3.1.3 Rute dalam Masalah Pengambilan
dan Pengiriman dengan Kendala Waktu
Ada banyak cycle y ang dapat dibuat dari PDPTW. Namun cycle-cycle tersebut belum
tentu menjadi rute dalam PDPTW. Misal kan didefinisikan:
•
k
V
= S
+
∪
S
-
∪
{k
+
} •
S
k
= Himpunan TR yang berpadanan dengan
k
V •
k i
D
+
= waktu pengambilanwaktu keberangkatan kendaraan tipe k
pada tempat
+
i •
k i
D
−
= waktu pengirimanwaktu tiba kendaraan tipe k pada tempat
−
i •
k i
t
= k
i i
t
− +
•
selainnya 0,
tempat ke
tempat melewati
tipe kendaraan
jika 1,
=
j i
k
k j
i
x Rute dalam PDPTW didefinisikan sebagai
berikut. Definisi 13 Rute Fisibel PDPTW
Rute pengambilan dan pengiriman R
k
untuk kendaraan tipe k yang fisibel untuk PDPTW
adalah cycle berarah pada
k
V ′
⊆
k
V yang memenuhi:
1 Dalam rut e R
k
kendaraan berangkat dari depot k
+
dan tidak berangkat sebelum
waktu pemberangkatan kendaraan yang ditentukan e
k +
. 2 Setiap i
∈
k
S ′
harus memenuhi i
+
∈
k
V ′
jika dan hanya jika
−
i
∈
k
V ′
, dengan
k
S ′
adalah himpunan permintaan transportasi dalam
rute R
k
. 3 Setiap i
∈
k
S ′
, jika {i
+
,
−
i
}
⊆
k
V ′
maka i
+
dikunjungi terlebih dahulu dari pada
−
i . 4 Setiap tempat di
k
V ′
kecuali depot k
+
dikunjungi tepat 1 kali . 5 Setiap tempat di
k
V ′
kecuali depot k
+
dikunjungi sesuai
dengan kendala waktuny a. Ini berarti:
] ,
[ ]
, [
, l
e D
l e
D S
i
i i
k i
i i
k i
k −
− −
+ +
+
∈ ∧
∈ ∃
′ ∈
∀
sedemikian sehingga harus memenuhi: ?
k i
k i
k i
D t
D
− +
≤ +
?
+ −
− +
− +
≤ ⇒
= =
j i
k j
j k
i i
D D
x x
1 dengan
k
S j
′ ∈
dan .
+ −
= j
i 6 Muatan kendaraan tidak pernah melebihi
Q
k
, dengan Q
k
adalah kapasitas kendaraan tipe k .
7 Dalam rute R
k
kendaraan berhenti pada depot k
+
dan tidak melebihi waktu tiba kendaraan l
k +
pada depot k
+
. Contoh berikut ini adalah ilustrasi mengenai
suatu rute dalam PDPTW. Contoh 10: Pencarian rute PDPTW
Misalkan diketahui permintaan
transportasi TR dari suatu perusahaan seperti pada Tabel 2. Misalkan hanya terdapat
satu depot dan dilambangkan dengan Tempat 1. T erdapat satu kendaraan berkapasitas
maksimum 100 kg dari satu tipe kendaraan yang beroperasi dalam PDPTW ini.
Kendaraan tersebut hanya dapat dioperasikan mulai pukul 7.00 pagi sampai dengan pukul
10.00 pagi.
_______________________________________________________________________________ Tabel 2. Permintaan transportasi suatu perusahaan
TR q
i
Tempat Batas Waktu
1 i
t i
kg Asal
T ujuan Pengambilan
Pengiriman menit
a 120
1 2
7.00 – 7.05 7.25 - 7.35
20 b
100 1
3 7.00 – 7.05
7.15 - 7.20 15
c 90
3 2
7.25 – 7.30 7.50 - 7.55
25 d
100 2
4 7.40 – 7.45
7.50 - 8.05 15
e 70
4 3
8.15 – 8.20 8.30 - 8.35
10 f
70 4
5 8.15 – 8.20
8.50 - 9.05 40
g 10
3 5
8.40 – 8.45 8.55 - 9.00
17 h
5 5
1 9.05 – 9.10
9.50 -10.00 50
Untuk mempermudah pencarian rute, masalah pada Contoh 10 dapat dimodelkan dalam suatu
graf berikut.
Gambar 5. Graf dari Contoh 10.
Dalam Gambar 5, himpunan tempat asal, tempat tujuan dan Depot 1 adalah V
1
= S
+
∪
S
-
∪
{1} = {1,2,3,4,5}. Terdapat empat cycle berarah yang berawal dan berakhir di Simpul
1. C ycle tersebut adalah 1-3-5-1, 1-3-2-4-5-1, 1-2-4-3-5-1, dan 1-2-4-5-1. Ke empat cycle
tersebut belum tentu menjadi suatu rute dalam PDPTW. Suatu cycle dapat dikatakan rute
PDPTW jika memenuhi seluruh persyaratan dalam Definisi Rute Fisibel PDPTW.
