3r 1 unt uk suat u r } D= { x|x = 3s+ 2 untuk suat u s } Bukt ikan bahwa C = D

Bukt ikanlah set iap pernyat aan berikut ini.

33. A ∩ B ⊆ A ∪ B

34. Jika A ⊆

B dan B ⊆

C maka A ⊆ C

35. A ∪ (B ∪

C) = (A ∪ B) ∪ C

36. (A C ∩ B)C = A ∪

BC 53

39. Jika A ⊆

B maka A ∩ C ⊆ B ∩ C

C 43. A C ⊆ B jika dan hanya jika B A

47. Jika A ⊆

B maka A ∪ C ⊆ BC

B jika dan hanya jika A ∩ B= A

52. A ∪ B= A ∪

C berart i B = C

53. A ∩ B= A ∩

C berart i B = C

54. P(A ∪

B) = P(A ) ∪ P(B).

55. P(A ∩

B) = P(A) ∩ P(B).

56. P(A -B) = P(A)-P(B).

57. Nyat akan (A ∪

B) (A ∩

B) dalam bent uk gabungan dan irisan dari

C himpunan-himpunan A, A C , B, dan B .

58. Misalkan operasi penjumlahan subset A dan B didefinisikan dengan

A + B = ( A ∪ B )( − A ∩ B ) . Gambarkanlah masing-masing pernyat aan

dibawah ini dengan menggunakan diagram Venn.

a. A + B = (A-B) ∪ (B-A)

b. A + (B + C) = (A + B) + C

c. A ∩ (B + C) = (A ∩

B) + (A ∩ C)

59. Dengan menggunakan operasi penjumlahan,bukt ikanlah bahwa

a. A + A =

b. A + + A

60. T ent ukan hasil perkalian Cart esian unt uk masing-masing himpunan di bawah ini.

61. Untuk set iap pemet aan di bawah ini, t entukanlah domain, kodomain, dan rangenya, jika f: E

a. f(x) = x / 2, x E.

b. f(x) = |x|, x E.

c. f(x) = x, x E.

d. f(x) = x + 1,x E.

62. T ent ukanlah -1 f(S) dan f (T ) untuk set iap S dan T dengan f:

a. f(x) = |x|; S = -E, T = { 1, 3, 4}

 + x 1 ji ka x genap

b. f(x) =  S = { 0, 1, 5, 9} , T = - E. x

 ji ka x ganjil

c. 2 f(x) = x ; S = { -2, -1, 0, 1, 2} , T = { 2, 7, 11}

d. f(x) = |x|-x; S = T = { -7, -1, -, 2, 4}

63. Untuk set iap pemet aan berikut ini, f:

a. f(x) = 2x

g. f(x) = x+ 3

b. 3 f(x) = 3x h. f(x) = x

c. f(x) = |x|

d. h. f(x) = x -|x| x

e. f(x) =   2-1 x jika x ganjil 

ji ka x genap

f. f(x) = 

ji ka x genap

 x -1  jika x ganjil

64. Untuk set iap pemet aan f: di bawah ini, nyat akan pemet aan t ersebut bersifat ont o, at au bersifat satu-sat u.

a. 3 f(x) = 2x d. f(x)= x

b. f(x) = 3x

e. f(x)= |x|

c. f(x) = x+ 3 f. f(x)= x -|x|

65. Untuk himpunan-himpunan A dan B yang merupakan subset -subset di bawah ini, misalkan f(x) = 2x, t ent ukan apakah pemet aan f: A B bersifat ont o (surjekt if) at au sat u-satu (injekt if).

a. A = ,B= .

b. A = ,B=

66. Untuk himpunan-himpunan A dan B yang merupakan subset -subset dari , misalkanlah f(x) = |x|, kemudian t entukan apakah f: A B bersifat ont o (surjekt if) at au sat u-satu (injekt if).

67. Untuk pemet aan f: , t ent ukanlah apakah f bersifat ont o at au sat u.

 x

a. f(x) =  2

ji ka x genap

 0  jika x ganjil

b. f(x) =  0 ji ka x genap

 2 x

 jika x ganjil

 + 2 x 1 ji ka x genap

c. f(x) = +  x 1

 jika x ganjil  2

 x

d. f(x) =  2

ji ka x genap

 x -3  jika x ganjil

68. Misalkan A = -{ 0} dan B = . Untuk suatu pemet aan

f: A B, bukt ikanlah f ont o at au sat u-satu. x − 1 2 x − 1

a. f(x) =

c. f(x) =

b. f(x) = 2 d. f(x) = 2

69. Untuk masing-masing pemet aan

B di bawah ini, bukt ikanlah f ont o at au sat u-satu.

