Grup perkalian ( {} − 1, 1 , ) adalah subgrup dari grup perkalian ( { − 1, 1, , i − i } , ) .

1. Grup perkalian ( {} − 1, 1 , ) adalah subgrup dari grup perkalian ( { − 1, 1, , i − i } , ) .

2. Grup penjumlahan dari bilangan bulat adalah subgrup dari grup

penjumlahan bilangan rasional. () , + merupakan subgrup dari () , + .

3. ( − {} 0, • ) adalah subgrup dari ( − {} 0, • ) .

Contoh 4.13. Apa syarat nya agar A ∪ B adalah subgrup dari G . Jawab: Gabungan dua buah subgrup dari suatu grup G adalah suatu subgrup

jika dan hanya jika salah sat u dari subgrup t ersebut t ermuat di dalam subgrup yang lain.

Bukti:

() ⇐ Misalkan H 1 dan H 2 adalah dua subgrup dari grup G . Anggap H 1 ⊆ H 2

at au H 2 ⊆ H 1 akibat nya H 1 ∪ H 2 = H 2 at au H 1 K arena H 1 , H 2 adalah subgrup

dari G , maka H 1 ∪ H 2 juga merupakan suatu subgrup.

() ⇒ Misalkan H 1 dan H 2 adalah dua subgrup dari suat u grup G sedemikian

sehingga H 1 ∪ H 2 juga subgrup dari G. Akan ditunjukkan H 1 ⊆ H 2 at au

H 2 ⊆ H 1 . Andaikan H 1 ⊆ H 2 dan H 2 ⊆ H 1 . H 1 ⊆ H 2 art inya ada suat u elemen H 2 ⊆ H 1 . Andaikan H 1 ⊆ H 2 dan H 2 ⊆ H 1 . H 1 ⊆ H 2 art inya ada suat u elemen

a ∈ H 1 ⇒∈ a H 1 ∪ H 2 b ∈ H 2 ⇒∈ b H 1 ∪ H 2

Berdasarkan asumsi

H 1 ∪ H 2 adalah suatu subgrup, maka

a ∈ H 1 ∪ Hb 2 , ∈ H 1 ∪ H 2 ⇒ ab ∈ H 1 ∪ H 2

T et api, ab ∈ H 1 ∪ H 2 ⇒ ab ∈ H 1 at au ab ∈ H 2

Perhat ikan bahwa: ab ∈ H 1 , dan karena H 1 subgrup maka

K ont radiksi dengan b ∉ H 1

Misalkan ab ∈ H 2 , dan karena H 2 subgrup maka ab ∈ Hb 2 , ∈ H 2 ⇒ ab ∈ Hb 2 , − 1 ∈ H 2

⇒ abb − 1 ∈ H 2 ⇒ ae ∈ H 2 ⇒∈ a H 2

K ont radiksi dengan a ∉ H 2

Jadi, pengandaian salah yang benar adalah H 1 ⊆ H 2 at au H 2 ⊆ H 1

Definisi 4.5 Pangkat Bilangan Bulat

Misalkan

G adalah suat u grup dengan operasi biner perkalian maka unt uk sebarang a ∈ G didefinisikan pangkat bilangan bulat non negat if sebagai a 0 = 1 a 1 = a

a k + 1 a k . , unt uk sebarang a k

Pangkat bilangan bulat negat if didefinisikan sebagai a − k = ( a − 1 ) k . Hal ini biasa digunakan untuk menuliskan operasi biner penjumlahan dalam kasus grup abelian. Pada saat operasi penjumlahan berkorespondensi dengan perkalian dari a didefinisikan dengan cara yang serupa. T abel berikut ini menunjukkan bagaimana not asi notasi t ersebut berkorespondensi dengan k bilangan bulat posit if.

Not asi Perkalian Not asi Penjumlahan

a k + 1 = a k . a ( k + 1) a = ka + a

( − ka ) =− ka ( )

Not asi ka pada not asi penjumlahan t idak menunjukkan hasil kali k dengan a melainkan suat u jumlah

ka = a +++ a a ... + a

sebanyak k suku. Pada 0a = 0, nol disebelah kiri merupakan bilangan bulat dan nol disebelah kanan menyat akan identit as penjumlahan dalam grup. Anggap banyaknya keragaman dari operasi operasi dan himpunan himpunan yang t erlibat dalam cont oh-cont oh bakal menjadi kejut an dan keyakinan untuk menentukan t eorema selanjutnya yang dikenal dengan sifat -sifat pangkat yang berlaku pada grup.

Definisi 4.6. Jika a ∈ G dan k ∈ maka didefinisikan :

Pada operasi penjumlahan

 + + + a a a ... + ak , > 0

ka =  ek , = 0 

 − + − + − + ( a ) ( a ) ( a ) ... +− ( a ), k < 0

Pada operasi perkalian  aaa . . . ... . , ak > 0

a k =  ek , = 0

 1 1 1 a 1 − . a − . a − . ... . a − , k < 0

 Secara umum, pada (

G, * )

 aaa * * * ... * , ak > 0 a k =  ek , = 0

 − 1 − 1 − 1 a 1 * a * a * ... * a − , k < 0

 T eorema 4.1. Sifat -Sifat Pangkat Bilangan Bulat

Jika xy , ∈ G dan mn , ∈ maka

() ax n . x − n = e () bx m . x n = x mn +

()( c x mn ) = x mn ( ) Jika d G abelian, ( xy ) n

xy = nn

(a) Kasus (i)

Jika e adalah elemen ident it as pada grup G maka unt uk sebarang nbilangan bulat , e n = e

K asus (1) : untuk o n = 0makae = e K asus (2) : untuk n> 0

(a). Untuk 1 n = 1 maka e = e

e, benar untuk n = k (c). Akan dibukt ikan, n e = e benar unt uk n = k + 1,

(b). Diasumsikanbahwa k e =

Untuk k n = k + 1, e = e . e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definisi 4.6. = e . e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipot esis induksi

k+ 1

= e Jadi, n e = e, ∀∈ n +

K asus (3) : untuk n< 0 Misal. n = -p, unt uk sebarang bilangan posit ifp

- e p = e -1 = ( p e ) .......................

. . . . . . . . . . Definisi 4.6. = p e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... adalah elemen ident it as G

e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kasus (2) pada kasus (i) Jadi, n e = e untuk sebarang n bilangan bulat

(b) Kasus (ii)

Jika x ∈ G dan n ∈ Untuk n= 0

x n . x − n = x 0 . x − 0 = x 0 . x 0 ............................ 0 −= 0 = ee . ............................... Definisi 4.6.

= e ...................................... K asus(2) pada kasus(i)

- Jadi, n x .x =

e, benar unt uk n = 0 Untuk n> 0

Untuk -1 n = 1 maka x .x = x. x = e(eksist ensi invers perkalian

1 -1

- Jadi, n x .x =

e, benar unt uk n = 1

- Diasumsikan k x .x = e,benar untuk n = k

- Akan dibukt ikan n x .x =

e, benar unt uk n = k + 1

Untuk n = k + 1, x k + 1 x 1) −+ ( . k

= ( x k . ).( x x − 1 ) k + 1 Definisi 4.6.

= ( x k . ). ( x  − 1  x ).( k x − 1 )  

 Definisi 4.6. 

= ( x k . ) .( x x − k . x − 1 ) ..............

Definisi 4.6. = ( x k . ) .( x x − k . x − 1 ) . .............. e Eksist ensi ident it as per kalian

= ( x k . xx ). − 1 .( x − k . x − 1 ) . ... x

Eksist ensi invers perkalian

= x k . (. xx − 1 ). x − k .( x − 1 . ) ..... x

Assosiat if = x k .. ex − k . ......................... e Eksist ensi invers perkalian

= ( x k . ) .( e x − k . ) ............ e ........

Assosiat if

x = k . x − k ................................ E ksist ensi ident it as perkalian = e ........................................

Hipot esis induksi

- Jadi, n x .x =

e, unt uk sebarang bilangan bulat posit if. Untuk n< 0 Misal. n = -p, unt uk sebarang p bilangan bulat posit if

-(- x p) .x = x .x

= p x .x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (- p)= p = e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p bilangan bulat posit if

Dari kasus (i) dan(ii)dapat disimpulkan bahwa

x n . x − = e , unt uk x ∈ G dan n ∈

(b) Jika m sebarang bilangan bulat posit if yang t et ap, maka ada t iga kasus yang perlu diperhat ikan unt uk n: (i) Untuk n = 0, maka

Definisi 4.6. = x m

= x m . e ............................

Eksist ensi ident it as perkalian dan x mn + = x mo +

x = m ............................... Eksist ensi ident it as penjumlahan Jadi, x m . x n = x mn + , n = 0

(ii) Untuk nbilangan bulat positif Untuk n = 1 maka x m . x n = x m . x 1

= x m . x .......................

Definisi 4.6.

= x m + 1 ......................

Definisi 4.6.

= x mn + Jadi, x m . x n = x mn + benar untuk n= 1 Diasumsikan x m . x k = x mk + benar unt uk n= k Akan dibukt ikan x m . x n = x mn + benar, untuk n= k+ 1 Unt uk n = k + 1 maka = x mn + Jadi, x m . x n = x mn + benar untuk n= 1 Diasumsikan x m . x k = x mk + benar unt uk n= k Akan dibukt ikan x m . x n = x mn + benar, untuk n= k+ 1 Unt uk n = k + 1 maka

Definisi 4.6.

= ( x m . k x ). x .........................

Assosiat if = x mk + . x ..................................

Hipot esis induksi ( x mk ++ = )1

Definisi 4.6. x = m ++ ( k 1) .................................

Assosiat if = x mn +

Jadi, x m . x n = x mn + benar untuk n = k + 1. Dengan demikian, x m . x n = x mn + , ∀∈ n +

(iii) Untuk nbilangan bulat negat if, art inya n = - p,p bilangan bulat posit if K it a perhat ikan tiga kemungkinan untuk p, yaitu p = m, p < m, dan m < p, maka Jika p = m maka n = - p = -m, dan

T eorema 3.12(a) dan

= e ................

x mn + = x mm − = x 0 .....Eksist ensi invers jumlahan

= e .........

Definisi 4.6.

Jadi, x m . x n = x mn + berlaku untuk p= m

Jika p < m, misal m p = q maka m = q + p, dimana qp , ∈ z + K it a t elah membukt ikan bahwa T eorema 4.1(b) berlaku unt uk m

dan n bilangan bulat posit if, selanjut nya kit a boleh menggunakan x qp + = x q . x p . Dengan demikian, dan n bilangan bulat posit if, selanjut nya kit a boleh menggunakan x qp + = x q . x p . Dengan demikian,

(. q p xx ). x − = p

= p x .( x . x − ) A ssosiat if

= q xe .