Perhatikan cycle pertama 1-3-5-1.
Ambil {1,3,5}
⊆
V
1
. Cycle tersebut memenuhi ketujuh syarat dalam Definisi Rute
Fisibel PDPTW. 1 Dalam cycle pertama, kendaraan berangkat
dari Depot 1 antara pukul 7.00 – 7.05. Waktu keberangkatan kendaraan pada
Depot 1 adalah pukul 7.00, sehingga batas waktu pengambilan tidak mendahului
waktu pemberangkatan kendaraan pada Depot 1.
2 Untuk setiap permintaan transportasi i
∈
{b,g,h} memenuhi i
+
∈
{1,3,5} jika dan hanya jika
−
i
∈
{1,3,5}. 3 Untuk setiap permintaan transportasi
i
∈
{b,g,h} d a n {i
+
,
−
i }
⊆
{1,3,5}, berlaku
i
+
dikunjungi terlebih dahulu dari pada
−
i . 4 T empat 3 dan 5 dikunjungi tepat 1 kali.
5 Tem pat 3 dan 5 dikunjungi sesuai dengan kendala waktunya .. Operasi penjumlahan
pada langkah ini merupakan penjumlahan antara waktu keberangkatan dengan
lamanya perjalanan dalam satuan menit. Cycle 1-3-5-1 memenuhi:
Untuk i= b, ]
05 .
7 ,
00 .
7 [
00 .
7
1
∈ =
∃
+ b
D ∧
] 20
. 7
, 15
. 7
[ 15
. 7
1
∈ =
− b
D
∋
? 15
. 7
15 00
. 7
≤ +
? 1
1 5
, 3
1 3
, 1
= =
x x
⇒
1 −
b
D ≤
+ 1
g
D ⇒
7.15 ≤
+ 1
g
D Untuk i = g,
] 45
. 8
, 40
. 8
[ 40
. 8
1
∈ =
∃
+ g
D ∧
] 9.0
, 55
. 8
[ 57
. 8
1
∈ =
− g
D
∋
? 1
1 5
, 3
1 3
, 1
= =
x x
⇒
7.15 ≤
8.40 ?
57 .
8 17
40 .
8 ≤
+ ?
1
1 1
, 5
1 5
, 3
= =
x x
⇒
− 1
g
D ≤
+ 1
h
D ⇒
8.57 ≤
+ 1
h
D Untuk i = h,
] 10
. 9
, 05
. 9
[ 08
. 9
1
∈ =
∃
+ h
D ∧
] 00
. 10
, 50
. 9
[ 58
. 9
1
∈ =
− h
D
∋
? 1
1 1
, 5
1 5
, 3
= =
x x
⇒ 8.57
≤ 08
. 9
? 58
. 9
50 08
. 9
≤ +
. 6
Muatan barang yang dibawa oleh kendaraan tidak pernah melebihi 100 kg,
karena kuantitas maksimum pada TR i
∈
{b,g,h} adalah sebesar 100 kg. 7
Rute kendaraan cycle pertama berhenti pada Depot 1 pada pukul
9.58. Batas waktu maksimum kedatangan kendaraan
pada Depot 1 adalah pukul 10.00. Rute tersebut tidak melewati batas waktu tiba
kendaraan di Depot 1 .
Akibatnya cycle pertama merupakan rute fisibel PDPTW.
Berbeda dengan cycle pertama, cycle kedua 1-3-2-4-5-1 bukan merupakan rute
fisibel PDPTW, karena tidak memenuhi syarat kelima dalam Definisi Rute Fisibel PDPTW.
Ambil {1,2,3,4,5}
⊆
V
1
. Perhatikan permintaan transportasi c dan d. Pada TR c,
muatan sebesar 90 kg akan dikirimkan ke Simpul 2
−
c dengan batas waktu pukul 7.50 - 7.55
.
Kendaraan tersebut diharuskan memenuhi TR selanjutnya, yakni TR d.
Kendala waktu p emberangkatan pada Simpul 2 d
+
adalah pukul 7.40 - 7.45, yang tidak mungkin dipenuhi jika kendala waktu pada
−
c adalah 7.50 - 7.55. Ini berarti cycle kedua bukan merupakan rute fisibel PDPTW.
Perhatikan cycle ketiga 1-2-4-3-5-1 dan cycle keempat 1-2-4-5-1.
Ambil {1,2,3,4,5}
⊆
V
1
untuk cycle ketiga dan
{1,2,4,5}
⊆
V
1
untuk cycle keempat. Kedua cycle tersebut bukan suatu rute fisibel dalam
PDPTW, karena muatan barang yang
e,70 f,70
g,10 h,5
c,90
1
5 2
3 4
a,120 b,100
d,100
dikirimkan melalui TR a melebihi kapasitas kendaraan. _
3.2 Formulasi Masalah sebagai Masalah Pemartisian Himpunan
Kategori