Misalkan X menyatakan jumlah populasi mangsa pada waktu t dan Y jumlah populasi
pemangsa pada waktu t. Laju pertumbuhan perkapita populasi mangsa adalah selisih dari
laju pertumbuhan intrinsik dengan berkurangnya populasi mangsa akibat
interaksi dengan pemangsa. Laju pertumbuhan perkapita populasi pemangsa merupakan
pertambahan laju kelahiran pemangsa karena interaksi dengan mangsa dikurang laju
kematian pemangsa. Model Lotka-Voltera layak digunakan jika
interaksi yang terjadi hanya interaksi interspesies, yaitu interaksi antara individu
pada populasi spesies yang satu dengan individu pada populasi spesies yang lain dan
mengabaikan interaksi antar individu pada populasi yang sama. Model ini juga hanya
layak dalam kondisi nyata dengan ketidakterbatasan kapasitas pemangsa. Jika
pada sistem interaksi antar individu pada satu populasi dan terdapat keterbatasan kapasitas,
maka model Lotka-Voltera tidak dapat digunakan. Pada kasus ini akan digunakan
generalisasi dari model Lotka-Voltera, yaitu model mangsa-pemangsa Michaelis-Menten.
Selain itu pada model ini diberikan perlakuan pemanenan pada populasi mangsa.
3.2 Model Umum Pemanenan
Misalkan dalam populasi terdapat
x
individu mangsa dan daya dukung lingkungan K
terdapat pada model pertumbuhan perkapita. Sehingga kapasitas penampungan
lingkungan yang tersisa adalah K x
− individu. Jadi masih ada
K x K
−
bagian lingkungan yang masih bisa ditinggali. Bagian
inilah yang sebanding dengan pertumbuhan populasi. Sehingga terbentuk persamaan
pertumbuhan populasi perkapita sebagai berikut:
3.2
1
x
x rx
K =
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Persamaan di atas merupakan persamaan pertumbuhan logistik. Persamaan tersebut
menunjukkan bahwa model tersebut belum mengalami eksploitasi atau usaha pemanenan.
Hubungan antara pertumbuhan perkapita alamiah dan usaha pemanenan merupakan
dinamika populasi mangsa. Sehingga laju pertumbuhannya dipengaruhi oleh jumlah
kelahiran mangsa dan jumlah pemanenan yang dilakukan. Jika pemanenan dilakukan
dengan ukuran
h
, maka persamaan pertumbuhan logistik menjadi
3.3
1
x F x
h
x h
x rx
K
= −
−
= −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dengan peubah tak bebas
x ≥
, populasi awal
x
diasumsikan diketahui, sedangkan
h
diasumsikan 0
maks
h h
≤ ≤ , dengan
maks
h adalah nilai maksimal mangsa yang dapat
dipanen.
3.3 Model Michaelis-Menten dengan
Pemanenan konstan pada populasi mangsa
Pemanenan yang
dilakukan untuk
memanfaatkan suatu spesies dalam suatu populasi biasanya terjadi pada bidang
kehutanan, perikanan, dan kehidupan liar. Pemanenan yang dibahas pada karya ilmiah
ini adalah pemanenan pada kehidupan liar atau perikanan secara umum, yang terdapat
interaksi mangsa pemangsa. Namun pemanenan dilakukan hanya pada spesies
mangsa saja. Karena diasumsikan hanya spesies mangsa yang memiliki nilai komersil.
Diagram di bawah akan memperlihatkan gambaran permasalahan dalam bentuk model
matematika sederhana.
, r K
f
, c m
h
D
Gambar 3.1Diagram model mangsa- pemangsa.
Gambar di atas menunjukkan bahwa laju pertumbuhan populasi mangsa
x adalah sebesar
rx
yang merupakan akibat pertumbuhan alamiah. Laju perkapita populasi
Pertumbuhan Intrinsik
Mangsa Pemangsa
Pemanenan mati
Kelahiran Pemangsa
mangsa berkurang sebesar r
K untuk setiap
bertambahnya satu individu mangsa karena adanya keterbatasan daya dukung lingkungan
dan sebesar
c
akibat dimangsa oleh pemangsa. Besarnya tingkat pemangsaaan dipengaruhi
oleh tingkat kepuasan pemangsa sebesar
m
. Terakhir berkurang sebesar
h
akibat dipanen. Selanjutnya laju pertumbuhan perkapita
populasi pemangsa
y
adalah sebesar laju kelahiran
f
dengan mengkonversi setiap mangsa yang dimangsa menjadi kelahiran
bagi pemangsa dan dipengaruhi tingkat kepuasan pemangsa sebesar
m
. Berkurang sebesar tingkat kematian D
.
Model pemanenan pada mangsa tersebut dirumuskan menjadi model matematika oleh
Xiao dan Leslie sebagai berikut:
1 3.4
x
x cxy
rx h
K my
x fx
y y
D my
x =
− −
− +
= − +
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dengan
x
= banyaknya mangsa y
= banyaknya pemangsa
r
= laju pertumbuhan intrinsik K
=
daya dukung lingkungan
c =
banyaknya mangsa yang ditangkap
m =
tingkat kepuasan pemangsa D
=
laju kematian pemangsa f
=
faktor konversi yang menyatakan banyaknya pemangsa baru yang lahir
untuk tiap mangsa yang di tangkap
h
=
konstanta tingkat pemanenan mangsa dengan
, , ,
, ,
, r K c m D f h
adalah parameter positif.
Pada model ini hanya populasi mangsa saja yang dipanen, karena diasumsikan hanya
populasi mangsa yang memiliki nilai komersil. Oleh karena itu akan ditentukan
nilai h maksimum, jika mangsa dipanen melebihi dari nilai h maksimum maka akan
terjadi kepunahan. Kepunahan dapat terjadi juga pada pemangsa karena secara tak
langsung mempengaruhi kelangsungan hidup pemangsa karena tidak ada mangsa yang
akanditangkap. Nilai
h
maksimum biasa disebut
MSY
h
maximum sustainable yield. Konsep
maximum sustainable yield didasarkan pada model pertumbuhan biologi
yang mengasumsikan jika banyaknya persediaan dalam populasi lebih rendah dari
tingkat persediaan K , maka terdapat kelebihan individu yang dapat dipanen. Jika
kelebihan tersebut tidak dipanen maka akan menyebabkan pengurangan daya dukung
lingkungan K . Model tersebut juga memiliki banyak kesetimbangan pada
0, x
y
IV PEMBAHASAN DAN HASIL
Pada bagian ini akan dibahas tentang penentuan batasan nilai dari usaha pemanenan
untuk mencegah terjadi kepunahan pada populasi. Hal ini merupakan tujuan utama dari
penelitian yang akan dilakukan. Dalam bab ini juga akan dibahas tentang
pencarian titik tetap dari sistem mangsa pemangsa model Michaelis-Menten. Dari titik
tetap yang telah didapat akan dilakukan analisis kestabilan sistem pada setiap titik
tetap. Untuk lebih jelasnya, pada bagian akhir pembahasan akan dilakukan simulasi dengan
kondisi yang berbeda-beda. Hal ini dilakukan untuk melihat perubahan kestabilan dengan
merubah parameter-parameter dari sistem tersebut.
4.1 Menentukan nilai pemanenan maksimum h