f: A

a. A= x,B= x, f(x,y) = (y, x)

b. A= x,B= , f(x,y) = x + y

c. A= x,B= , f( x) = x

d. A= ,B= x , f( x) = (x, 1)

e. A= +x+ ,B= , f( x,y) = x / y

f. A= x ,B= , f( x,y) = 2x + y

70. Untuk set iap f:

yang didefinisikan di bawah ini, t ent ukanlah (f g)( x), dengan x

dan g:

 x

untuk x genap

a. f(x) = 2x,g(x) = 

2-1 x  untuk x ganjil

b. 3 f(x) = 2x,g(x) = x

 x

c. f(x) = x + |x|, g(x) =  2

untuk x genap

− x untuk x ganjil 

 x untuk x genap

d. f(x)=  2  + x 1 untuk x ganjil

 dan

 − x 1 untuk x genap

e. g(x) =  2 x

 untuk x ganjil

f. 2 f(x) = x , g( x)= x -|x|

71. Misalkan

B, dengan A dan B adalah himpunan-himpunan tak kosong.

f: A

a. Bukt ikan bahwa f(S 1 ∪ S 2 )= f(S 1 ) ∪ f(S 2 ) unt uk semua subset S 1 dan S 2 dari himpunan A.

b. Bukt ikan bahwa f(S 1 ∩ S 2 ) f(S 1 ) ∩ f(S 2 ) untuk semua subset S 1 dan S 2 dari himpunan A.

c. Berikan cont oh yang menunjukkan bahwa ada subset S1 dan S2

dari himpunan A sedemikian sehingga f(S1 ∩ S2) f(S1) ∩ f(S2).

d. Bukt ikan bahwa f(S1) f(S2) f(S1 S2) untuk semua subset S1 dan S2 dari himpunan A.

e. Berikan cont oh yang menunjukkan bahwa ada subset S1 dan S2

dari himpunan A sedemikian sehingga f(S1) f(S2) f(S1 S2).

72. Jika suat u operasi biner pada suatu himpunan tak kosong A bersifat komut at if, maka t erdapat elemen ident it as untuk himpunan A t ersebut .

73. Jika * adalah suatuoperasi biner pada himpunan t ak kosong A, maka

A t ert utup pada operasi * .

74. Misalkan A = { a, b, c} . Powerset P(A) t ert ut up pada operasi biner ∩ .

75. Misalkan A = {

adalah elemen ident it as dari P(A) dengan operasi biner ∩ .

a, b, c} , maka himpunan kosong

76. Misalkan A = { a, b, c} , maka power set P(A) t ert ut up t erhadap operasi gabungan ∪ .

77. Misalkan A = { a, b, c} , maka himpunan kosong adalah elemen ident it as dari P(A) dengan operasi biner ∪ .

78. Sebarang operasi biner yang didefinisikan pada suat u himpunan yang hanya memiliki sat u elemen, selalu bersifat komut at if dan assosiat if.

79. Elemen ident it as dan invers selalu t erdapat di dalam suat u himpunan yang hanya memiliki sat u elemen, yang padanya operasi biner dapat didefinisikan.

80. Himpunan semua bijeksi dari A ke A bersifat t ert ut up dengan operasi biner komposisi yang didefinisikan pada himpunan semua pemet aan dari A ke A.

81. T ent ukanlah, apakah himpunan B yang diberikan di bawah ini bersifat t ert ut up pada operasi biner yang didefinisikan pada himpunan bilangan bulat . Jika B t idak t ert ut up, t unjukkan elemen-elemen x

B dan y

B sedemikian sehingga x*y B.

 1 jika x > 0 sgn x=  0 jika x = 0 .

  -1 jika x < 0 

e. + x* y = |x |y|, B = .

f. + x* y = x + xy, B = .

g. x* y = xy x-y, B himpunan bilangan bulat ganjil.

h. x* y = xy, B = Bilangan bulat ganjil yang posit if.

82. Pada set iap pernyat aan di bawah ini, diberikan suatu aturan yang menent ukan operasi biner * pada himpunan . T entukanlah sifat masing-masing pernyat aan t ersebut , apakah komut at if, assosiat if, dan apakah memiliki ident it as. T ent ukan juga invers dari elemen yang t erbalikkan.

d. x* y = 3(x+ y) k. x* y = |x|-|y|

e. x* y = 3xy

l.

x* y = |x y|

f. + x* y = x y m. x* y = x , x,y

g. + x* y = x + xy+ y n. x* y = 2 , x,y

xy

83. Misalkan S adalah suatu himpunan yang t erdiri at as t iga elemen, yait u S = { A, B, C} . Dalam t abel yang diberikan di bawah ini, x*y menyat akan perkalian ant ara elemen pert ama pada kolom paling kiri, dengan elemen kedua pada baris paling at as. Cont ohnya, B * C = C dan C * B = A.