T eorema 3.12(a)

E ksistensi identit as perkalian q = 0 x +

Eksist ensi ident it as penjumlahan x q + ( p − p = )

E ksist ensi invers penjumlahan

A ssosiat if

m + = n x Jadi, x m . x n = x mn + berlaku untuk p< m Akhirnya, andaikan m < p, misal r = p m sehingga r bilangan

bulat positif dan p= m+ r - Oleh definisi p x ,

( x − = 1 = ) mr +

D efinisi 4.6

= ( x − 1 ).( m x − 1 ) r T eorema 3.12 b unt uk () m,r ∈ Z +

= x − m . x − r D efinisi 4.6

Subt itusikan n x ke dalam x .x , diperoleh

- =( r x .x ) .x assosiat if - = r e.x T eorema 4.1(a)

- = r x eksist ensi ident itas perkalian dan

x m-p = x = m (m+ r) x ( = m-m)- x Assosiat if

m+ n

= 0 r x Eksist ensi invers penjumlahan - = r x Eksist ensi identit as penjumlahan

Jadi, x m . x n = x mn + berlaku untuk m< p

K it a t elah membukt ikan bahwa m x . x n = x mn + unt uk m bilangan bulat posit if

dan n sebarang bilangan bulat . Tentu saja bukt i ini belum lengkap unt uk T eorema 4.1(b). Bukt i t ersebut akan lengkap, jika ditunjukkan berlaku juga untuk n bilangan bulat posit if yang t et ap, m = 0 dan m bilangan negatif. Bukt i-bukt i ini serupa dengan bukt i-bukt i yang t elah diberikan. (c)

Jika mn , ∈ dan x ∈ G maka

K asus (i) : Untuk m dan n bilangan bulat positif ( x mn ) = x m . x m . x m . ...

. x m (sebanyak fakt or) definisi n mmm ++++ ... m (sebanyak n suku )

T eorema 3.12 b ()

= x mn

K asus (ii) : Unt uk m bilangan bulat posit if dan n bilangan bulat negat if, misal n = - q, untuk suat u q bilangan bulat posit if

( x mn ) = ( x m ) − q − 1  q 

D = ef.4.6 ()

D ef. 4.6

= x − m . x − m . x − m . ... . x − m (sebanyak q fakt or) = x − mq

m ( = q x − ) = x mn

........................................... n =− q

K asus (iii) : Unt uk n bilangan bulat posit if dan m bilangan bulat negat if, misal m = -p untuk suat u p bilangan bulat posit if

( x mn ) = ( x − p ) n x − p

= p . x − . a − . ... . x − (sebanyak n fakt or)

= pn x − ( − pn = )

x = x mn

........................................... m =− p

K asus (iv): untuk m dan n bilangan bulat negat if, misal m = -p dan n =- q untuk suatu p dan q bilangan bulat posit if.

( x mn ) = ( x −− p ) q

= (( x p ) − 1 ) − q Definisi 4.6 p −− ( q )

Definisi 4.6

= ( x pq )

karena −−= ( q ) q

= x pq

kasus i ()

= x mn

karena ( pq = mn )

Dari kasus (i) (iv) disimpulkan bahwa mn ( a ) = a mn , a ∈ G dan m n , ∈ Z

(d) Jika n ∈ Z dan xy , ∈ G abelian maka

K asus (i) : untuk n = 0, ( 0 xy) =

e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Definisi 4.6 dan

0 x 0 .y = e . e. . . . . . . . . . . . . . . . . Definisi 4.6 =

e. . . . . . . . . . Eksist ensi identit as perkalian

Jadi,( n xy) = x .y ,unt uk n= 0 K asus (ii) : unt uk n bilangan bulat positif

nn

1 1 Untuk 1 n = 1 maka (xy) = xy dan x .y = xy

Jadi,( n xy) = x .y , berlaku untuk n=1

nn

Diasumsikan ( k xy) = x .y benar unt uk n= k

Akan dibukt ikan, ( n xy) = x .y , benar unt uk n= k+1 Untuk n = k + 1 maka

( xy ) k += 1 ( xy ).( k xy ) ............

Definisi 4.6 = ( x k . y k ).( xy )............

Hipot esis induksi = ( x k . )( xyy k . ) ............

Assosiat if dan komut at if

= x k + 1 . y k + 1 ............

D efinisi 4.6 Jadi, ( xy ) n = x n . y n , ∀∈ n Z + K asus (iii) : unt uk n bilangan bulat negat if,misal n = -p, untuk

suat u p bilangan bulat posit if

( xy ) n = ( xy ) − p p

= ( xy ) − 1 ( Definisi 4.6 )

= x − 1. . y − ( 1 )

= ( x − 1 ).( p y − 1 ) K asus (ii) p

Definisi 4.6

= x n . y n .......... n = -p

Berdasarkan kasus (i), (ii), dan (iii) dapat disimpulkan bahwa ( xy ) n = x n . y n , ∀∈ n Z dan , xy ∈ G

Sifat -sifat eksponen pada T eorema 4.1 dapat dit erjemahkan ke dalam sifat - sifat kelipat an pada grup G dengan operasi penjumlahan.

Sifat-Sifat Kelipatan

(a) nx + (-n)x = 0x T eorema 4.1 (a) (b) mx + nx = (m + n)x

T eorema 4.1(b) (c) n(m x)= (nm)x

T eorema 4.1(c) (d) Jika

G abelian maka n(x+ y)= nx + ny T eorema 4.1(d)

Jika n G suat u grup, a ∈ G dan H = { x ∈ Gx : = an , ∈ Z } maka

H t idak kosong, karena ∃= x a 1 =∈ 1 a H dan H = {, aa − ,} e ⊆ G

Jika n x = a ∈ H dan y = a ∈ H maka

xy = a m . a n = a mn + ∈ H x − 1 = a − m ∈ H

∃ x − 1 = a − m ∈ H , − m ∈ Z Jadi, menurut T eorema 4.1 H adalah suat u subgrup.

A.5. Kelas Ekuivalen

Contoh 4.14. Himpunan M = { [1], [3]} ⊆ 8 dengan operasi perkalian. Selidiki apakah (M, x) adalah grup.

Jawab :

Dengan membuat T abel Cayley diperoleh:

x [1] [3] [1] [1] [3] [3] [3] [1]

Selanjut nya dari t abel di at as maka diperoleh :

1. operasi x pada M bersifat t ertut up.

2. [1] x ([1] x [1]) = [1] = ([1] x [1]) x [1] [3] x ([1] x [1]) = [3] = ([3] x [1]) x [1] [1] x ([1] x [3]) = [3] = ([1] x [1]) x [3] [3] x ([1] x [3]) = [1] = ([3] x [1]) x [3] [1] x ([3] x [1]) = [3] = ([1] x [3]) x [1] [3] x ([3] x [1]) = [1] = ([3] x [3]) x [1] [1] x ([3] x [3]) = [1] = ([1] x [3]) x [3] [3] x ([3] x [3]) = [3] = ([3] x [3]) x [3] Disimpulkan bahwa operasi x pada M bersifat asosiat if

3. Ada [1] M, sedemikian sehingga untuk sebarang elemen[ a] di M berlaku [1] x [ a] = [a] dan [a] x [1] = [a].

4. Set iap elemen di M memiliki invers, dengan inversnya di Minvers dari [1] adalah [1] dan invers dari [3] adalah [3] karena memenuhi empat aksioma grup, maka (M, x) adalah grup. ((M, x) juga merupakan grup abelian, karena operasi x pada M bersifat komut at if).

Cont oh-cont oh grup: (a) Sist im bilangan , , at au dengan operasi jumlah. (b) Bilangan real posit if, dengan operasi perkalian. (c) Bilangan kompleks t ak nol (bilangan real at au rasional) dengan operasi

perkalian. Himpunan elemen-elemen t ak-nol dalam

f dilambangkan f dilambangkan

(d) Himpunan mat riks n x n dengan ent ri-ent rinya (elemen-elemennya) t erdiri at as bilangan real dengan operasi perkalian mat riks. Perkalian mat riks-mat riks AB yang masing-masing berukuran n x n adalah

mat riks-mat riks t erbalikkan dengan invers B -1 A . Perkalian mat riks bersifat assosiat if, sehingga perkalian mat riks membent uk sifat

assosiat if perkalian pada himpunan mat riks n x n yang t erbalikkan. Mat riks ident it as E, yaitu mat riks dengan elemen diagonal t erdiri at as bilangan 1 dan elemen lainnya t erdiri at as bilangan 0, merupakan elemen ident it as unt uk perkalian mat riks, dan invers suat u mat riks adalah invers perkalian mat riks.

A.6. V irtues of Abstraction

Abstraksi, yait u proses perubahan fenomena rekurensi menjadi suat u konsep, memiliki beberapa t ujuan dan keuntungan. Pert ama, abst raksi merupakan suat u perangkat unt uk mengorganisasikan pengert ian mengenai fenomena. Untuk memahami fenomena, abst raksi membant u melakukan klasifikasi menurut sifat -sifat umumnya. K edua, abst raksi menghasilkan efisiensi dengan mengeliminasi argumen-argumen yang sebenarnya t idak diperlukan. Hasil operasi t ert entu dapat berlaku pada semua grup, at au pada semua grup berhingga, at au pada semua grup yang memenuhi hipot esis- hipot esis t ert ent u. Pembukt ian hasil operasi t idak perlu dilakukan berkali-kali set iap menemui masalah yang seruap dalam grup simet ri, grup permut asi, mat riks t erbalikkan, dan sebagainya, t et api cukup dengan satu kali pembukt ian untuk semua sifat yang sama, unt uk semua grup (untuk semua grup berhingga, untuk semua grup yang memenuhi sifat -sifat t ert ent u).

K euntungan yang paling ut ama dari abst raksi adalah bahwa abst raksi memungkinkan kit a unt uk menganalisa objek-objek dari kelompok yang berbeda dan mencari hubungannya sat u dengan yang lainnya. Dengan demikian pemahaman t erhadap objek-objek secara t erpisah dapat lebih K euntungan yang paling ut ama dari abst raksi adalah bahwa abst raksi memungkinkan kit a unt uk menganalisa objek-objek dari kelompok yang berbeda dan mencari hubungannya sat u dengan yang lainnya. Dengan demikian pemahaman t erhadap objek-objek secara t erpisah dapat lebih

2 persegi, misalkan himpunan 3 = { e, r, r , r } . Perhat ikan bahwa himpunan ini merupakan subset dari grup simet ri, adalah suat u grup dengan (operasi)

komposisi simet ri. Sebaliknya, himpunan 4 = { i, -1, -i, 1} akar- akar keempat dari 1 dalam bilangan kompleks, adalah suat u grup dengan operasi perkalian bilangan kompleks. Grup pada dasarnya sama dengan grup . Bijeksi ant ar kedua grup ini didefinisikan sebagai berikut:

e 1 r i r 2 -1 r 3 -i

Berdasarkan sifat bijekt if ini, t abel perkalian ant ara dua grup dapat disusun. Jika sifat bijekt if dit erapkan t erhadap masing-masing ent ri di dalam t abel perkalian , maka diperoleh t abel perkalian H. Jadi, meskipun grup berasal dari kont eks yang berbeda, grup-grup t ersebut pada dasarnya sama. Perbedaannya hanya t erlet ak pada nama yang diberikan menurut elemen- elemennya.

