tertutup pada graf G dalam Contoh 1 adalah
1 2
1 6
1
v v
v v
v ,
, ,
,
, sedangkan
1 6
3 2
1
v v
v v
v ,
, ,
,
adalah salah satu contoh cycle. Definisi 4 Digraf
Digraf directed grafgraf berarah adalah pasangan terurut V, A dengan V adalah
himpunan takkosong dan hingga, dan A adalah himpunan pasangan terurut dari elemen-
elemen di V dan dinotasikan sebagai
A V
D ,
= .
Elemen dari A disebut sisi berarah arc dan dituliskan sebagai
j i,
dengan V
j i
∈ ,
. Foulds, 1992
Contoh berikut merupakan ilustrasi digraf.
Contoh 2 D:
Gambar 2 Digraf A
V D
, =
. Pada Gambar 2, digraf D memiliki
{ }
6 5
4 3
2 1
v v
v v
v v
V ,
, ,
, ,
= dan
{
4 3
6 3
3 2
1 6
2 1
v v
v v
v v
v v
v v
A ,
, ,
, ,
, ,
, ,
=
}
5 4
6 5
v v
v v
, ,
,
.
Definisi 5 Walk berarah
Suatu walk
berarah pada
digraf A
V D
, =
adalah suatu barisan simpul dan sisi dari G dengan bentuk:
n n
n
v v
v v
v v
v v
v
− −
− −
− −
−
, ...
, ,
1 3
2 2
2 1
1
atau ditulis dengan ringkas:
n
v v
v
− −
−
...
2 1
atau v
1
-
v
2
-
…
-
v
n
. Walk tersebut
menghubungkan simpul
1
v
dengan
n
v
. Foulds, 1992
Definisi 6 Cycle berarah
Suatu walk berarah
n
v v
v
− −
−
...
2 1
dengan
n
v v
=
1
dan mempunyai setidaknya tiga simpul berbeda disebut sebagai cycle
berarah. Foulds, 1992
Berikut ini diberikan ilustrasi mengenai cycle berarah. Salah satu contoh cycle berarah
pada digraf D dalam Contoh 2 adalah cycle v
1
-
v
2
-
v
3
-
v
6
-
v
1
, sedangkan cycle v
1
,
v
6
,
v
3
,
v
2
,
v
1
pada digraf D bukan merupakan cycle berarah.
Definisi 7 Graf Berbobot
Suatu graf E
V G
, =
atau digraf A
V D
, =
dikatakan berbobot jika terdapat fungsi
ℜ →
E w :
atau ℜ
→ A
: ϑ
dengan
ℜ
adalah himpunan bilangan real yang memberikan bobot pada setiap elemen E atau
elemen A. Foulds, 1992
2.2 Pemrograman Linear
Pemrograman linear adalah kegiatan merencanakan untuk mendapatkan hasil yang
optimal. Model pemrograman linear P L meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear
terhadap kendala linear .
Hillier Lieberman, 1990 Pada tulisan ini, suatu P L mempunyai
bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut:
Defi nisi 8 Bentuk Standar Suatu PL
Suatu pemrograman linear didefinisikan mempunyai bentuk standar:
Minimumkan z
x c
T
=
terhadap
b x
= A
1 ≥
x dengan x dan c berupa vektor berukuran n,
vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran
n m
×
yang disebut juga sebagai matriks kendala.
Nash Sofer, 1996
2.2.1 Solusi S uatu Pemrograman linear
Untuk menyelesaikan suatu masalah pemrograman linear PL, metode simpleks
merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimum. Metode ini
mulai dikembangkan oleh Dantzig tahun 1947. Sejak perkembangannya, metode ini adalah
metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan PL, yaitu berupa metode
iteratif untuk menyelesaikan masalah PL dalam bentuk standar.
