mangsa berkurang sebesar r
K untuk setiap
bertambahnya satu individu mangsa karena adanya keterbatasan daya dukung lingkungan
dan sebesar
c
akibat dimangsa oleh pemangsa. Besarnya tingkat pemangsaaan dipengaruhi
oleh tingkat kepuasan pemangsa sebesar
m
. Terakhir berkurang sebesar
h
akibat dipanen. Selanjutnya laju pertumbuhan perkapita
populasi pemangsa
y
adalah sebesar laju kelahiran
f
dengan mengkonversi setiap mangsa yang dimangsa menjadi kelahiran
bagi pemangsa dan dipengaruhi tingkat kepuasan pemangsa sebesar
m
. Berkurang sebesar tingkat kematian D
.
Model pemanenan pada mangsa tersebut dirumuskan menjadi model matematika oleh
Xiao dan Leslie sebagai berikut:
1 3.4
x
x cxy
rx h
K my
x fx
y y
D my
x =
− −
− +
= − +
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dengan
x
= banyaknya mangsa y
= banyaknya pemangsa
r
= laju pertumbuhan intrinsik K
=
daya dukung lingkungan
c =
banyaknya mangsa yang ditangkap
m =
tingkat kepuasan pemangsa D
=
laju kematian pemangsa f
=
faktor konversi yang menyatakan banyaknya pemangsa baru yang lahir
untuk tiap mangsa yang di tangkap
h
=
konstanta tingkat pemanenan mangsa dengan
, , ,
, ,
, r K c m D f h
adalah parameter positif.
Pada model ini hanya populasi mangsa saja yang dipanen, karena diasumsikan hanya
populasi mangsa yang memiliki nilai komersil. Oleh karena itu akan ditentukan
nilai h maksimum, jika mangsa dipanen melebihi dari nilai h maksimum maka akan
terjadi kepunahan. Kepunahan dapat terjadi juga pada pemangsa karena secara tak
langsung mempengaruhi kelangsungan hidup pemangsa karena tidak ada mangsa yang
akanditangkap. Nilai
h
maksimum biasa disebut
MSY
h
maximum sustainable yield. Konsep
maximum sustainable yield didasarkan pada model pertumbuhan biologi
yang mengasumsikan jika banyaknya persediaan dalam populasi lebih rendah dari
tingkat persediaan K , maka terdapat kelebihan individu yang dapat dipanen. Jika
kelebihan tersebut tidak dipanen maka akan menyebabkan pengurangan daya dukung
lingkungan K . Model tersebut juga memiliki banyak kesetimbangan pada
0, x
y
IV PEMBAHASAN DAN HASIL
Pada bagian ini akan dibahas tentang penentuan batasan nilai dari usaha pemanenan
untuk mencegah terjadi kepunahan pada populasi. Hal ini merupakan tujuan utama dari
penelitian yang akan dilakukan. Dalam bab ini juga akan dibahas tentang
pencarian titik tetap dari sistem mangsa pemangsa model Michaelis-Menten. Dari titik
tetap yang telah didapat akan dilakukan analisis kestabilan sistem pada setiap titik
tetap. Untuk lebih jelasnya, pada bagian akhir pembahasan akan dilakukan simulasi dengan
kondisi yang berbeda-beda. Hal ini dilakukan untuk melihat perubahan kestabilan dengan
merubah parameter-parameter dari sistem tersebut.
4.1 Menentukan nilai pemanenan maksimum h
maks
untuk nilai pemangsa nol
Persamaan 3.3 akan seimbang jika
0 4.1
1
x
x rx
K
=
= −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
sehingga populasi akan sama dengan daya dukung yang ada. Sedangkan pertumbuhan
populasi akan mencapai nilai maksimum pada kondisi setengah dari daya dukung
lingkungannya. Gambar di bawah ini merupakan kurva pertumbuhan logistik dari
populasi mangsa
x
dari persamaan 4.1 Lampiran 13
mangsa berkurang sebesar r
K untuk setiap
bertambahnya satu individu mangsa karena adanya keterbatasan daya dukung lingkungan
dan sebesar
c
akibat dimangsa oleh pemangsa. Besarnya tingkat pemangsaaan dipengaruhi
oleh tingkat kepuasan pemangsa sebesar
m
. Terakhir berkurang sebesar
h
akibat dipanen. Selanjutnya laju pertumbuhan perkapita
populasi pemangsa
y
adalah sebesar laju kelahiran
f
dengan mengkonversi setiap mangsa yang dimangsa menjadi kelahiran
bagi pemangsa dan dipengaruhi tingkat kepuasan pemangsa sebesar
m
. Berkurang sebesar tingkat kematian D
.
Model pemanenan pada mangsa tersebut dirumuskan menjadi model matematika oleh
Xiao dan Leslie sebagai berikut:
1 3.4
x
x cxy
rx h
K my
x fx
y y
D my
x =
− −
− +
= − +
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dengan
x
= banyaknya mangsa y
= banyaknya pemangsa
r
= laju pertumbuhan intrinsik K
=
daya dukung lingkungan
c =
banyaknya mangsa yang ditangkap
m =
tingkat kepuasan pemangsa D
=
laju kematian pemangsa f
=
faktor konversi yang menyatakan banyaknya pemangsa baru yang lahir
untuk tiap mangsa yang di tangkap
h
=
konstanta tingkat pemanenan mangsa dengan
, , ,
, ,
, r K c m D f h
adalah parameter positif.
Pada model ini hanya populasi mangsa saja yang dipanen, karena diasumsikan hanya
populasi mangsa yang memiliki nilai komersil. Oleh karena itu akan ditentukan
nilai h maksimum, jika mangsa dipanen melebihi dari nilai h maksimum maka akan
terjadi kepunahan. Kepunahan dapat terjadi juga pada pemangsa karena secara tak
langsung mempengaruhi kelangsungan hidup pemangsa karena tidak ada mangsa yang
akanditangkap. Nilai
h
maksimum biasa disebut
MSY
h
maximum sustainable yield. Konsep
maximum sustainable yield didasarkan pada model pertumbuhan biologi
yang mengasumsikan jika banyaknya persediaan dalam populasi lebih rendah dari
tingkat persediaan K , maka terdapat kelebihan individu yang dapat dipanen. Jika
kelebihan tersebut tidak dipanen maka akan menyebabkan pengurangan daya dukung
lingkungan K . Model tersebut juga memiliki banyak kesetimbangan pada
0, x
y
IV PEMBAHASAN DAN HASIL
Pada bagian ini akan dibahas tentang penentuan batasan nilai dari usaha pemanenan
untuk mencegah terjadi kepunahan pada populasi. Hal ini merupakan tujuan utama dari
penelitian yang akan dilakukan. Dalam bab ini juga akan dibahas tentang
pencarian titik tetap dari sistem mangsa pemangsa model Michaelis-Menten. Dari titik
tetap yang telah didapat akan dilakukan analisis kestabilan sistem pada setiap titik
tetap. Untuk lebih jelasnya, pada bagian akhir pembahasan akan dilakukan simulasi dengan
kondisi yang berbeda-beda. Hal ini dilakukan untuk melihat perubahan kestabilan dengan
merubah parameter-parameter dari sistem tersebut.
4.1 Menentukan nilai pemanenan maksimum h