Grup dan dikat akan isomorfis jika t erdapat pemet aan bijekt if f:

ant ara kedua grup t ersebut mengakibat kan t abel perkalian pada salah sat u grup sama dengant abel perkalian grup yang lainnya. Pemet aan f disebut isomorfisme. Dalam hal ini syarat unt uk

f adalah sebagai berikut : jika diberikan a,b,c , maka diperoleh c = ab jika dan hanya jika f(c) = f(a)f(b). Cont oh lainnya adalah grup permut asi S 3 yang bersifat isomorfis t erhadap grup simet ri dari suat u kart u yang berbent uk segitiga sama sisi. Cara lain unt uk menunjukkan kemungkinan bahwa dua grup memiliki hubungan adalah bahwa grup yang satu mungkin memuat grup yang lainnya. Himpunan simet ri kartu yang berbentuk persegi yang t idak berubah pada

2 posisi at as dan bawahnya adalah { 3 e, r, r , r } , adalah suat u grup. Jadi grup

2 simet ri dari kartu berbent uk persegi memuat grup { 3 e, r, r , r } sebagai subgrup. Cont oh lainnya adalah himpunan matriks berukuran 3 x 3 yang

2 t erbalikkan { E, A, B, C, D, 3 , , } , merupakan suat u grup dengan operasi perkalian mat riks; jadi, himpunan t ersebut adalah subgrup dari grup semua

mat riks 3 x 3 yang t erbalikkan. K emungkinan ket iga dimana dua grup dapat berhubungan sat u sama lain dapat t erlihat jelas. Suat u pemet aan f:

ant ara dua grup dikat akan homomorfis jika f memasangkan masing-masing hasil dengan hasil, ident it as dengan ident it as, dan invers dengan invers. Isomorfis adalah suatu homomorfis yang bijekt if, t et api pembukt ian dengan sifat ini dapat dikat akan mubasir. Homomorfis cukup ditunjukkan dengan f(ab) = f(a)f(b) unt uk semua a,b

. Sebagai cont oh, pemet aan f:

n yang didefinisikan dengan f(a)= [a] merupakan grup homomorfis karena f(a+ b)= [a+ b]= [a]+ [b]= f(a)+ f(b). Demikian juga pemet aan x x e merupakan homomorfisma grup ant ara grup dengan operasi penjumlahan, t erhadap grup bilangan real t ak nol dengan

x+ y

x operasi perkalian, karena y e = e e .

K onsep grup ini dapat digunakan untuk mendapat kan sifat baru dari t eorema Euler. Diket ahui bahwa elemen [ a] dari n adalah t erbalikkan jika dan hanya jika a prima relat if dengan n. Banyaknya elemen t erbalikkan adalah ϕ ( n).

Lemma 4.1.

Himpunan ( n) dari elemen-elemen n yang memiliki invers perkalian, membent uk suatu grup [kardinalitas ϕ () n ] dengan operasi perkalian, dan

dengan elemen ident it as [1].

Bukti:

Hal ut ama yang harus dilakukan adalah menunjukkan bahwa jika [ a] dan [ b] adalah elemen-elemen

( n), maka hasilkali [a][b] = [ab] juga merupakan elemen ( n). Pert ama, dengan hipot esis [a] memiliki invers ( n), maka hasilkali [a][b] = [ab] juga merupakan elemen ( n). Pert ama, dengan hipot esis [a] memiliki invers

([ a][b])([y][x]) = [ a]([b]([y][x])) = [ a]((b][y])[x]) = [a]([1][x]) = [a][x] = [1]

Cara kedua untuk membukt ikan bahwa [ ab] ( n) adalah bahwa ket erbalikan [ a] dan [b] menunjukkan bahwa a dan b masing-masing merupakan prima relat if dengan n, sehingga ab juga prima relat if dengan n. Oleh karena it u [ ab]

( n) .

T elah jelas bahwa [1] ( n). Selanjutnya karena operasi perkalian bersifat assosiat if pada n , maka perkalian juga assosiat if pada ( n), dan karena [1] merupakan elemen identit as perkalian untuk n , maka [1] juga adalah elemen ident it as perkalian untuk ( n). Akhirnya, berdasarkan definisi, set iap elemen ( n) memiliki invers perkalian maka t erbukt ilah bahwa ( n) merupakan suat u grup.

T eorema4.2. Grup Hingga Jika

adalah grup hingga yang berukuran n, maka unt uk set iap

e. T eori dasar mengenai grup ini, merupakan akibat langsung dari t eorema Euler. Bukti T eorema Euler. K arena ( n) merupakan grup yang berukuran |( (n) n)|= ( n), maka diperoleh [a] = [1], unt uk semua [ a] ( n) berdasarkan t eorema grup yang t elah disebut kan di at as. T etapi [ a] ( n) jika dan hanya

elemen n g berlaku hubungan g =

jika (n) a adalah prima relat if dengan n dan [a] = [1] dinyat akan sebagai a 1(mod n).

(n)

Bukt i ini digunakan untuk menunjukkan keunggulan dari abst raksi. Pembukt ian pert ama t eorema Euler secara keseluruhan bersifat mendasar, t et api dibut uhkan informasi yang mendet ail mengenai fungsi Euler, . Pembukt ian yang diberikan di sini hanya dilakukan dengan pemahaman Bukt i ini digunakan untuk menunjukkan keunggulan dari abst raksi. Pembukt ian pert ama t eorema Euler secara keseluruhan bersifat mendasar, t et api dibut uhkan informasi yang mendet ail mengenai fungsi Euler, . Pembukt ian yang diberikan di sini hanya dilakukan dengan pemahaman

A.7. Soal-Soal

2 { e, r, r 3 , r } dari kart u yang berbentuk persegi, adalah grup dengan operasi komposisi simet ri.

4.1. T unjukkan bahwa himpunan simet ri , =

4.2. T unjukkan bahwa C 4 = { i,-1,-i,1} adalah grup dengan operasi perkalian, yang elemen ident it asnya adalah 1.

4.3. Misalkan grup C 4 = { i,-1,-i,1} dari akar keempat pada sat uan bilangan

2 kompleks dan grup 3 { e, r, r , r } t ermuat dalam grup rot asi kart u yang berbent uk persegi. T unjukkan bahwa bijeksi

e 1 r i r 2 -1 r 3 -1 menghasilkan t abel perkalian yang sama dari kedua grup t ersebut , yaitu bahwa jika kit a menerapkan bijeksi t erhadap masing-masing ent ri t abel perkalian

maka diperoleh t abel perkalian untuk . Dengan kat a lain kedua grup t ersebut isomorfis.

4.4. T unjukkan bahwa grup C 4 = { i,-1,-i,1} dari akar keempat pada satuan bilangan kompleks isomorfis dengan 4.

Soal-soal latihan berikut ini menunjukkan grup yang berasal dari berbagai bidang mat emat ika dan memerlukan sedikit analisis t opologi at au analisis real, at au analisis kompleks. Lewat i saja soal-soal t ert ent u jika anda belum memiliki lat arbelakang yang memadai.

3 4.5. Suatu 3 isometri merupakan pemet aan bijekt if T : yang memenuhi persamaan d(T ( 3. x),T (y)) = d(x,y) untuk semua x,y T unjukkan bahwa

himpunan isomet ri-isomet ri 3 merupakan suat u grup (anda dapat menggant i 3 dengan sebarang ruang met rik (kuliah Aljabar Linier: pelajari Aljabar Linier Elemener, Ant on-Rorres)).

3 3 4.6. Suatu homomorfis 3 merupakan pemet aan bijektif T : sedemikian sehingga baik T maupun inversnya adalah kont inu. T unjukkanlah bahwa 3 3 4.6. Suatu homomorfis 3 merupakan pemet aan bijektif T : sedemikian sehingga baik T maupun inversnya adalah kont inu. T unjukkanlah bahwa

1 3 3 4.7. Suatu 3 diffeormorfisma C dari adalah pemet aan bijekt if T : yang memiliki turunan persial pert ama kontinu. Tunjukkan bahwa

1 himpunan 3 diffeormorfisma C dari merupakan suat u grup dalam operasi komposisi pemet aan.

4.8. T unjukkan bahwa pemet aan himpunan holomorfik bijektif (t urunan kompleks) dari suatu subset U di ke dirinya sendiri, akan membent uk suat u grup pada komposisi pemet aan.

B. Dasar-Dasar Teori Grup

Pada bagian sebelumnya t elah diberikan cont oh-cont oh grup dan akhirnya sampai pada suatu definisi, at au sekumpulan aksioma unt uk grup. Bagian ini akan dipelajari beberapa t eorema grup. Bagi kebanyakan mahasiswa, hal ini merupakan pengalaman pertama dalam mengkonst ruksi pembukt ian-pembukt ian yang melibat kan sifat -sifat aljabar yang digambarkan oleh aksioma-aksioma bersangkut an. Sangat dianjurkan agar mahasiswa meluangkan lebih banyak wakt u unt uk berlat ih, dan t idak melangkah ke mat eri selanjut nya, sebelum menguasai cara-cara pembukt ian t ersebut .

Proposisi 4.3. Sifat K et unggalan Ident it as

G adalah suat u grup, dan misalkan e dan e kedua-duanya adalah elemen ident it as di G. Jadi unt uk semua g G, eg = ge = e g = ge = g. Hal ini menunjukkan bahwa e = e ′ , art inya elemen ident it as di

Misalkan

G adalah t unggal.

Bukti: K arena adalah elemen ident it as, maka e = ee . Selanjut nya karena e adalah juga elemen ident it as, maka

ee = e . Dengan demikian e = ee = e , yait u e = e . Demikian juga, invers dalam suat u grup adalah unik.

Proposisi 4.4. Sifat K et unggalan Invers. Misalkan -1 G adalah suat u grup dan h,g G. Jika hg = e, maka h = g dan jika

gh = e maka g = h -1 .

Bukti.

Asumsikan -1 hg = e. Maka h = he= h(gg )= ( hg)g = eg = g . Cara yang sama dapat dilakukan unt uk membukt ikan bahwa gh = e

-1 Corollary 4.1. -1 Misalkan g adalah salah sat u elemen grup G. Maka g = (g ) .

Bukti: -1 K arena gg = e, maka berdasarkan proposisi bahwa g invers dari g .

Proposisi 4.5. Misalkan

G adalah suat u grup dan misalkan a, b adalah elemen-

-1 elemen grup -1 G maka (ab) = b a .

Dari sifat assosiatif, ( -1 ab)(b a )= a(b(b a ))= a((bb ) a )= a(ea )= aa =

-1 e. K arena (ab)(ab) 1 = e dan (ab)(b a )= e, maka (ab) = ( b a ). Misalkan

G adalah grup dan a adalah salah sat u elemen grup G t ersebut ,

G yaitu L a ( x) = ax. L a menyat akan perkalian kiri dengan

maka didefinisikan suatu pemet aan L a :G

G yait u a ( x) = xa. a menyat akan perkalian kanan dengan a.

a. Sebaliknya dapat didefinisikan a :G

Proposisi 4.6. Misalkan

G adalah suat u grup dan a G. Pemet aan L a : G G yang didefinisikan dengan L a ( x) = ax adalah suat u pemet aan yang bijekt if, dan pemet aan a : G

G yang didefinisikan dengan a ( x) = xa adalah suat u pemet aan yang bijekt if.

Bukti:

L -1

a (L a ( x)) = a ( a x) = (a a) x = e x = x, sehingga L a L a = id G . Perhitungan yang sama menunjukkan bahwa L -1

-1 -1

a L a = id G . Hal ini menunjukkan bahwa L a dan L -1

a merupakan invers pemet aan yang masing-masing bersifat bijekt if.

Pembukt ian untuk a dilakukan dengan cara yang sama.

Corollary 4.2. Misalkan

G adalah suat u grup dan misalkan a dan b adalah elemen-elemen di G, maka persamaan ax = b memiliki solusi x yang unik di G demikian pula persamaan xa = b memiliki solusi unik di G.

Bukti:

Eksistensi (adanya) solusi unt uk ax = b untuk semua b ekivalen dengan sifat surjektivitas pemet aan L a . K etunggalan solusi untuk semua b ekivalen dengan injektivitas L a .

Demikian pula, eksistensi dan ketunggalan solusi dari xa = b untuk semua b

adalah ekivalen dengan surjektivitas dan injetivitas R a .

Corollary 4.3. Kanselasi (Penghapusan) Misalkan x,a,y, adalah elemen-elemen dari grup G. Jika ax = ay, maka x = y.

Demikian juga, jika xa = ya, maka x = y.

Bukti: Mahasiswa diharapkan sudah memahami bahwa dalam t abel perkalian, masing-masing kolom dan masing-masing baris memuat set iap elemen grup

hanya sat u kali. Unt uk grup, pernyat aan ini selalu berlaku.

