Tu 1994
2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan A adalah matriks n x n maka sebuah vektor taknol x di dalam R
n
disebut vektor eigen dari A. Jika untuk skalar
λ , yang disebut nilai eigen dari A, berlaku:
Ax
=
x
λ 2.2
Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
λ . Untuk mencari nilai eigen berukuran n n
× maka persamaan 2.2 dapat ditulis sebagai berikut:
A I x
λ −
= 2.3 dengan I matriks identitas. Persamaan 2.3
mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika det
A I x
λ −
= 2.4 Persamaan 2.4 disebut persamaan
karakteristik dari A . Anton 1995
2.4 Titik Tetap
Diberikan SPD ,
n
x ∈ℜ
2.5 Titik
disebut titik tetap jika .
Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan.
Tu 1994
2.5 Titik Tetap Hiperbolik
Titik disebut titik tetap hiperbolik jika
pelinearan menghasilkan akar karakteristik
dengan bagian real tak nol. Tu
1994
2.6 Titik Tetap Non-Hiperbolik
Titik disebut titik tetap non-hiperbolik
jika dari pelinearan ada akar karakteristik
dengan bagian real sama dengan nol. Tu
1994 2.7
Titik Tetap Stabil
Misalkan x adalah titik tetap sebuah SPD
dan x t
adalah solusi SPD dengan nilai awal x
x =
dengan x
x ≠
. Titik x dikatakan
titik tetap stabiljika untuk sebarang radius
ρ
terdapat r
sedemikian sehingga jika posisi awal
x memenuhi |
| x
x r
− maka
solusi x t memenuhi
| |
x t x
ρ −
, untuk setiap
t .
Verhulst 1990
2.8 Titik Tetap Tak Stabil
Misalkan x adalah titik tetap sebuah SPD
dan x t adalah solusi SPD dengan nilai awal
x x
= dengan
x x
≠ . Titik
x titik tetap tak stabil jika terdapat
ρ
dengan ciri sebagai berikut: untuk sebarang
r
terdapat posisi awal x
memenuhi |
| x
x r
− , berakibat solusi
x t memenuhi
| |
x t x
ρ −
≥ , untuk paling sedikit satu
t .
Verhulst 1990
2.9 Pelinearan
Perhatikan sistem tak linear berikut: 2.6
dengan menggunakan perluasan Taylor pada suatu titik tetap
x , untuk penyederhanaan titik
x didefinisikan pada titik asal, maka diperoleh
x Ax
x ϕ
= +
2.7 dengan
|
x x
A Df x
Df x
=
= =
2.8
1 1
1 1
n n
n n
f f
x x
A f
f x
x ∂
∂ ⎛
⎞ ⎜
⎟ ∂
∂ ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎟ ∂
∂ ⎜
⎟ ∂
∂ ⎝
⎠ …
Dan x
ϕ mempunyai
lim
x x
x ϕ
→
= . Sistem
x Ax
= 2.9
Disebut pelinearan dari 2.7. Verhulst
1990
2.10 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Diberikan sistem persamaan differensial sembarang
x f x
= ,
n
x ∈ℜ
analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks Jacobi, yaitu matriks
A
. Penentuan kestabilan titik tetap didapat
dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu
i
λ dengan
1, 2, 3, ..., i
n =
yang diperoleh dari
det A
I
λ
− =
Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut:
1. Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah negatif
i
λ untuk semua i
b. Setiap komponen nilai eigen
kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol
Re
i
λ
≤
untuk semua i. 2.
Takstabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah positif
i
λ untuk semua i.
b. Setiap komponen nilai eigen
kompleks bagian realnya lebih besar atau sama dengan nol
Re
i
λ
≥
untuk semua i. 3.
Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif
,
i j
λ λ untuk i dan j sembarang. Titik tetap sadel
ini bersifat takstabil Tu
1994
2.11 Diagram Fase
Suatu persamaan diferensial x
f x =
tidak semuanya dapat diselesaikan secara kuantitatif. Jika hal ini terjadi maka
diperlukan solusi kualitatif dalam bentuk diagram fase. Diagram fase akan
menggambarkan perubahan kecepatan
x
terhadap x lihat gambar 1. Jika
x , maka kurva berada di atas
sumbu horizontal, yaitu x naik sepanjang waktu yang ditujukan oleh arah panah dari kiri
ke kanan. Jika x
, maka kurva berada di bawah sumbu horizontal, yaitu x menurun
sepanjang waktu. Pada sumbu horizontal, x
= yaitu x tidak berubah, merupakan titik ekuilibrium atau titik tetap.
Jika
f x
yaitu
f x
adalah fungsi turun, maka ekuilibrium stabil. Jika
f x
yaitu
f x
adalah fungsi naik, maka ekuilibrium tidak stabil.
Gambar 2.1 Diagram fase. [Tu 1994]
2.12 Penondimensionalan
Kategori