a. Setiap nilai eigen real adalah positif
i
λ untuk semua i.
b. Setiap komponen nilai eigen
kompleks bagian realnya lebih besar atau sama dengan nol
Re
i
λ
≥
untuk semua i. 3.
Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif
,
i j
λ λ untuk i dan j sembarang. Titik tetap sadel
ini bersifat takstabil Tu
1994
2.11 Diagram Fase
Suatu persamaan diferensial x
f x =
tidak semuanya dapat diselesaikan secara kuantitatif. Jika hal ini terjadi maka
diperlukan solusi kualitatif dalam bentuk diagram fase. Diagram fase akan
menggambarkan perubahan kecepatan
x
terhadap x lihat gambar 1. Jika
x , maka kurva berada di atas
sumbu horizontal, yaitu x naik sepanjang waktu yang ditujukan oleh arah panah dari kiri
ke kanan. Jika x
, maka kurva berada di bawah sumbu horizontal, yaitu x menurun
sepanjang waktu. Pada sumbu horizontal, x
= yaitu x tidak berubah, merupakan titik ekuilibrium atau titik tetap.
Jika
f x
yaitu
f x
adalah fungsi turun, maka ekuilibrium stabil. Jika
f x
yaitu
f x
adalah fungsi naik, maka ekuilibrium tidak stabil.
Gambar 2.1 Diagram fase. [Tu 1994]
2.12 Penondimensionalan
Penondimensionalan adalah suatu metode untuk menyederhanakan suatu
persamaan banyak parameter menjadi persamaan dengan sedikit parameter.
Biasanya penondimensionalan mengelompokkkan beberapa parameter
dengan sebuah parameter tunggal.
[Srogatz 1994]
III PEMODELAN
3.1 Model Mangsa-pemangsa
Model mangsa-pemangsa yang banyak dikenal adalah model Lotka-Voltera. Model
ini disusun berdasarkan asumsi-asumsi berikut:
1.
Dalam keadaan tanpa pemangsa, lingkungan hidup populasi mangsa sangat
ideal sehingga perkembangannya tak terbatas.
2. Pertumbuhan pemangsa juga ideal,
kecuali terdapat kendala makanan. 3.
Laju pemangsaan proporsional dengan laju pertemuan antara mangsa dan
pemangsa. 4.
Laju kematian pemangsa adalah konstan, tidak terpengaruh terhadap kepadatan dan
umur pemangsa. 5.
Efisiensi pemangsaan tidak tergantung umur pemangsa dan mangsa.
6. Efisiensi penggunaan mangsa sebagai
makanan pemangsa untuk bereproduksi adalah konstan dan tidak tergantung umur
dan kepadatan pemangsa. 7.
Gerakan dan kontak mangsa dan pemangsa berlangsung secara acak.
Setiap individu mangsa memiliki peluang yang sama untuk dimangsa.
8. Waktu yang digunakan pemangsa untuk
memangsa diabaikan. 9.
Kepadatan mangsa tidak mempengaruhi peluang pemangsaan.
10. Kepadatan pemangsa tidak
mempengaruhi peluang pemangsa untuk memangsa.
11. Keadaan lingkungan adalah homogen.
Pertumbuhan perkapita
mangsa dan
pemangsa model Lotka-Voltera adalah
3 .1 d X
rX cX Y
d t d P
b X Y d Y
d t =
− =
−
X = kepadatan populasi mangsa Y = kepadatan populasi pemangsa
r = laju pertumbuhan intrinsik mangsa c = koefisien tingkat pemangsaan
b = tingkat kelahiran pemangsa tiap satu
mangsa yang dimakan d = tingkat kematian pemangsa
Misalkan X menyatakan jumlah populasi mangsa pada waktu t dan Y jumlah populasi
pemangsa pada waktu t. Laju pertumbuhan perkapita populasi mangsa adalah selisih dari
laju pertumbuhan intrinsik dengan berkurangnya populasi mangsa akibat
interaksi dengan pemangsa. Laju pertumbuhan perkapita populasi pemangsa merupakan
pertambahan laju kelahiran pemangsa karena interaksi dengan mangsa dikurang laju
kematian pemangsa. Model Lotka-Voltera layak digunakan jika
interaksi yang terjadi hanya interaksi interspesies, yaitu interaksi antara individu
pada populasi spesies yang satu dengan individu pada populasi spesies yang lain dan
mengabaikan interaksi antar individu pada populasi yang sama. Model ini juga hanya
layak dalam kondisi nyata dengan ketidakterbatasan kapasitas pemangsa. Jika
pada sistem interaksi antar individu pada satu populasi dan terdapat keterbatasan kapasitas,
maka model Lotka-Voltera tidak dapat digunakan. Pada kasus ini akan digunakan
generalisasi dari model Lotka-Voltera, yaitu model mangsa-pemangsa Michaelis-Menten.
Selain itu pada model ini diberikan perlakuan pemanenan pada populasi mangsa.
3.2 Model Umum Pemanenan