Corollary 4.4. Misalkan

G adalah suat u grup berhingga, maka set iap baris dan kolom pada t abel perkalian

G hanya mengandung masing-masing elemen G sebanyak sat u kali.

Bukti: Mahasiswa akan membukt ikan pernyat aan ini dalam lat ihan yang diberikan pada akhir bab ini.

Misalkan

G adalah himpunan bilangan bulat t ak nol. Diket ahui bahwa persamaan 2 x = 3 t idak memiliki solusi di G, karena t idak ada x

yang memenuhi pernyat aan t ersebut . Demikian juga, 12 dengan operasi perkalian. K arena [2][8] = [4] = [2][2], dan [8] [2] maka kanselasi t idak berlaku.

Definisi 4.3. Orde suatu grup adalah ukuran kardinalit asnya, yaitu banyaknya elemen dari grup itu sendiri. Orde suatu grup

G dilambangkan dengan |G|.

B.1. Grup Dengan Orde Kecil

Berikut ini dijelaskan beberapa cont oh grup dengan orde yang kecil.

Contoh 4.9. Unt uk sebarang bilangan asli n, n (dengan operasi penjumlahan)

menunjukkan grup yang masing- masing bert urut -t urut memiliki orde 1, 2,

adalah suatu grup berorde n. Jadi 1 , 2 ,

Contoh 4.10. Himpunan simet ri rot asi dari suat u bidang (kart u) berbent uk persegi panjang adalah grup yang berorde 4. Perhat ikan bahwa pengert ian dua grup yang pada prinsipnya adalah sama:

Definisi 4.4. Dua grup

G dan H adalah isomorfis jika t erdapat pemet aan yang bijekt if : G

H sedemikian sehingga unt uk semua g 1 , g 2 G, maka ( g 1 g 2 ) = ( g 1 )( g 2 ). Pemet aan disebut isomorfisme.

Dalam soal-soal lat ihan, mahasiswa diminta unt uk menunjukkan bahwa

4 bukanlah isomofir t erhadap grup simet ri rot asi pada suat u kartu berbent uk persegi panjang. Jadi t erdapat set idak-t idaknya dua grup non-isomorfis yang berorde 4.

Definisi 4.5. Suatu grup

G disebut abelian (at au komutatif) jika unt uk semua elemen a,b G, berlaku ab = ba.

Contoh 4.11. Untuk sebarang bilangan asli n, grup simet ri S n merupakan suat u grup berorde n. Mahasiswa dapat menunjukkan bahwa untuk semua n 3, S n

t idak abelian.

Jika dua grup isomet ris, maka mungkin kedua-duanya abelian, at au kedua-duanya t idak abelian. Hal ini dapat t erjadi karena jika salah sat u dari kedua grup t ersebut abelian sedangkan grup yang lainnya t idak abelian, maka kedua grup t ersebut t idak isomorfis.

Contoh 4.12. S 3 adalah grup yang t idak abelian dan 6 adalah grup abelian. Dengan demikian kedua grup ini adalah grup t ak isomet rik yang berorde 6.

Grup berorde 1, 2, 3, dan 5 t elah diberikan dengan masing-masing sat u cont oh, dan grup orde 4 dan 6 t elah diberikan masing-masing dua cont oh. Fakt anya semua grup dapat diklasifikasikan sebagi grup yang ordenya t idak lebih dari orde 5 sebagai berikut :

Proposisi 4.7.

(a) Berdasarkan isomorfisme, 1 adalah grup unik yang berorde 1. (b) Berdasarkan isomorfisme, 2 adalah grup unik yang berorde 2. (c) Berdasarkan isomorfisme, 3 adalah grup unik yang berorde 3.

(d) Berdasarkan isomorfisme, t erdapat t epat dua grup yang berorde 4 yait u 4 , dan grup simet ri rot asi pada suatu bidang berbentuk persegi. (e) Berdasarkan isomorfisme, 5 adalah grup unik yang berorde 5. (f) Semua grup yang ordenya t idak lebih dari 5 adalah grup yang abelian. (g) T erdapat set idak-t idaknya dua grup t ak isomorfis berorde 6. Salah

sat unya abelian dan satu t idak abelian.

Pernyat aan (c) menyat akan bahwa unt uk sebarang grup orde 3 adalah isomorfis dengan 3 . Pernyat aan (d) menyat akan bahwa t erdapat dua grup orde 4 yang berbeda dan t idak isomorfis, dan sebarang grup orde 4 past i isomorfis t erhadap salah sat u di ant ara grup it u.

Bukti. Mahasiswa dapat memahami bukt i pernyat aan (a) sampai (e) melalui lat ihan-latihan. Mahasiswa dapat mencoba menyusun t abel perkalian,

kemudian menyelidiki bat asan bahwa set iap elemen grup haruslah muncul t epat sat u kali dalam set iap baris dan kolom.

Pernyat aan (a) sampai (e) menghasilkan daft ar yang lengkap berdasarkan sifat isomorfis, dari grup yang ordenya tidak lebih dari 5 kemudian memperhat ikan

daft ar t ersebut bahwa semuanya bersifat abelian. Akhirnya 6 dan S 3 adalah

dua grup t ak isomorfis berorde 6 dengan S 3 t idak abelian.

Proposisi 4.8. Jika : G

H isomorfisme, maka (e G ) = e H dan unt uk set iap

g G, (g -1 )= ( g) .

Bukti. Untuk sebarang h H, t erdapat g G sehingga (

g) = h. Akibatnya

ϕ () eh G = ϕ ()() e G ϕ g = ϕ () eg G = ϕ () g = h . K arena sifat ket unggalan elemen

g − 1 g − ident it as di 1 H maka ϕ () G = H Demikian juga, ϕ () ϕ () = ϕ () gg =

Hal ini membukt ikan bahwa ϕ () g − = ϕ () g .

B.2. Hukum Assosiatif Umum

Misalkan suatu himpunan M dengan operasi assosiat if yang dinyat akan dengan posisi berjajar. Operasi t ersebut memungkinkan dilakukannya perkalian ant ara dua elemen hanya sebanyak satu kali set iap operasi, t et api perkalian dapat dilakukan t iga kali at au lebih dengan cara mengelompokkan elemen-elemen sedemikian sehingga hanya dua elemen yang dapat diperkalikan set iap operasi. Unt uk t iga elemen, t erdapat dua pengelompokan yang Misalkan suatu himpunan M dengan operasi assosiat if yang dinyat akan dengan posisi berjajar. Operasi t ersebut memungkinkan dilakukannya perkalian ant ara dua elemen hanya sebanyak satu kali set iap operasi, t et api perkalian dapat dilakukan t iga kali at au lebih dengan cara mengelompokkan elemen-elemen sedemikian sehingga hanya dua elemen yang dapat diperkalikan set iap operasi. Unt uk t iga elemen, t erdapat dua pengelompokan yang

a(bcd)), a((bc)d),(ab)(cd),(a(bc))d,dan ((ab)c)d

t et api menurut hukum assosiat if, dua pengelompokan pert ama dan dua pengelompokan t erakhir adalah sama. Jadi paling banyak t erdapat t iga pengelompokan perkalian yang dapat dilakukan pada empat elemen yait u

a(bcd),(ab)(cd),dan (abc)d

Dengan menggunakan hukum assosiat if, dapat dit unjukkan bahwa ket iga perkalian di at as adalah sama:

a(bcd) = a(b(cd)) = (ab)(cd) = ((ab)c)d = (abc)d

Untuk perkalian lima elemen, t erdapat 14 cara pengelompokan yang masing- masing menghasilkan nilai yang sama t et api kita t idak akan menyusun daft ar semua perkalian t ersebut. Karena terdapat tiga pengelompokan untuk perkalian empat elemen atau kurang, tidak tergantung pada cara mengelompokkan elemen-elemen tersebut, maka terdapat empat pengelompokan untuk perkalian lima elemen.

a(bcde), (ab)(cde),(abc)(de), dan(abcd)e

menurut hukum assosiat if, diket ahui bahwa

a(bcde) = a(b(cde)) = (ab)(cde),

dan set erusnya, sehingga diperoleh proposisi t ent ang Hukum Assosiatif Umum sebagai berikut :

Proposisi 4.9. Hukum Assosiat if Umum. Misalkan M adalah suatu himpunan dengan operasi assosiat if, M x M

M dituliskan bert urut -t urut. Unt uk set iap n

1, t erdapat suatu perkalian unik M n M,

sedemikian sehingga (a) Perkalian sat u elemen adalah elemen it u sendiri ( a) = a.

(b) Perkalian dua elemen (

ab) = ab

(c) Untuk semua n

2, unt uk semua a 1 , a 2 , , a n M, dan unt uk semua 1

k n-1, a 1 a 2 a 3 a n = ( a 1 a 2 a k )( a k+ 1 a k+ 2 a n )

Bukti. Untuk n

2 hasilkalinya secara unik dit ent ukan oleh (a) dan (b). Untuk n = 3 hasil perkalian unik yang memiliki sifat (c) berdasarkan hukum assosiat if. Sekarang misalkan n > 3 dan andaikan bahwa untuk 1 r n, maka hasil perkalian dari r elemen memenuhi sifat (a) sampai (c) secara unik.

T et apkan elemen-elemen a 1 , a 2 , a n M. Dengan hipot esis induksi mat emat ika, maka hasilkali n 1 elemen adalah

p k = ( a 1 a k )(a k+ 1 a n ),

yang t erdiri at as n 1 elemen. Selanjut nya, p k = p k+ 1 unt uk 1 k n 2, karena

Jadi semua perkalian p k adalah sama, dan perkalian dari n elemen yang memenuhi sifat (a) sampai (c) dapat didefinisikan dengan

B.3. Subgrup dan Grup Cyclic

Definisi 4.6. Suat u subset yang t ak kosong

H dari grup G disebut subgrup jika

H merupakan merupakan grup dengan operasi grup yang diwariskan dari G. Untuk menyat akan bahwa

G (sering juga dinyat akan dengan simbol

H subgrup dari G maka dit uliskan H

H G).

Untuk suatu subset

H yang t ak kosong, H disebut subgrup dari G jika:

1. Unt uk set iap elemen h 1 dan h 2 di H, hasilkali h 1 h 2 juga elemen H.

2. Untuk semua -1 h elemen H, invers h juga elemen H. Syarat -syarat ini merupakan syarat cukup unt uk

H sebagai subgrup. Assosiat ivit as perkalian dit urunkan dari

G oleh krena it u t idak perlu dibukt ikan lagi. Juga, jika syarat (1) dan (2) t erpenuhi, maka elemen ident it as

e ot omat is berada di H; karena H t ak kosong, berart i H mempunyai elemen h; berdasarkan sifat (2), maka juga t erdapat -1 h H, dan menurut sifat (1),

hh -1 H. Langkah-langkah di at as merupakan perangkat yang sangat ampuh, karena

seringkali unt uk membukt ikan apakah

H merupakan grup dengan operasi, H it u sendiri sudah merupakan elemen dari grup lain yang t elah diket ahui. Jadi hanya perlu dibukt ikan sifat (1) dan (2).

Subset

H dari G dikat akan t ert ut up dengan operasi perkalian jika syarat (1) t erpenuhi. Jika syarat (2) t erpenuhi maka dikat akan bahwa

H t ert ut up pada operasi invers.

Contoh 4.13. Suat u mat riks A yang berukuran n x n dikat akan ortogonal jika

A t A = E. Tunjukkanlah bahwa himpunan ( n, ) yang t erdiri at as mat riks- mat riks ort ogonal berukuran n x n adalah suatu grup.

