I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pendistribusian suatu barang merupakan persoalan yang sering dijumpai baik oleh
pemerintah maupun oleh produsen. Dalam pelaksanaannya sering kali dihadapkan pada
berbagai masalah seperti efisiensi biaya, efisiensi waktu ataupun masalah efektifitas
kendaraan. Contoh pendistribusian barang adalah pengangkutan sampah oleh Dinas
Kebersihan, pendistribusian produk perusahaan kepada agen, pengambilan surat di
kotak pos oleh PT Pos Indonesia dan mas ih banyak lagi. Contoh-contoh tersebut termasuk
dalam masalah pengambilan dan pengiriman pick up and delivery problem PDP.
Masalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu pick up and delivery
problem with time windows PDPTW merupakan pengembangan dari PDP. Kendala
waktu dalam PDPTW diartikan sebagai selang waktu untuk menunggu pengambilan atau
pengiriman di suatu tempat. Masalah PDP dan PDPTW telah banyak
dibahas dan dipelajari, di antaranya oleh Mitrofic-Minic 1998 yang membahas
metode heuristik untuk menyelesaikan
masalah PDPTW, Bruggen et al. 1993 membahas PDPTW dengan satu depot, Dumas
et al. 1991 membahas penyelesaian PDPTW dengan menggunakan teknik pembangkitan
kolom yang dipandang sebagai masalah path terpendek serta M. Sol M.W.P. Savelsberg
1995 yang membahas PDP secara luas. Tulisan ini merupakan rekonstruksi dari
tulisan M. Sol M.W.P. Savelsberg 1994 yang berjudul “A Branch-and-Price Algorithm
for the Pickup and Delivery Problem with Time Windows”.
1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah
mempelajari penyelesaian masalah pengambilan dan pengiriman berkendala
waktu dengan menggunakan teknik pembangkitan kolom .
II LANDASAN TEORI
Beberapa konsep yang dibutuhkan dalam masalah pengambilan dan pengiriman dengan
kendala waktu adalah sebagai berikut:
2.1 Graf Definisi 1 Graf
Suatu graf adalah pasangan terurut V,E dengan V himpunan takkosong dan hingga dan
E adalah himpunan pasangan takterurut yang menghubungkan elem en-elemen
V dan
dinotasikan dengan E
V G
, =
. Elemen V dinamakan simpul node, dan
elemen E dinamakan sisi edge, dinotasikan sebagai
{ }
j i,
, yaitu sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j, dengan
V j
i ∈
, .
Foulds, 1992 Ilustrasi graf dapat dilihat pada Contoh 1
berikut: Contoh 1
G:
Gambar 1 Graf G = V, E. Pada Gambar 1,
{ }
6 5
4 3
2 1
, ,
, ,
, v
v v
v v
v V
= dan
{ }{
} { }
{ {
}
, ,
, ,
, ,
, ,
6 3
3 2
6 1
2 1
v v
v v
v v
v v
E =
{ } {
}{ }}
5 4
6 5
4 3
v v
v v
v v
, ,
, ,
, .
Definisi 2 Walk
Suatu walk pada graf E
V G
, =
adalah suatu barisan simpul dan sisi dari G dengan
bentuk:
{ } {
} { }
n n
n
v v
v v
v v
v v
v ,
, ,...,
, ,
, ,
,
1 3
2 2
2 1
1 −
, atau ditulis dengan ringkas :
n
v v
v ,...,
,
2 1
atau
n
v v
v ,...,
,
2 1
. Walk tersebut menghubungkan simpul
1
v dengan
n
v . Foulds, 1992
Definisi 3 Closed Walk, Cycle
Suatu walk
n
v v
v ,...,
,
2 1
pada suatu graf G dikatakan tertutup closed walk jika
n
v v
=
1
. Suatu walk tertutup yang mengandung
setidaknya tiga simpul dan semua simpulnya berbeda disebut cycle.
Foulds, 1992 Berikut ini diberikan ilustrasi dari walk
tertutup dan cycle. Salah satu contoh walk v
4
v
6
v
1
v
5
v
3
v
2
tertutup pada graf G dalam Contoh 1 adalah
1 2
1 6
1
v v
v v
v ,
, ,
,
, sedangkan
1 6
3 2
1
v v
v v
v ,
, ,
,
adalah salah satu contoh cycle. Definisi 4 Digraf
Digraf directed grafgraf berarah adalah pasangan terurut V, A dengan V adalah
himpunan takkosong dan hingga, dan A adalah himpunan pasangan terurut dari elemen-
elemen di V dan dinotasikan sebagai
A V
D ,
= .
Elemen dari A disebut sisi berarah arc dan dituliskan sebagai
j i,
dengan V
j i
∈ ,
. Foulds, 1992
Contoh berikut merupakan ilustrasi digraf.
Contoh 2 D:
Gambar 2 Digraf A
V D
, =
. Pada Gambar 2, digraf D memiliki
{ }
6 5
4 3
2 1
v v
v v
v v
V ,
, ,
, ,
= dan
{
4 3
6 3
3 2
1 6
2 1
v v
v v
v v
v v
v v
A ,
, ,
, ,
, ,
, ,
=
}
5 4
6 5
v v
v v
, ,
,
.
Definisi 5 Walk berarah
Suatu walk
berarah pada
digraf A
V D
, =
adalah suatu barisan simpul dan sisi dari G dengan bentuk:
n n
n
v v
v v
v v
v v
v
− −
− −
− −
−
, ...
, ,
1 3
2 2
2 1
1
atau ditulis dengan ringkas:
n
v v
v
− −
−
...
2 1
atau v
1
-
v
2
-
…
-
v
n
. Walk tersebut
menghubungkan simpul
1
v
dengan
n
v
. Foulds, 1992
Definisi 6 Cycle berarah
Suatu walk berarah
n
v v
v
− −
−
...
2 1
dengan
n
v v
=
1
dan mempunyai setidaknya tiga simpul berbeda disebut sebagai cycle
berarah. Foulds, 1992
Berikut ini diberikan ilustrasi mengenai cycle berarah. Salah satu contoh cycle berarah
pada digraf D dalam Contoh 2 adalah cycle v
1
-
v
2
-
v
3
-
v
6
-
v
1
, sedangkan cycle v
1
,
v
6
,
v
3
,
v
2
,
v
1
pada digraf D bukan merupakan cycle berarah.
Definisi 7 Graf Berbobot
Suatu graf E
V G
, =
atau digraf A
V D
, =
dikatakan berbobot jika terdapat fungsi
ℜ →
E w :
atau ℜ
→ A
: ϑ
dengan
ℜ
adalah himpunan bilangan real yang memberikan bobot pada setiap elemen E atau
elemen A. Foulds, 1992
2.2 Pemrograman Linear
Kategori