Akan dit unjukkan bahwa : M 21 × () kompleks dari M 21 × () M 21 × () adalah subset dari M 21 × () karena
Akan dit unjukkan bahwa : M 21 × () kompleks dari M 21 × () M 21 × () adalah subset dari M 21 × () karena
a a ∀= A ∈ M
b
21 × () ≠∅ karena ∃ ∈ M 0 21 ×
∴ Jadi, M 21 × () adalah kompleks dari M 21 × () Selanjut nya akan dit unjukkan bahwa M 21 × () adalah suat u grup t erhadap
operasi penjumlahan yang didefinisikan pada grup M 21 × ()
Akan dit unjukkan t ert utup t erhadap operasi penjumlahan a 1
a a +
b 21 × ()
+ b 1 b 2
K arena ab 1 ,,, 2 1 2 ∈ , maka a 1 + ab 2 , 1 + b 2 ∈
Akan dit unjukkan eksist ensi elemen ident it as
∃= O ∈ M
0 a
∀= A
× ∈ M 21 () ∋
b 1
a 0 1 0 a A a + O = + =
b 1 0 0 b 1
b 1
Akan dit unjukkan eksit ensi elemen invers t erhadap operasi penjumlahan
a A 1 M
, A ′ − a 1 ∀= ∈ 21 × () ∃ =
− ∈ M 21 × () ∋ 1 b 1
Jadi, ( M 21 × () ,) + adalah subgrup dari ( M 21 × () ,) +
2 M 2 21 × () ≠ M 21 × () karena ∃ ∈ M 21 × () t et api ∉ M 21 × ()
t et api 2 21 × ≠ 0 ()
karena ∃ 2 ∈ M
K arena M
21 × () ≠ M 21 × () dan M
() ≠ sehingga , M
subgrup nont rivial dari M 21 × ()
Dengan cara yang sama kit a juga dapat menunjukkan bahwa
M 21 × () ⊆ M 21 × () ⊆ M 21 × () ⊆ M 21 × () . Masing-masing adalah subgrup t erhadap
operasi penjumlahan dari grup yang memuatnya. Jika G adalah suatu grup t erhadap suat u operasi ∗ , kemudian ∗ adalah suat u operasi yang bersifat assosiat if pada beberapa subset t ak kosong dari G. Suat u subset H dari G adalah suatu subgrup, jika
1. H memuat elemen ident it as,
2. H t ert ut up t erhadap operasi ∗ ,
3. H memuat elemen invers dari masing-masing anggot anya. K et erangan:
K ait annya dengan syarat 1, menganggap adanya kemungkinan bahwa
H mungkin berisi elemen identit as e ′ unt uk set iap anggot anya yang
dapat berbeda dengan elemen ident it as e pada
G sedemikian sehingga
elemen e ′ memiliki sifat e ′ ∗= e ′ e ′ .
Suat u elemen 2 x pada grup perkalian G disebut idempotent jika x = x . Bukt ikan bahwa elemen ident it as e adalah satu-sat unya elemen
idempot ent pada grup G!
Bukt i:
Misalkan ada 2 x ∈ G sedemikian sehingga x = x Akan dit unjukkan bahwa e = x
G adalah grup maka t erdapat x − 1 ∈ G . Perhat ikan bahwa:
K arena x ∈ G dan
x = xx xx − 1 x − ⇔ 1 = () xx
⇔= 1 e ()
xxx − ⇔= e ex ⇔= e x
K ait annya dengan syarat 3, kit a menganggap kemungkinan bahwa set iap a ∈ H mungkin memiliki sat u elemen invers di subgrup H dan suat u elemen invers yang berbeda di grup G. Hal ini t idak mungkin t erjadi karena solusi y unt uk ay ∗=∗= ya e adalah tunggal.
Sifat-sifat dari subgrup:
1. Elemen identitas pada suatu subgrup adalah sama dengan elemen identitas pada grup
Bukti:
Misalkan H adalah subgrup dari grup G t erhadap operasi biner ∗ . Misalkan e adalah elemen identit as pada G Misalkan e ′ adalah elemen identit as pada H
Akan dibukt ikan bahwa e = e ′ Ambil sebarang a ∈ H , maka a ∈ G karena H ⊆ G
K arena a ∈ G dan e adalah elemen ident it as pada G ⇒ ae ∗= a K arena a ∈ H dan e ′ adalah elemen ident it as pada H ⇒ ae ∗= ′ a
Perhat ikan bahwa ae ∗= a =∗ ae ′ . Dengan menggunakan sifat kanselasi
maka diperoleh, e = e ′ .
2. Elemen invers dari tiap-tiap elemen pada subgrup adalah sama dengan elemen invers pada grup
Bukti:
Misalkan
H adalah subgrup dari grup G t erhadap operasi biner ∗ . Misalkan e adalah elemen ident it as pada
H dan tent u saja di G. Ambil sebarang a ∈ H , maka a ∈ G karena H ⊆ G . Sekarang, misalkan b dan c adalah invers dari a , t ent u saja b dan c adalah elemen di
H dan di G. Oleh karena itu: ab ∗=∗= ba e
ac ∗=∗= ca e
Selanjut nya akan ditunjukkan bahwa b = c .
Perhat ikan bahwa:
b =∗ be
=∗∗ b () ac = () ba ∗∗ c =∗ ec = c