Bukti. t Jika A ( n, ), maka A memiliki invers kiri A , sehingga A merupakan mat riks yang t erbalikkan dengan invers A t . Jadi O ( n, ) GL( n, ). Oleh karena it u, cukup dibukt ikan bahwa perkalian mat riks-mat riks ort ogonal

adalah ort ogonal dan bahwa invers dari mat riks ort ogonal adalah ort ogonal.

T et api jika A dan B ort ogonal, maka (AB) -1 = B A = B A = (AB) ; berart i

-1 AB ort ogonal. Jika A -1 O ( n, ) maka (A ) = (A ) = A = (A ) sehingga diperoleh A -1 O ( n, ).

-1 t

Berikut ini diberikan beberapa cont oh subgrup.

Contoh 4.14. Dalam sebarang grup G,

G it u sendiri dan { e} merupakan subgrup.

Contoh 4.15. Himpunan semua bilangan kompleks dengan modulus (nilai mut lak) sama dengan 1 merupakan suatu subgrup dari grup semua bilangan

kompleks bukan nol dengan operasi biner perkalian.

Bukti. Unt uk sebarang bilangan kompleks

a dan b yang bukan nol,

| -1 ab|= |a||b|dan|a |= | a| . Hal ini menunjukkan bahwa himpunan bilangan kompleks modulus 1 t ert ut up pada operasi perkalian dan invers.

Contoh 4.16.

2 Pada grup simet ri suat u persegi, subset { 3 e, r, r , r } merupakan suat u subgrup. Demikian juga, subset { 2 e, r ,

a, b} adalah suat u subgrup. Subgrup yang kedua ini isomorfis dengan grup simet ri dari suat u persegi panjang, karena kuadrat dari setiap elemen selain ident it as sama dengan ident it as dan perkalian dari sebarang dua elemen bukan identit as akan sama dengan elemen yang ket iga. (Bukt ikan).

Contoh 4.17. Di dalam grup permut asi S 4 , himpunan permut asi yang memenuhi (4) = 4 adalah suat u subgrup. K arena subgrup ini mengakibat kan Contoh 4.17. Di dalam grup permut asi S 4 , himpunan permut asi yang memenuhi (4) = 4 adalah suat u subgrup. K arena subgrup ini mengakibat kan

Proposisi 4.10. Misalkan

G adalah suat u grup dan H 1 ,H 2 ,H 3 , . . . ,H n adalah subgrup dari G, maka H 1 ∩ H 2 ∩ H 3 ∩ . . . ∩ H n merupakan subgrup dari G. Secara umum, jika { H } adalah sebarang subgrup, maka ∩

H adalah subgrup. Untuk sebarang grup

G, t erdapat subgrup t erkecil dari

G dan sebarang subset S

G yang memuat S, yang disebut subgrup tergereasi oleh G dan dilambangkan dengan S . Jika S = { a} merupakan singelton, maka subgrup yang dibangkit kan oleh S dilambangkan dengan a dan dikat akan bahwa G digenerasikan oleh S at au S menggenerasikan

G jika G = S . T injauan konst rukt if dari S adalah bahwa S t erdiri at as semua kemungkinan

g − perkalian 1 12 n dengan g i S at au i ∈ S . Dengan kat a lain S adalah irisan dari kumpulan semua subgrup

gg g ,

G yang memuat S. K umpulan ini t ak kosong karena

G sendiri t ergolong dalam subgrup ini.

B.4. Grup Siklik dan Subgrup Siklik

Ada suat u t ipe subgrup yang t erdapat di dalam semua grup. Misalkan G adalah sebarang grup dan a G. Perhat ikan semua pangkat dari a:

e} { Gambar 4.1. Lat t ice subgrup S 3

0 1 Didefinisikan k a = = e, a a, dan untuk k> 1, a didefinisikan sebagai perkalian

-1 a sebanyak k fakt or. Unt uk k > 1 didefinisikan juga bahwa a k = ( a ) . Diket ahui bahwa k a t erdefinisi untuk semua bilangan bulat k, dan merupakan

fakt a bahwa k+ l a a = a untuk semua bilangan bulat k dan l. Demikian juga

k -1 - k

dapat ditunjukkan bahwa unt uk semua bilangan bulat kl k, (a ) = a dan a =

k ( l a ) untuk semua bilangan bulat k dan l. Semua pernyat aan di at as dapat dibukt ikan dengan induksi mat emat ika, dan mahasiswa akan melat ih

pembukt ian ini lebih banyak melalui kuliah Mat emat ika Diskrit at au mat a kuliah lainnya.

Proposisi 4.11. Misalkan a adalah elemen dari grup G. Subgrup a yang digenerasikan oleh k a adalah { a : k }.

Rumus k a a = a dan ( a ) = a menunjukkan bahwa { a : k } adalah

suat u subgrup dari k G yang memuat a = a . Oleh karena it u a { a : k }. Sebaliknya, suat u subgrup selalu bersifat t ertut up pada operasi pemangkatan

dengan bilangan bulat , jadi k a { a : k }.

Definisi 4.7. k Misalkan a adalah elemen dari grup G. Himpunan a = { a : k } disebut subgrup siklik yang digenerasikan oleh a. Jika t erdapat suat u elemen a

a maka G disebut grup siklik, dan a dikat akan generator dari grup siklik t ersebut .

G sedemikian sehingga

Contoh 4.18. Misalkan G= dengan operasi biner penjumlahan. Selanjutnya ambil sebarang d . K arena operasi biner dalam grup it u adalah

penjumlahan, maka himpunan d berpangkat dengan operasi penjumlahan adalah himpunan operasi perkalian bilangan bulat dari

d. Sebagai contoh, pangkat 3 dari d adalah d + d + d = 3d. Jadi, d = d = { nd:n } adalah suat u grup siklik dari . Perhat ikan bahwa

d = -d . sendiri adalah siklik, karena 1 = -1 = .

Contoh 4.19. Dalam n , subgrup siklik yang digenerasikan oleh elemen [ d] adalah [ d] = { [kd]: k } = {[ k][d]: [k]

n }. n adalah siklik karena [1] = n .

Contoh 4.20. Misalkan C n menyat akan himpunan akar-akar ke- n dari sat uan bilangan-bilangan kompleks.

2 (a) ikn C π /

n = { e :0 ≤≤− k n 1 }

e 2 π in (b) / C n adalah grup siklik berorde n dengan generat or =

Bukti: C n merupakan subgrup dari grup perkalian dari bilangan-bilangan kompleks karena perkalian dari dua akar ke- n dari sat uan bilangan kompleks adalah akar ke- n dari sat uan bilangan kompleks, dan invers dari akar ke-n

adalah juga akar ke- n at au sat uan bilangan kompleks. Jika z adalah salah sat u akar ke-n dari satuan dalam bilangan

kompleks, maka| n z| =| z |= 1; jadi| z|akar ke-n posit if dari sat uan, maka |z|= 1.

Oleh itu, n z akan berbent uk z = e θ dengan . Selanjutnya, diket ahui 1 = z = in e θ . Dengan demikian n merupakan perkalian bilangan bulat dari 2 dan z

2 = ik n e π / untuk suatu k . Bilangan-bilangan ini adalah bilangan pangka dari

2 π in = / e yang berorde n.

Contoh 4.21. Himpunan semua pangkat dari r dalam simet ri persegi adalah { e,

2 r, r 3 , r } . Ada dua kemungkinan grup siklik

a . Salah sat u kemungkinan adalah k a yang berbeda yait u subgrup

a t ak berhingga. Dalam hal ini dikat akan bahwa a memiliki orde t ak berhingga. K emungkinan kedua adalah bahwa kedua pangkat dari a adalah sama.

Misalkan l-k k < l dan a = a . Maka e = (a ) a = a , sehingga beberapa pangkat posit if dari a adalah ident it as. Misalkan n adalah bilangan bulat posit if

k -1 l

t erkecil sedemikian sehingga 1 a = e. Selanjutnya e, a, a , , a semuanya berbeda dan n a =

e. Unt uk sebarang bilangan bulat k (posit if maupun negat if) dapat dit uliskan sebagai k = mn+ r, dimana r menyat akan sisa, yang

mn+ r

mn r

memenuhi r 0 ≤≤− r n 1. K arena it u a = a a = e e = ea = a . Jadi a =

{ l e, a, a , , a } . Selanjut nya a = a jika dan hanya jika k dan l memiliki sisa hasil bagi dari n, jika dan hanya jika k l (mod n).

2 n-1

Definisi 4.8. Orde dari subgrup siklik yang digenerasikan oleh a disebut orde dari a. Orde dari a dituliskan dengan notasi ( a).

Proposisi 4.12. Jika orde dari a t idak berhingga maka orde t ersebut merupakan

bilangan posit if t erkecil k n sedemikian sehingga a = e. Selanjutnya a = { a :0 k

( a)} .

Contoh 4.22. T entukanlah orde [4] dari 14.

Jawab: K arena operasi biner pada grup 14 adalah operasi penjumlahan, maka pangkat dari suat u elemen adalah perkalian. Jadi 2[4] = [8], 3[4] = [12], 4[4] =

[2], 5[4] = [6], 6[4] = [10], 7[4] = [0]. Dengan demikian orde dari [4] adalah 7.

Contoh 4.23. T ent ukanlah orde dari [5] dalam (14).

2 3 4 5 Jawab 6 : Diket ahui [5] = [11], [5] = [13], [5] = [9], [5] = [3], [5] = [1], maka orde dari [5] adalah 6. Perhat ikan bahwa| (14)|= (14) = 6, sehingga

perhitungan ini menunjukkan bahwa (14) adalah siklik dengan generat or [5].

Proposisi 4.13. Misalkan a adalah elemen dari grup G. (a) Jika a memiliki orde yang t ak berhingga, maka a isomorfis dengan .

(b) Jika a memiliki orde n berhingga, maka a isomorfis dengan grup n .

Bukti:

Unt uk bagian (a), definisikan pemet aan k : a dengan ( k) = a . Pemet aan ini surjekt if berdasarkan definisi

a dan juga injekt if karena semua

k pangkat l a berbeda. Selanjut nya (k + l) = a = a a , jadi isomorfis ant ara dengan a.

k+ l

Untuk bagian (b), karena n memiliki n elemen yait u [0], [1], [2], ,[ n-

2 3 1] dan n-1 a memiliki n elemen yait u e,a,a , a , , a , maka dapat didefinisikan suat u pemet aan bijeksi k :

a dengan ([ k]) = a unt uk 0 k n 1.

Perkalian (jumlah) dari n dinyat akan dengan [ k] + [l] = [r], dimana r adalah sisa set elah pembagian k + l dengan n. Perkalian a diberikan dengan at uran

analogi: r a a = a = a ,dimana r adalah sisa set elah pembagian k + l dengan n. K arena itu, isomorfis.

k l k+ l

B.5. Subgrup dari Grup Siklik

K arena semua grup siklik isomorfis dengan maupun dengan n unt uk beberapa n, maka subgrup dari grup siklik cukup dibukt ikan dengan menent ukan subgrup dari dan subgrup dari n .

Proposisi 4.14.

(a) Misalkan H adalah subgrup dari , maka

H = { 0} at au t erdapat d yang unik sedemikian sehingga H=d =d. (b) Jika d

maka d .

(c) Jika a,b , maka a b jika dan hanya jika b membagi a.