Pada Pemrograman Linear 1, vektor x
yang memenuhi kendala b
x
= A
disebut
sebagai solusi P L 1. Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = B N, dengan
B
adalah matriks taksingular berukuran
m m
×
yang merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N
merupakan matriks yang elemennya berupa v
4
v
2
v
3
v
1
v
6
v
5
koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis
untuk P L.
Misalkan x dapat dinyatakan sebagai
vektor
=
N B
x x
x , dengan x
B
adalah vektor
variabel basis dan x
N
adalah vektor variabel nonbasis. Maka
b x
= A
dapat dinyatakan sebagai
=
N B
x x
x N
B A
b x
x
N B
= +
= N
? . 2
Karena B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari 2 x
B
dapat dinyatakan sebagai:
. x
b x
N B
N B
B
1 1
− −
− =
3
Definisi 9 Solusi Basis Vektor x disebut solusi basis dari suatu
pemrograman linear jika x memenuhi kendala dari PL dan kolom-kolom pada matriks
kendala yang berkorespondensi dengan komponen taknol dari x adalah bebas linear.
Nash Sofer, 1996
Definisi 10 Solusi Basis Fisibel Vektor x disebut solusi basis fisibel jika x
merupakan solusi basis dan ≥
x 0.
4 Nash Sofer, 1996
Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel dapat dilihat dalam contoh berikut:
Contoh 3
Misalkan diberikan pemrograman linear berikut:
Minimumkan
2 1
2x x
z −
− =
terhadap 2
2
3 2
1
= +
+ −
x x
x 7
2
4 2
1
= +
+ −
x x
x 5
3
5 1
= +
x x
, ,
, ,
5 4
3 2
1
≥ x
x x
x x
Dari pemrograman linear tersebut didapatkan:
A =
− −
1 1
1 2
1 1
1 2
, b =
3 7
2
Misalkan dipilih
T B
x
5 4
3
x x
x =
dan
T N
x
2 1
x x
= maka matriks basis
= 1
1 1
B
Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh
T B
b x
3 7
2
1
= =
−
B ,
.
T N
x
= 6
Solusi 6 merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala pada P L 5
dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berkorespondensi dengan komponen taknol
dari 6 yaitu B adalah bebas linear kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari
kolom yang lain. Solusi 6 juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai
variabelnya lebih dari atau sama dengan nol._
PL 1 dapat dinyatakan dalam x
B
dan x
N
sebagai berikut: Minimumkan
z =
N T
N B
T B
x c
x c
+ terhadap
b x
x
N B
= +
N B
≥
x
dengan
B
c adalah koefisien variabel basis
pada fungsi objektif,
N
c
adalah koefisien variabel nonbasis pada fungsi objektif.
Jika P ersamaan 3 disubstitusikan ke fungsi objektif
N T
N B
T B
x c
x c
z
+ =
maka akan didapat:
N T
N N
T B
x c
x b
c z
+ −
=
− −
N B
B
1 1
N T
B T
N T
B
x c
c b
c z
N B
B
1 1
− −
− +
= .
Jika didefinisikan
B T
T T
B
c c
y
− −
= =
B B
1
maka z dapat dinyatakan dalam y:
N T
T N
T
x y
c b
y z
N −
+ =
. 7
Vektor y disebut vektor pengali simpleks simplex multiplier.
Untuk suatu solusi basis, =
N
x
dan
b b
x
B
1
ˆ
−
= =
B , maka
b c
T B
1
zˆ
−
= B
. Notasi zˆ adalah notasi untuk z optimal.
Koefisien
j
cˆ disebut biaya tereduksi
reduced cost dari x
j
dengan
j
cˆ adalah elemen dari vektor
N B
1
ˆ
−
− =
T B
T N
T N
c c
c .
Biaya tereduksi adalah penambahan nilai fungsi objektif jika suatu variabel nonbasis
dijadikan variabel basis artinya menjadi solusi taknol pada suatu pemrograman linear.
2.2.2 Penyelesaian Pemrograman Linear dengan Algoritme S impleks
