Solusi dari masalah dual tersebut juga dapat dicari dengan menggunakan LINDO 6.1
yang menghasilkan solusi:
74 27
51
6 4
3 5
2 1
= =
= =
= =
y y
y y
y y
, ,
,
dengan nilai fungsi objektif w = 152 lihat Lampiran 2. Dari penghitungan tersebut,
terlihat bahwa fungsi objektif dar i masalah primal dan dual mempunyai nilai yang sama
seperti dinyatakan dalam Teorema 2. _
2.4 Pemrograman Linear Bilangan Bulat Model pemrograman linear bilangan bulat
Integer Linear ProgrammingILP adalah suatu model pemrograman linear dengan
variabel yang digunakan berupa bilangan bulat integer. Jika semua variabel harus berupa
bilangan bulat, maka masalah tersebut disebut ILP-murni. Jika hanya sebagian yang harus
bilangan bulat maka disebut ILP-campuran. ILP dengan semua variabelnya harus bernilai
0 atau 1 disebut 0-1 I LP.
Definisi 11 Pemrograman Linear Relaksasi
PL-relaksasi dari suatu ILP merupakan pemrograman linear yang diperoleh dari ILP
tersebut dengan menghilangkan kendala bilangan bulat atau kendala 0-1 pada
variabelnya. Winston, 1995
Model yang digunakan pada tulisan ini yang berkaitan dengan masalah ILP adalah
model masalah pemartisian himpunan.
2.5 Masalah Pemartisian Himpunan
Definisi 12 Partisi
Misalkan diberikan dua himpunan, yaitu
{ }
m I
,..., 2
, 1
=
dan
{ }
n
P P
P P
,..., ,
2 1
=
dengan P
j
adalah suatu himpunan bagian dari I,
{ }
n J
j ,...,
2 ,
1 =
∈ .
Himpunan P
j
, j ∈
J J
⊆ adalah partisi dari
I jika:
Υ
J j
j
I P
∈
= dan
untuk =
∩ ⇒
≠ ∈
k j
P P
k j
J k
j ,
,
ø
. Garfinkel Nemhauser, 1972
Ilustrasi dari suatu partisi dapat dilihat pada Contoh 6 berikut:
Contoh 6 Misalkan diberikan himpunan
{ }
6 ,
5 ,
4 ,
3 ,
2 ,
1 =
I dan kelas-kelas himpunan
{ }
6 ,
1
1
= P
,
{ }
4 ,
3
2
= P
,
{ }
6 ,
4 ,
1
3
= P
,
{ }
2
4
= P
,
{ }
5 ,
3 ,
2
5
= P
. Partisi dari I di antaranya adalah
{ }
4 3
, P P
, karena untuk himpunan
{ }
5 ,
3 =
J memenuhi:
Υ
J j
j
I P
∈
= dan
untuk =
∩ ⇒
≠ ∈
k j
P P
k j
J k
j ,
,
ø
. _ Masalah pemartisian himpunan set
partitioning problemSPP adalah masalah menentukan partisi dari himpunan I dengan
biaya minimum. Untuk mendapatkan partisi tersebut, misalkan didefinisikan variabel 0-1
sebagai berikut: 1, jika P
j
termasuk dalam partisi x
j
= 0, selainnya
Bentuk umum SPP: Minimumkan
∑
= n
j j
j
x c
1
terhadap =
∑
= j
n j
x j
A
1
1
=
j
x atau 1
dengan c
j
adalah biaya P
j
, Aj adalah matriks
koefisien kendala, dan 1 adalah vektor dengan dimensi n dengan semua komponennya sama
dengan 1. Model ini memiliki beberapa sifat
penting, yaitu: Sifat 1 Masalah pada model memiliki
kendala berupa persamaan. Sifat 2 Nilai sisi kanan semua kendala
adalah 1. Sifat 3 Semua elemen matriks koefisien Aj
adalah 0 atau 1.