Bukti : Pert ama, akan dit injau bagian (c). Jika a ⊆ b maka a ∈ b , sehingga b membagi

a. Sebaliknya, jika b|a maka a ∈ b sehingga a ⊆ b . Selanjutnya akan diperiksa bagian (a). Misalkan

H adalah suat u subgrup dari . Jika H { 0} , maka

H mengandung bilangan bulat t ak nol; karena H mengandung elemen negat if yang merupakan lawan dari set iap bilangan bulat positif sebarang, maka

H mengandung elemen bulat posit if. Misalkan d adalah elemen t erkecil dari H ∩ maka dapat diklaim bahwa

H, maka d = d ⊆

H = d . K arena d ∈

H dan menyat akan h = qd + r, dimana 0 r

H. Sebaliknya misalkan h ∈

H. T et api karena d adalah elemen t erkecil dari

d. K arena h ∈

H dan qd

H maka r = h qd

H dan r < d, maka r = 0. Dengan demikian h = qd ∈ d.

Hal ini menunjukkan bahwa H ⊆ d.

T elah diperlihat kan bahwa ada d sehingga d = H. Jika juga d ′ H dan d ′

H maka berdasarkan (a), d dan d ′ saling membagi. Dan karena keduanya posit if, maka d dan d ′ . Hal ini membukt ikan bahwa d dalam bagian (a) adalah unik.

Akhirnya untuk membukt ikan (b), diket ahuiu bahwa a da merupakan isomorfisme yang ont o dari ke d.

Corollary 4.5. Set iap subgrup dari selain { 0} isomorfis dengan .

Lemma 4.2. Misalkan n 2 dan misalkan d adalah pembagi positif unt uk n. Subgrup siklik [ d] yang digenerasikan oleh [d] di dalam n memiliki

kardinalit as| [ d] |= n/ d.

Bukti: Orde dari [ d] adalah bilangan bulat t erkecil s sedemikian sehingga s[d] = [0] adalah bilangan bulat t erkecil s sedemikian sehingga n membagi sd.

T ent u saja bilangan yang dimaksud adalah n/ d, karena d membagi n.

Proposisi 4.15. Misalkan

H adalah subgrup dari n .

(a) H = { [0]} at au t erdapat d > 0 sedemikian sehingga H = [d] . (b) Jika d adalah bilangan yang lebih kecil dari bilangan bulat posit if s

sehingga

H = [s] , maka d|H|= n.

Bukti: Misalkan

H adalah subgrup dari n . Jika H { [0]} dan d menyat akan bilangan t erkecil dari bilangan bulat positif s sedemikian sehingga [s] H. Penjelasan yang sama dengan yang digunakan pada Proposisi 2.2.21 (a) menunjukkan bahwa [ d] = H. Jelas hal ini menunjukkan bahwa d juga merupakan bilangan t erkecil dari bilangan bulat posit if s sedemikian sehingga

d maka diket ahui bahwa [ r] = -q[d]

[ s] = H. Dengan menuliskan n = qd + r, dimana 0 r

[ d] . Selanjutnya karena r < d dan d adalah bilangan t erkecil dari bilangan bulat s sedemikian sehingga [s] [ d] maka r = 0. Jadi n dapat dibagi dengan d. Berdasarkan Lemma 4.2.di at as,|H|= n/ d.

Corollary 4.6. Ambil sebarang bilangan asli n 2. (a) Sebarang subgrup dari n adalah subgrup siklik.

(b) Sebarang subgrup dari n memiliki kardinalit as yang membagi n.

Bukti: Dapat dibukt ikan secara langsung dari proposisi.

Corollary 4.7. Ambil sebarang bilangan asli n 2. (a) Untuk sebarang bilangan positif pembagi q dari n, t erdapat subgrup n

yang unik dengan kardinalit as (ket erbilangan) q yait u [n/ q] . (b) Untuk sebarang dua subgrup

H dan H ′ dari n , maka H H ′ jika dan

hanya jika |H| membagi | H ′ |.

Bukti:

Jika q adalah bilangan posit if yang membagi n, maka kardinalit as [n/ q] adalah q, berdasarkan Lemma 4.2.Sebaliknya jika H adalah subgrup dengan kardinalit as q, maka menurut Proposisi 4.15. (b), n/ q adalah bilangan t erkecil dari bilangan bulat posit if s sedemikian sehingga s H dan H = [ n/ q] . Jadi

[ n/ q] adalah subgrup yang unik dari n dengan kardinalit as q.

Bagian (b) sebagai lat ihan bagi mahasiswa unt uk dibukt ikan.

Contoh 4.24.

T ent ukanlah semua subgrup dari 12 dan semua anggot a ant ara subgrup t ersebut .

Jawab:

Diket ahui bahwa 12 memiliki t epat sat u subgrup dengan kardinalit as q untuk set iap pembagi yang posit if dari 12.Ukuran subgrup-subgrup t ersebut adalah

1, 2, 3, 4, 6, dan 12.Generat or kanonik dari subgrup-subgrup ini adalah [0], [6], [4], [3], [2], dan [1]. Relasi inklusi ant ara subgrup-subgrup dari 12 dapat digambarkan sebagai berikut .

{ 0} Gambar 4.2. K isi-kisi subgrup 12

Corollary 4.8. Misalkan b , dengan b 0.

(a) Subgrup siklik [ b] dari n yang digenerasikan oleh [ b] adalah sama dengan subgrup siklik yang digenerasikan oleh [ d], dengan d = fpb(b,n) (b) Orde dari [ b] di dalam n adalah n/ fpb(b, n) (c) Dalam keadaan khusus, [ b] = n jika dan hanya jika b prima relat if

dengan n.

Bukti. Salah satu karakt erist ik dari d = fpb (b, n) ialah sebgaia bilangan bulat posit if t erkecil dalam himpunan { b+ vn: , v } . T et api karena d juga

adalah bilangan bulat posit if t erkecil s sedemikian sehingga s kongruen modulo n dengan suat u hasilkali bilangan bulat dengan b, at au dengan kat a lain bilangan bulat posit if t erkecil s sedemikian sehingga [s]

[ b] . Berdasarkan pembukt ian Proposisi 2.2.2.24., [d] = [ b] . Orde dari [b] adalah juga orde dari [ b] , yait u n/ d, menurut Proposisi 2.2.24 (b). Bagian (c) dapat dilat ih oleh mahasiswa.

Contoh 4.25. T entukanlah semua generat or dari 12. T ent ukan semua [ b] 12

sedemikian sehingga [ b] = [3] , yait u subgrup unik yang berorde 4. Generat or 12 adalah [ a] sedemikian sehingga 1 a 11 dan a prima relat if dengan 12. Jadi generat or 12 adalah [1][5][7][11]. Generat or [3] adalah [ b] yait u fpb( b,12) = fpb(3, 12) = 3. Daft ar semua generat or ini adalah [3], [9].

Proposisi 4.16. Set iap subgrup dari suat u grup siklik adalah siklik.

Proposisi 4.17. Misalkan a adalah suat u elemen yang memiliki orde n yang berhingga di dalam suat u grup. Maka a k =

a jika dan hanya jika k merupakan prima relat if dengan n. Banyaknya generat or a adalah (n).

Proposisi 4.18. Misalkan a adalah suat u elemen yang memiliki orde n yang berhingga di dalam suatu grup. Unt uk set iap bilangan bulat positif q yang

membagi n, a memiliki suat u subgrup unik yang berorde q.

Proposisi 4.19. Misalkan a adalah suat u elemen yang memiliki orde n yang berhingga di dalam suatu grup. Unt uk set iap bilangan bulat t ak nol s s,a

memiliki orde n/ fpb(n, s).

Contoh 4.26. n 1 Grup (2 ) memiliki orde (2 ) = 2 . (2) memiliki orde 1, dan n (4) memiliki orde 2, jadi (2 ) adalah grup siklik. Fakt anya, ket iga

elemen [2 n-1 ] dan [2 ± 1] berbeda dan masing-masing memiliki orde 2.T et api (2 n ) siklik, maka grup t ersebut memiliki subgrup yang unik dengan orde 2 yang merupakan elemen unik dengan orde 2.

n-1

G sebagai generat or, dan misalkan

T eorema 4.3. Misalkan

G adalah grup siklik dengan a

H adalah subgrup dari G. maka ada:

a. H = { e} =

, at au

b. Jika k H { e} , maka H = 〈〉 a di mana k adalah bilangan bulat posit if

t erkecil sedemikian sehingga a k ∈ H .

Bukti: Misalkan G =〈〉 a , dengan a G. H subgrup G dan H { e} maka H

0, sedemikian sehingga t erdapat a = a − () j ∈ H .

memuat unt uk suat u j

H memuat a m unt uk suatu m bilangan bulat posit if. K arena m adalah bilangan bulat posit if menurut aksioma t erurut

− Selanjut nya karena j dan a ∈

H maka H maka

k sehingga t

a ∈ H . K arena a k ∈ H maka a = () a ∈ H . Selanjut nya akan

kt

ditunjukkan bahwa k 〈〉= a H . Ambil sebarang y ∈

H dan karena H merupakan subgrup dari n G, maka y ∈ G akibat nya y = a ∈ H unt uk suat u n ∈ .

Perhat ikan bahwa k n dan dari algorit ma pembagian pada diperoleh n=

kq + r unt uk suat u q, r kq r ∈ dan 0 r < k. Dengan demikian a = a + = a kq a ⋅ r

dan n a = ()

a ⋅ a . K arena aa , ∈ H maka () a ∈ H dan () a ⋅ a ∈ H dimana H

adalah grup.

n ∈ H . K arena k merupakan bilangan t erkecil sehingga a k ∈ H dan karena 0 r < k, dengan kat a lain r = 0

Dengan demikian didapat kan a = () a ⋅ a

sehingga k Jadi a = a = a = ()

kq r

kq

a karena unt uk sebarang y ∈ H

k berlaku q y = a = a + = a = ()

n kq r

kq

a jadi t erbukti bahwa 〈〉= a k H .

Corollary 4.9. Sembarang Subgrup dari Grup Siklik adalah Siklik

Bukti: Misalkan

G adalah Grup Siklik dan H subgrup G

a. K asus I Jika

H = { e} , jelas bahwa =

H sehingga H merupakan grup siklik.

b. K asus II Jika H { e} , berdasarakan T eorema 4.3. maka 〈〉= a k H dengan kat a lain

H merupakan grup siklik. Jadi t erbukti bahwa sembarang subgrup dari grup siklik adalah Siklik

Contoh 4.27.

1. Diket ahui 6 = { [0], [1], [2], [3], [4], [5]} dengan operasi jumlah dan misalkan

H merupakan subgrup dari 6 . Carilah subgrup dari 6

Jawab: 6 dengan operasi penjumlahan merupakan grup siklik sehinggga menurut T eorema 4.3. berakibat H=

, untuk suat u a 6 . Perhatikan bahwa:

a. Jika a = [0], maka 〈〉 [0] = { [0]}

b. Jika a = [1] maka,

c. Jika a = [2] maka,

d. Jika a = [3] maka,

e. Jika a = [4] maka,

f. Jika a = [5]maka,

Jadi 〈〉 [5] = { [0],[5],[4], [3],[2],[1]} = 〈〉 [1] = 5 .

Sehingga, subgrup-subgrup dari 6 adalah { [0]} , { [0],[2],[4]} , { [0],[3]} dan 6 itu sendiri.

B.6. Grup Dihedral

Pada bagian ini akan dibahas mengenai grup simet ri dari poligon biasa dan dari cakram piringan yang dapat dipandang sebagai suat u limit dari poligon biasa sebagai banyaknya sisi poligon. Bangun geomet ri ini dipandang sebagai keping t ipis yang dapat diput ar dalam arah t iga dimensi. Grup-grup simet rinya dikenal secara kolekt if sebagai grup dihedral.

