2.3. Deformasi dinding cangkang shell tanpa lenturan
Pada pembahasan tentang deformasi dan tegangan dalam cangkang shell berikut ini system notasinya sama dengan yang dipergunakan pada
pembahasan pelat. Kita tandai ketebalan cangkang dengan h, dimana besarnya selalu dianggap kecil dibandingkan dengan besaran lain dari
cangkang dan dengan jari-jari kelengkungannya. Permukaan yang membagi ketebalan pelat sama besar disebut permukaan tengah middle surface.
Dengan menspesifikasikan bentuk permukaan tengah dan ketebalan cangkang pada setiap titik, maka suatu cangkang ditentukan sepenuhnya secara
geometris. Untuk menganalisis gaya-gaya dalam, kita potong suatu elemen yang
kecilnya tak terhingga dari cangkang itu yang dibentuk oleh dua pasang bidang yang berdekatan dan tegak lurus terhadap permukaan tengah dari
cangkang itu, dan yang memiliki kelengkungan utamanya. Kita ambil sumbu- sumbu koordinat x dan y yang menyinggung garis kelengkungan utama pada
titik 0 dan sumbu z yang tegak lurus pada permukaan tengah, seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.7. Jari-jari utama kelengkungan yang terletak
pada bidang xz dan yz ditandai masing-masing oleh dan . Tegangan yang bekerja pada permukaan bidang elemen itu diuraikan dalam arah sumbu-
sumbu koordinat, dan komponen tegangan ditunjukkan oleh simbol ,
= ,
. Dengan notasi ini, gaya resultan per satuan panjang penampang melintang normal seperti pada gambar adalah
Universitas Sumatera Utara
a
b
c
Gambar 2.7 Potongan elemen cangkang yang kecilnya tak terhingga Besaran z dan z yang kecil tampak pada persamaan a, b, c, karena
sisi-sisi lateral elemen yang diperlihatkan pada gambar 2.7a memiliki bentuk trapesium yang disebabkan oleh kelengkungan cangkang. Hal ini akan
menyebabkan tidak samanya gaya geser Nxy dan Nyx satu dengan lainnya, meskipun di sini masih berlaku bahwa
= . Pada pembahasan
selanjutnya, kita harus mengasumsikan bahwa ketebalan h adalah sangat kecil dibandingkan dengan jari-jari
, dan mengabaikan suku-suku z dan
Universitas Sumatera Utara
z pada persamaan-persamaan a, b, c. Kemudian, Nxy = Nyx dan resultan gaya geser dinyatakan oleh persamaan yang sama seperti pada pelat.
Momen lentur dan puntir per satuan panjang penampang normal dituliskan dengan persamaan berikut ini
d
e
di mana penentuan arah momennya mempergunakan aturan yang sama seperti yang dipergunakan pada pelat. Pada pembahasan selanjutnya, kita
abaikan lagi besaran z dan z yang kecil, yang disebabkan oleh kelengkungan cangkang, dan untuk momennya, digunakan persamaan yang
sama dengan yang dipergunakan pada pembahasan pelat. Dalam membahas lenturan cangkang diasumsikan bahwa elemen
linear, seperti AD dan BC Gambar 2.7a, yang tegak lurus pada permukaan tengah, tetap lurus dan menjadi tegak lurus terhadap permukaan tengah
cangkang yang dideformasikan. Suatu kasus yang sederhana di mana, selama pelenturan, permukaan lateralmelintang elemen ABCD hanya berotasi
terhadap garis-garis perpotongannya dengan permukaan tengah. Jika dan
merupakan besaran jari-jari kelengkungan setelah deformasi, maka “perpanjangan satuan” suatu belahan tipis lamina pada jarak z dari
permukaan tengah gambar 2.7a adalah
Universitas Sumatera Utara
f
Jika, selain rotasi, sisi-sisi lateral elemen berpindah tempat parallel terhadap dirinya sendiri akibat meregangnya permukaan tengah, dan jika perpanjangan
satuan bagian tengah permukaan yang bersangkutan pada x dan y ditandai masing-masing dengan dan
, maka perpanjangan dari belahan yang
ditinjau di atas seperti yang terlihat pada gambar 2.7c adalah
Dengan mensubstitusikan menyulihkan
Diperoleh
g
Persamaan yang serupa dapat diperoleh untuk pertambahan panjang . Pada
pembahasan selanjutnya, ketebalan cangkang h akan selalu dianggap kecil bila dibandingkan dengan jari-jari kelengkungannya. Dalam hal seperti ini,
besaran z dan z dapat diabaikan, bila dibandingkan dengan satu. Kita harus mengabaikan juga pengaruh pertambahan panjang dan
pada kelengkungan. Oleh karena itu, sebagai pengganti persamaan g di atas,
didapat
Universitas Sumatera Utara
,
dimana dan
menunjukkan perubahan lengkungan. Dengan mempergunakan persamaan untuk menghitung komponen regangan suatu
belahan ini dan dengan menganggap bahwa tidak ada tegangan normal antara belahan
, maka diperolehlah persamaan untuk menghitung komponen tegangan seperti berikut ini
Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan a dan b dengan mengabaikan besaran zrx dan zry yang kecil dibandingkan dengan
angka satu, maka diperoleh
1
, menunjukkan ketegaran lentur cangkang.