Contoh 7 Masalah pemartisian himpunan
Misalkan diberikan himpunan I beserta kelas -kelas P seperti pada Contoh 6. Misalkan
diketahui biaya dari masing-masing kelas P
j
, yaitu c
j
, dengan 17
, 18
, 19
, 10
, 15
5 4
3 2
1
= =
= =
= c
c c
c c
. Diinginkan himpunan dari P
j
yang dapat memartisi I dengan biaya minimum. Masalah
tersebut dapat dimodelkan sebagai masalah pemartisian himpunan. Misalkan didefinisikan
variabel 0-1 sebagai berikut:
1, jika P
j
termasuk dalam partisi x
j
= 0, selainnya
1, jika elemen ke-j di I merupakan elemen P
j
, dengan 5
2 1 ,...,
, =
j Aj =
0, selainnya Masalah tersebut dapat dimodelkan sebagai
SPP berikut: Minimumkan
5 4
3 2
1
17 18
19 10
15 x
x x
x x
+ +
+ +
terhadap 1
3 1
= +
x x
elemen 1 1
5 4
= +
x x
elemen 2
1
5 2
= +
x x
elemen 3 1
3 2
= +
x x
elemen 4 1
5
= x
elemen 5 1
3 1
= +
x x
elemen 6 =
j
x atau 1, untuk
{ }
5 ,
4 ,
3 ,
2 ,
1 =
j
. Dengan mengunakan
LINDO 6.1 diperoleh solusi untuk masalah SPP sebagai
berikut: 1
,
5 3
4 2
1
= =
= =
= x
x x
x x
, dan nilai fungsi objektif sebesar 36. Jadi partisi dari
{ }
6 ,
5 ,
4 ,
3 ,
2 ,
1 =
I dengan biaya minimum
adalah
{ }
6 ,
4 ,
1
3
= P
dan
{ }
5 ,
3 ,
2
5
= P
.
III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Dalam masalah pengambilan dan pengiriman PDP sejumlah rute harus
dikonstruksi guna memenuhi semua permintaan transportasi
transportation requestTR. Permintaan transportasi dapat
diartikan sebagai suatu permintaan pengiriman barang yang harus dibawa secara langsung
dari lokasi pengambilan barang tempat asal ke lokasi pengiriman tempat tujuan. Setiap
permintaan transportasi memiliki kuantitas barang yang dibawa oleh suatu kendaraan.
Kuantitas barang yang dibawa ke tempat tujuan belum tentu semuanya diturunkan pada
tempat tujuan. Bisa jadi hanya sebagian barang yang diturunkan atau bahkan tidak
diturunkan sama sekali. Barang yang tidak diturunkan kemudian dikirimkan ke tempat
tujuan selanjutnya. Bisa jadi dalam pengiriman tersebut ditambah dengan barang
yang diangkut pada tempat penurunan barang. Kuantitas barang dalam
permintaan transportasi terkadang tidak selalu diketahui
pada masalah pengambilan dan pengiriman. Kuantitas tersebut dapat dicari melalui
kuantitas suatu barang yang harus diangkut atau diturunkan pada suatu tempat
Armada kendaraan sangat dibutuhkan dalam PDP. Armada kendaraan dapat
beroperasi dalam berbagai rute. Suatu armada dapat memiliki berbagai macam tipe
kendaraan. Setiap tipe kendaraan memiliki depot dan kapasitas pengangkutan barang.
Depot merupakan tempat di mana kendaraan tersebut diberangkatkan dan kembali setelah
perjalanan usai.
Masalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu pick up and delivery
problem with time windowsPDPTW merupakan pengembangan dari PDP, dengan
kendala waktu diartikan sebagai selang waktu untuk menunggu pengambilan atau
pengiriman di suatu tempat. Sebagai ilustrasi pada pengambilan surat oleh PT Pos
Indonesia. Misalkan saja waktu pengambilan surat di suatu kotak pos adalah tepat pukul
9.00. Sering kali dalam pelaksanaannya dihadapkan pada berbagai masalah perjalanan,
sehingga diperkirakan kendaraan tersebut akan tiba sekitar pukul 8.50 sampai pukul 9.10.
Perkiraan waktu tersebut digunakan sebagai kendala waktu pada PDPTW.
Dalam masalah pengambilan dan pengiriman dengan kendala waktu, setiap
permintaan transportasi memiliki kendala waktu yang ada pada saat pengambilan
maupun pengiriman. Hal ini berarti setiap kendaraan harus mengunjungi setiap tempat
sesuai dengan kendala waktu yang ada. Di depot, s etiap tipe kendaraan dalam armada
juga memiliki kendala waktu, sehingga kendaraan tersebut berangkat dan pulang ke
depot sesuai dengan waktu yang tersedia. Jika rute-rute dalam PDPTW yang memenuhi
permintaan transportasi telah dikonstruksi, maka harus dicari bagaimana cara memenuhi
semua permintaan transportasi tersebut dengan biaya minimum.
Beberapa asumsi digunakan dalam model PDPTW ini. Asumsi tersebut adalah:
1 Barang yang diambil dan dikirim
merupakan barang yang homogen. 2
Barang tersebut dikirimkan oleh satu kendaraan dari lokasi pengambilan ke
lokasi pengiriman tanpa adanya biaya pengangkutan di tengah lokasi.
3 Waktu yang diperlukan untuk bongkar
muat barang pada lokasi pengambilan dan lokasi pengiriman dapat dengan mudah
digabungkan pada waktu perjalanan, sehingga tid ak akan dibahas secara
eksplisit.
3.1 Masalah Pengambilan dan Pengiriman