Pert ama-t ama akan dijabarkan suatu cakram,

dengan grup simet ri yang dilambangkan dengan D. Perhat ikan bahwa rot asi r t melalui sebarang sudut t di sekit ar sumbu z adalah simet ri dari cakram t ersebut . Rot asi ini memenuhi r t r s = r r+ s dan secara khusus r t r - t = r o =

e, dimana e adalah posisi awal, yait u posisi t anpa perpindahan. Hal ini menunjukkan bahwa N = {r t : t

} adalah subgrup dari

D. Untuk sebarang garis yang melalui t it ik pusat sumbu dari bidang ( x,y), simet ri lipat melalui garis t ersebut (yaitu rot asi sejauh pada garis t ersebut ) adalah simet ri dari cakram t ersebut , yang mempert ukarkan posisi bagian at as dengan bagian bawah dari cakram t ersebut . Dengan j t menyat akan simet ri lipat an pada garis l t yang melalui t it ik pusat sumbu dan t it ik:

  cos t

  sin , t

  dan menuliskan j=j o unt uk simet ri lipat an pada sumbu x.  0 

    Masing-masing j t menggenerasikan suatu subgrup dari

D yang berorde 2. Simet ri dari cakram dapat digambarkan sebagai berikut :

Gambar 4.3. Simet ri pada cakram

Selanjut nya dapat diselidiki bahwa set iap j t dapat dinyatakan dalam bent uk j dan rot asi r t . Untuk melakukan lipat an j t melalui garis l t maka cakram dapat dirot asikan sampai garis l t berimpit dengan sumbu x , kemudian melakukan lipat an j t erhadap sumbu x, akhirnya merot asikan cakram sedemikian sehingga l t kembali ke posisinya semula. Jadi j t = rj trt − , at au

jr tt = rj t . Oleh karena it u yang perlu dihitung adalah perkalian yang hanya memuat simet ri lipat j dan rot asi r t .

 ρ cos  () s 

  Perhat ikan bahwa j yang dit erapkan pada t it ik  ρ sin 

() s   yang t erlet ak pada

  ρ cos () − s    ρ  cos () s  

cakram adalah   ρ sin () − s   dan r t yang dit erapkan pada     ρ sin () s  

  ρ cos ( s + t )   

  sin ( s + t 

Sebagai lat ihan, akan diselidiki fakt a-fakt a t ent ang grup D sebagai berikut :

1. jr t = rj − t , dan j t = rj 2 t = jr − 2 t .

2. Semua perkalian di dalam D dapat dihit ung dengan menggunakan relasi-relasi ini.

3. Grup simet ri D dari cakram t erdiri at as rot asi r t unt uk t ∈ dan

D = NN j .

lipat an j t = rj 2 t . Dengan menuliskan N= {r t : t

} , diperoleh

4. Subgrup -1 N dari D memenuhi aNa = N unt uk semua a D. Selanjut nya akan diselidiki kembali mengenai simet ri poligon beraturan.

  cos 2  ( π kn / )  

Misalkan suat u segi- n berat uran dengan t it ik-t itik sudut    sin 2 ( π kn / 

)   untuk

0, 1, 2, , n 1. − Semet ri grup segi n dilambangkan dengan D n . Dalam soal- soal lat ihan, fakt a-fakt a mengenai simet ri segi n adalah sebagai berikut :

1. Rot asi r = r 2/ π n dengan sudut sebesar 2/ π n melalui sumbu z menggenerasikan suatu subgrup siklik D n yang berorde n.

2. k Lipat an j

π kn / = r 2 π kn / j = rj , untuk k

, adalah simet ri segi- n.

3. Simet ri-simet ri lipat an yang berbeda dari segi k n adalah r j unt uk k = 0,

1, 2, . . . , n-1.

4. Jika n ganjil, maka sumbu masing-masing lipat an melalui t itik sudut dan t it ik t engah sisi-sisi yang berhadapan.

5. Jika n genap dan k genap, maka j

π kn / = rj merupakan simet ri lipat an pada suatu sumbu yang melalui sepasang t it ik sudut berhadapan pada

segi n. Lihat Gambar 2.3.2 unt uk segi 5.

6. Jika k n genap dan k ganjil, maka j π kn / = rj merupakan simet ri lipat an pada suatu sumbu yang melalui t itik t engah pasangan sisi-sisi yang berhadapan dari segi n. Lihat Gambar 4.4. untuk segi 6.

Gambar 4.4. Simet ri pada pent agon dan hexagon

Simet ri grup D k n t erdiri at as 2 n simet ri r dan rj , untuk 0 ≤≤ k n − 1. − Berdasarkan perhitungan simet ri pada cakram bahwa 1 jr = r j , sehingga

− jr k = r j untuk semua k. Relasi-relasi ini memungkinkan semua perkalian di

D n dapat dihit ung. Grup D n dapat dipandang sebagai simet ri grup bent uk geomet ri, at au suat u benda nyat a, dalam bent uk yang agak berbeda. Bayangkanlah misalnya, bunga yang berbentuk segi lima, at au bintang laut , yang t erlihat agak berbeda jika dilihat dari at as dan dari bawah. Meskipun demikian bunga at au bint ang laut t ersebut memiliki simet ri pencerminan dan simet ri putar yang t idak menyebabkan bertukarnya bagian at as dan bawah.

Perhat ikanlah suat u bidang datar segi n. Pencerminan pada garis-garis yang melalui t it ik pusat dan dan salah sat u t it ik sudut segi n t ersebut , at au melalui tit ik pusat dengan t it ik t engah salah sat u sisinya, merupakan simet ri pencerminan yang banyaknya ada n. Dapat dilihat bahwa simet ri rot asi n di dalam bidang bersama dengan simet ri pencerminan n membent uk suatu grup

yang isomet rik dengan D n .

Gambar 4.5. di bawah ini memiliki simet ri D 9 sedangkan Gambar 4.6. memiliki simet ri 5 . K edua bent uk t ersebut digenerasikan oleh ribuan it erasi dari suat u sist im dinamis diskrit yang t erlihat kacau. Gambar t ersebut berbayang-bayang karena adanya probabilit as part ikel yang bergerak memasuki suat u wilayah pada diagram daerah yang lebih gelap menyat akan bahwa wilayah t ersebut paling banyak dimasuki part ikel.

Gambar 4.5. Gambar 4.6 Benda dengan simet ri D 9 Benda dengan simet ri 5

B.7. Soal-Soal

4.1. T ent ukanlah grup simet ri pada suatu belah ket upat yang bukan persegi. Gambarkan semua simet rinya, t ent ukan ukuran grupnya, dan t ent ukan apakah grup t ersebut isomet rik dengan suat u grup lain yang berukuran sama. Jika t ernyat a grup pada belah ket upat adalah grup yang baru, t entukanlah t abel perkaliannya.

4.2. Bukt ikanlah pernyataan berikut ini. Misalkan

G adalah grup dengan elemen ident it as

e, dan misalkan juga bahwa e ′ , g G. Jika eg ′ = g maka e ′ = e.

4.3. Misalkan : G

H adalah suat u isomorfima grup. T unjukkan bahwa

untuk semua n g G dan n , maka ( g ) = (( g)) . T unjukkan bahwa

jika n g = e, maka ( (g)) = e.

4.4. Misalkan : G

H adalah grup isomorfis, t unjukkanlah bahwa G abelian jika dan hanya jika

H abelian.

4.5. T unjukkanlah bahwa syarat -syarat di bawah ini adalah ekivalen unt uk suat u grup G:

b. G abelian

-1 c. Untuk semua -1 a, b G, maka (ab) = a b -1 d. Untuk semua -1 a, b G, maka aba b = e

2 2 e. Untuk semua 2. a, b G, maka (ab) = a b

n f. n Untuk semua a, b G dan bilangan asli n, maka (ab) = a b (gunakan induksi mat emat ika)

4.6. Buktikan pernyat aan mengenai subgrup S 3 yang diberikan dalam Cont ohi 2.2.9.

4.7. T ent ukanlah kisi subgrup dari grup simet ri pada suat u bangun geomet ri persegi.

4.8. T ent ukanlah kisi subgrup dari grup simet ri pada suat u bangun geomet ri persegi panjang.

4.9. Misalkan

H adalah subset dari S 4 yang t erdiri at as himpunan semua 3- cycle, himpunan semua perkalian dari 2-cycles yang disjoint , dan H adalah subset dari S 4 yang t erdiri at as himpunan semua 3- cycle, himpunan semua perkalian dari 2-cycles yang disjoint , dan

dari S 4.

(b) Selanjut nya, perhat ikan perkalian dari dua 3-cycles di dalam S 4. K edua 3-cycle, masing-masing memiliki t iga digit yang sama, at au keduanya memiliki dua dari t iga digit yang sama. Jika cycle- cycle t ersebut memiliki t iga digit yang sama, maka cycle-cycle t ersebut adalah cycle yang sama at au invers sat u sama lain. Jika cycle-cycle t ersebut memiliki dua digit yang sama, maka cycle

t ersebut dapat dit uliskan dalam bent uk ( a 1 a 2 a 3 ) dan ( a 1 a 2 a 4 ), at au ( a 1 a 2 a 3 ) dan ( a 2 a 1 a 4 ). Tunjukkanlah bahwa dalam semua kasus, hasil perkalian merupakan ident it as, at au 3-cycle yang lainnya, at au merupakan perkalian dari dua 2-cycle disjoint .

(c) T unjukkan bahwa perkalian dari suatu 3-cycle dengan salah sat u elemen yang berbent uk ( ab)(cd) akan menghasilkan suat u 3-cycle. (d) T unjukkan bahwa

H merupakan suatu subgrup.

4.10. Misalkan R menyat akan mat riks rot asi  cos

 sin  θ − θ   θ  =     sin θ

cos θ    T unjukkan bahwa himpunan

, dimana adalah bilangan real, akan membent uk suatu grup dengan operasi perkalian mat riks. Jelasnya, tunjukkan bahwa 1

µ = + µ , dan − θ = − θ .

4.11. Misalkan J menyat akan matriks pencerminan t erhadap sumbu x,yait u  1 0

J    = 

4.12. T unjukkan bahwa J = -J

4.13. Misalkan J adalah mat riks dari pencerminan garis yang meliput i t it ik pusat sumbu dan t it ik (cos , sin ). Hitunglah J dan tunjukkkan

bahwa J θ = θ J − θ = 2 θ J .

4.14. Misalkan

π /2 . T unjukkan bahwa kedelapan matriks yang dinyatakan dengan

l :0 ≤≤ k 3 dan 0 ≤≤ l 1 } membent uk suatu

subgrup dari GL(2, ), isomorfis dengan grup simet ri dari persegi t ersebut .

4.15. Misalkan S adalah subset dari suatu grup G, dan misalkan S-1 menyat akan { s-1: s S} . T unjukkan bahwa S-1 = S . Jelasnya,

untuk a G,

a = a-1 sehingga juga (a) = ( a-1).

4.16. Misalkan a adalah elemen dari suat u grup. Misalkan n adalah bilangan

e. T unjukkan bahwa e, a, a 2 , ..., a n-1 masing-masing berbeda. Bukt ikan juga bahwa orde dari subgrup yang digenerasikan oleh a adalah n.

bulat positif t erkecil sehingga a n =

4.17. (14) adalah grup siklik berorde 6. Elemen yang mana dari (14) yang merupakan generat or? T ent ukanlah orde dari set iap elemen (14).