Kasus yang lebih umum tentang deformasi elemen pada gambar 2.7 akan dapat diperoleh bila dianggap bahwa, selain tegangan normal,
tegangan gesernya juga bekerja pada sisi-sisi lateral dari elemen. Bila regangan geser pada permukaan tengah cangkang
ditandai dengan γ, dan
Universitas Sumatera Utara
rotasi tepi BC relative terhadap Oz sekitar sumbu x gambar 2.7a ditandai dengan
maka diperoleh
Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan b dan e dengan mempergunakan penyederhanaan, maka diperoleh
2
Jadi, dengan menganggap bahwa selama pelenturan suatu cangkang, elemen linear yang tegak lurus pada permukaan tengah adalah tetap lurus dan
menjadi tegak lurus pada pemukaan tengah yang mengalami deformasi, maka dapat dinyatakan gaya resultan per satuan panjang Nx, Ny, dan Nxy serta
momen-momen Mx, My, dan Mxy atas suku-suku yang terdiri atas enam buah besaran : tiga buah komponen regangan ,
dan β dari permukaan tengah cangkang dan tiga buah besaran Xx, Xy, dan Xxy yang
menggambarkan perubahan kelengkungan serta puntiran permukaan tengah. Pada banyak persoalan deformasi cangkang, tegangan lentur dapat
diabaikan, dan hanya tegangan yang disebabkan oleh regangan pada permukaan tengah cangkang saja yang diperhitungkan. Sebagai contoh,
diambil suatu wadah berbentuk bola yang mengalami pengaruh tekanan dalam yang terbagi secara merata dan tegak lurus pada permukaan cangkang.
Universitas Sumatera Utara
Di bawah pengaruh ini, permukaan tengah cangkang mengalami suatu regangan terbagi rata; dan karena ketebalan cangkang ternyata kecil, tegangan
tarik dapat dianggap terbagi secara merata ke seluruh tebalnya. Contoh yang serupa disuguhkan oleh suatu tabung silinder bundar yang tipis di mana suatu
gas atau cairan ditekan dengan menggunakan piston yang bergerak bebas sepanjang sumbu silinder. Di bawah pengaruh tekanan dalam yang merata ini,
“tegangan lingkar” loop stress yang dihasilkan dalam cangkang silindris ternyata terbagi rata ke seluruh ketebalannya. Jika ujung silinder dijepit
dibangun menyatu sepanjang tepinya, dinding ini tak lagi bebas mengembang secara lateral, dan pasti terjadi sesuatu lenturan di dekat tepi
yang dijepit itu jika dikenakan tekanan dalam ini. Namun, penelitian yang lebih lengkap memperlihatkan bahwa lenturan ini hanya setempat dan bagian
cangkang pada suatu jarak tertentu dari ujung-ujungnya tetap silindris dan hanya mengalami regangan pada permukaan tengahnya tanpa lenturan yang
berarti. Jika kondisi cangkang sedemikian rupa sehingga lenturan dapat
diabaikan, permasalahan analisis tegangan dapat dibuat menjadi sangat sederhana, karena momen resultan d dan e serta resultan gaya geser c
hilang. Jadi, yang belum diketahui adalah tiga buah besaran Nx, Ny, dan Nxy=Nyx, yang dapat ditetapkan dari kondisi keseimbangan suatu elemen,
seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.7. Oleh karena itu, permasalahannya menjadi statis tertentu bila semua gaya yang bekerja pada
cangkang telah diketahui. Gaya-gaya Nx, Ny, dan Nxy yang diperoleh dengan cara ini acapkali disebut gaya selaput tipis, dan teori cangkang yang
Universitas Sumatera Utara
berdasarkan pada pengabaian tegangan lentur disebut teori selaput tipis. Penerapan teori ini untuk kasus atap cangkang berbentuk cylindrical surface
akan dibahas pada bab berikut.
Universitas Sumatera Utara
BAB III
TINJAUAN PEMBAHASAN
3.1. Teori Selaput Cangkang Tipis
Kategori