4.18. Dapat kah suat u grup Abelian memiliki t epat dua elemen berorde2?

4.19. Misalkan suatu grup abelian memiliki elemen a yang berorde 4 dan elemen b yang berorde 3.T unjukkan bahwa grup t ersebut juga memiliki elemen berorde 2 dan orde 6.

4.20. Misalkan bahwa suat u grup

G memuat elemen a dan b sedemikian sehingga ab = ba dan orde dari a dan b masing-masing prima relat if. T unjukkan bahwa orde dari ab adalah ( a) (b).

4.21. T unjukkan bahwa elemen-elemen j dan r t dari grup simet ri

D dari cakram memenuhi relasi j rt = rj − t , dan j t = rj 2 t = jr − 2 t .

4.22. Grup simet ri

D dari cakram t erdiri at as rot asi-rot asi r t unt uk t dan lipat an j t = rj 2 t .

a. Dengan N = { r t : t ∈ } , t unjukkanlah bahwa D=NN j .

b. T unjukkan bahwa semua perkalian di

D dapat dihitung dengan menggunakan relasi j rt = rj − t .

c. T unjukkan bahwa subgrup -1 N dari D memenuhi aNa = N untuk semua a D.

4.23. Simet ri pada cakram dinyat akan dengan t ransformasi linier

T uliskanlah mat riks dari simet ri 3. r t dan j dengan basis st andar

Nyat akanlah mat riks-mat riks t ersebut dengan R t dan J, bert urut -t urut. Bukt ikan relasi JR t = R - t J.

4.24. Perhat ikan grup D n dari simet ri segi n.

a. T unjukkan bahwa rot asi r = r 2/ π n melalui suatu sudut 2/ π n pada sumbu z menggenerasikan suat u subgrup siklikD n yang berorde n.

rj b. T unjukkan bahwa simet ri lipat k π kn / = 2 π kn / = , untuk k , adalah simet ri-simet ri dari segi n.

c. T unjukkan bahwa simet ri lipat yang berbeda dari segi k n adalah r j untuk k = 0, 1, . . . ,n -1.

4.25. T ent ukan suat u subgrup D 6 yang isomorfis dengan D 3.

4.26. T ent ukan suatu subgrup D 6 yang isomorfis dengan simet ri grup persegi panjang.

C. Homomorfisme dan I somorfisme

Pada dasarnya konsep isomerfisme ant ara dua grup, yait u: Suat u isomorfisme : G H merupakan suat u bijeksi yang menghasilkan perkalian grup (yaitu (g 1 g 2 ) = (g 1 ) (g 2 ) untuk semua g 1 ,g 2 G) t elah diperkenalkan pada bagian sebelumnya. Sebagai cont oh, himpunan mat riks 3 x 3 { 2 E, R, R ,

3 2 R 3 , A, RA, R A} , dengan E adalah ident it as mat riks 3 x 3, dan A, R

adalah subgrup dari GL(3, ). Selanjut nya, pemet aan : ra k l RA k ϕ l

( 0 ≤≤ k 3, 0 ≤≤ l 1 ) merupakan isomorfisme dari grup simet ri persegi t erhadap

grup mat riks-mat riks t ersebut di at as. Demikian pula, himpunan mat riks-

2 3 2 mat riks 2 x 2 yait u { 3 E, R, R , R , J, RJ, R J, R J} , dengan E adalah ident it as mat riks 2 x 2, dan

klk

( 0 ≤≤ k 3, 0 ≤≤ l 1 ) merupakan isomorfisme dari grup simet ri persegi t erhadap

grup mat riks-mat riks ini. K onsep yang lebih umum dan yang sangat bermanfaat didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 4.8. Suat u pemet aan ant ara grup ϕ : G → H disebut homomorfisme jika pemet aan t ersebut mempert ahankan perkalian grup, yaitu

ϕ () gg 12 = ϕ ()() g 1 ϕ g 2 untuk semua gg 1 , 2 ∈ G . Suatu endomorfisme di G adalah

homomorfisme ϕ : G → G . Dalam hal ini ϕ t idak perlu injekt if at au surjekt if.

Contoh 4.28. Pada cont oh ini akan dipelajari homomorfisme dari grup simet ri dari persegi t erhadap grup permutasi. Let akkan kart u yang berbent uk persegi

di dalam bidang ( y) sedemikian sehingga sumbu-sumbu simet ri rot asinya yait u

a, b, dan r,berimpit dengan sumbu x,y, dan z. Masing-masing simet ri dari kart u menimbulkan suatu pemet aan bijekt if dari ruang

S = { ( xy ,,0: ) x ≤ 1, y ≤ 1 } dit empati oleh kart u t ersebut . Sebagai contoh,

simet ri a menimbulkan pemet aan

 x    x    y  − y    0   0 

Pemet aan yang berhubungan dengan masing-masing simet ri mengubah himpunan V dengan keempat t itik sudut S ke dirinya sendiri. Dengan demikian untuk set iap simet ri σ pada persegi t adi, diperoleh suat u elemen

πσ () dari Sym V () . K omposisi simet ri berhubungan dengan komposisi pemet aan dari S dan dari V, sehingga σ πσ () merupakan suat u isomorfisme grup simet ri dari persegi t erhadap Sym V () . Homomorfisme ini injekt if karena simet ri dari suatu persegi seluruhnya ditent ukan oleh apa yang diakibat kannya t erhadap tit ik sudut . Meskipun demikian, homomorfisme

t ersebut t idak mungkin surjekt if, karena persegi t ersebut hanya memiliki delapan simet ri sedangkan Sym V () = 24.

Contoh 4.29. Untuk menjelaskan hal t ersebut di atas dan agar lebih bermanfaat dalam perhit ungan, maka dimisalkan jumlah t it ik sudut ada

sebanyak S. Art inya penomoran t idak dilakukan berdasarkan banyaknya sudut pada kartu persegi yang bergerak bersama dengan kart u it u, t et api berdasarkan lokasi dari sudut -sudut nya. Lihat Gambar 4.7.

Gambar 4.7. Penomoran t it ik sudut persegi

Dengan menomori t it ik sudut, diperoleh suatu homomorfisme ϕ dari grup

simet ri persegi t erhadap S 4 . Dapat dilihat bahwa ϕ ()( r = 1432 , ) ϕ ( ) ( )( ) a = 14 23 , dan ϕ ()() c = 24 . Jadi sekarang dapat disimpulkan bahwa ϕ ( ) ( ) ( )( )( a ϕ r = 14 23 1432 )() = 24 = ϕ () c = ϕ () ar .

Contoh 4.30. T erdapat himpunan lain dari objek-objek geomet ri yang berhubungan dengan persegi, yang dipermut asikan oleh simet ri persegi:

himpunan sisi, himpunan diagonal, dan himpunan pasangan sisi yang berhadapan. Perhat ikanlah diagonal-diagonal pada Gambar 4.8. Penomoran pada diagonal-diagonal akan menghasilkan homomorfisme ψ dari grup simet ri

persegi dengan S 2. Dapat dilihat bahwa ψ () r = ψ () a = 12, sedangkan ψ () c = e .

Gambar 4.8. Penomoran diagonal-diagonal pada persegi

Contoh 4.31. n T elah diket ahui bahwa t ransformasi T : → memiliki sifat

bahwa Ta ( + b ) = Ta () + Tb () . Oleh karena it u, T merupakan suat u

homomorfisme grup dari grup penjumlahan n ke dirinya sendiri. Lebih jelasnya, untuk sebarang mat riks M yang berukuran n x n, didapat kan

Ma ( + b ) = Ma + Mb . Jadi perkalian dengan M merupakan suat u

homomorfisme grup dari grup penjumlahan n t erhadap dirinya sendiri.

Contoh 4.32. Misalkan

G adalah sebarang grup dan a merupakan elemen dari

G. Pemet aan dari

ke

G yang dinyat akan dengan k a k adalah suat u

homomofisme grup. Hal ini ekivalen dengan pernyat aan bahwa l a + = aa untuk semua bilangan bulat k dan l. Pet a dari homomorfisme ini adalah

kl k

subgrup siklik dari

G yang digenerasikan oleh g.

Contoh 4.33. Suatu homomorfisme dari ke n yang didefinisikan dengan k [ ]. k Hal ini dit urunkan langsung dari definisi penjumlahan di dalam

n :[] a + [] b = [ a + b ]. Cont oh ini merupakan kasus khusus dari cont oh sebelumnya, dengan G = n dan memilih elemen a = [1] ∈ G . Pemet aannya

dinyatakan dengan k k [1] = [ ]. k

Contoh 4.34. Misalkan

G adalah grup abelian dan n adalah bilangan bulat t et ap. Maka pemet aan dari n G ke G yang dinyat akan dengan g g adalah

() ab = ab

homomorfisme grup. Hal ini ekivalen dengan pernyat aan bahwa nn

apabila a, b adalah elemen-elemen dari suat u grup abelian.

Proposisi 4.20. Misalkan ϕ : G → H dan ψ : H → K adalah homomorfisme grup. Maka komposisi ψϕ : G → K juga merupakan suat u homomorfisme. (Buktikan). Selanjutnya akan diselidiki bahwa homomorfisme

mempert ahankan identit as dan inversi grup.

Proposisi 4.21. Misalkan ϕ : G → H adalah homomorfisme grup.

(a) ϕ () e G = e H .

(b) Untuk set iap g ∈ G , ϕ − () g = () ϕ () g .

Bukti: Unt uk sebarang g ∈ G , berlaku

ϕ ()() e G ϕ g = ϕ () eg G = ϕ () g .

Pernyat aan ini dit urunkan dari Proposisi 4.21. (a) bahwa ϕ () e G = e H .

Demikian pula, untuk sebarang g ∈ G , berlaku

1 ϕ 1 g () − ϕ ()

g = ϕ gg () − = ϕ () e G = e H .

Jadi Proposisi 4.21. (b) menyat akan bahwa ϕ () g = () ϕ () g .

Sebelum menyat akan proposisi selanjut nya, akan diuraikan secara ringkas mengenai beberapa kesepakat an not asi mat emat is. Untuk sebarang fungsi f : X → Y , dan sebarang subset B ⊆ Y , maka prapet a dari

B di X

− adalah 1 { x ∈ X : fx () ∈ B } . Not asi untuk prapet a dari B adalah f () B . Prapet a

B t idak mempersyarat kan bahwa f harus memiliki suat u fungsi invers. Jika f

f − 1 B f − memiliki suatu fungsi invers, maka 1 () = { () y : y ∈ B } . Sebagai cont oh,

− jika 1 ϕ : →

6 adalah pemet aan n [ ], n maka ϕ ( { [0],[3] } ) adalah himpunan

bilangan bulat yang kongruen dengan 0 at au dengan 3 mod 6.

Proposisi 4.22. Misalkan ϕ : G → H adalah suatu homomorfisme grup.

(a) Untuk set iap subgrup A ⊆ G , ϕ () A merupakan subgrup dari H.

(b) Untuk set iap subgrup 1 B ⊆ H , ϕ − ()

B = { g ∈ G : ϕ () g ∈ B } adalah subgrup

dari G.

Bukti: Akan dit unjukkan bahwa ϕ () A t ert utup pada operasi perkalian dan invers. Misalkan h 1 dan h 2 adalah elemen-elemen dari ϕ () A maka t erdapat elemen-elemen aa 1 , 2 ∈ A sedemikian sehingga h i = ϕ () a i untuk i = 1, 2.K arena

aa 12 ∈ A maka hh 12 = ϕ ()() a 1 ϕ a 2 = ϕ ()() aa 12 ∈ ϕ A . Demikian juga, unt uk

h ∈ ϕ () A , t erdapat a ∈ A sedemikian sehingga ϕ () a = h . Dengan