Tujuan 1. Persamaan Diferensial Biasa Sistem Persamaan Diferensial

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Makhluk hidup di bumi ini terdiri dari bermacam-macam spesies yang membentuk populasi dan hidup bersama. Makhluk hidup selalu bergantung kepada makhluk hidup yang lain. Tiap individu akan selalu berhubungan dengan individu lain yang sejenis atau lain jenis, baik individu dalam satu populasi atau individu-individu dari populasi lain. Ada beberapa jenis hubungan yang dapat terjadi antar spesies. Salah satu interaksi tersebut adalah predasi, yaitu hubungan antara mangsa prey dan pemangsa predator. Hubungan ini sangat erat kaitannya karena tanpa mangsa, predator tidak dapat bertahan hidup karena tidak ada sumber makanan yang akan dikonversi menjadi individu-individu baru yang akan memperkecil kemungkinan terjadinya kepunahan. Sebaliknya predator berfungsi sebagai pengontrol populasi mangsa. Menurut Xiao 2005 salah satu cara kepunahan populasi disebabkan karena banyaknya populasi awal yang terlalu rendah. Oleh karena itu, tingkat predasi yang sangat tinggi terhadap mangsa akan menyebabkan semakin berkurangnya populasi mangsa yang akan memungkinkan terjadinya kepunahan pada spesies mangsa. Hal ini akan berdampak sama pada populasi pemangsa secara tidak langsung, karena pemangsa tidak dapat bertahan hidup tanpa adanya mangsa. Seiring dengan berjalannya waktu maka pemangsa akan mengalami kepunahan juga. Untuk mengontrol tingkat predasi agar tidak menyebabkan terjadinya kepunahan pada kedua spesies, maka diberikan perlakuan terhadap populasi mangsa, yaitu dengan memanen populasi mangsa secara teratur. Namun jika tingkat pemanenan terlalu tinggi maka dapat juga menyebabkan punahnya kedua spesies. Oleh karena itu tingkat pemanenan juga harus dibatasi. Dalam melakukan usaha pemanenan ini, hal yang harus diutamakan adalah usaha pemanenan dengan membuat sistem lingkungannya tidak mengalami kepunahan. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas tentang model interaksi mangsa-pemangsa Michaelis-Menten yang diberikan perlakuan pemanenan terhadap populasi mangsa untuk mencegah kepunahan kedua spesies. Dalam tulisan ini juga akan ditentukan batas maksimal dari pemanenan, sehingga tidak terjadi eksploitasi terhadap populasi mangsa yang akan menyebabkan kepunahan. Untuk melihat dinamika populasi sistem, akan dipelajari beberapa faktor yang menjadi penentu, seperti tingkat kematian dan kelahiran, frekuensi pertemuan antara kedua spesies dan tingkat pemanenan yang dilakukan.

1.2 Tujuan 1.

Melakukan analisis terhadap model mangsa-pemangsa Michaelis-Menten dengan pemanenan pada populasi mangsa. 2. Menentukan nilai maksimum pemanenan agar tidak terjadi kepunahan pada kedua spesies. II LANDASAN TEORI

2.1 Persamaan Diferensial Biasa

PDB Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sebarang terhadap peubah t . Contohnya adalah suatu persamaan diferensial biasa orde I yang dinyatakan sebagai : ’ Farlow 1994

2.2 Sistem Persamaan Diferensial

Linear SPDL Misalkan sebuah sistem persamaan diferensial SPD linear dinyatakan sebagai berikut: x Ax b = + , x 0 = x , n x ∈ℜ 2.1 dengan A adalah matriks koefisien berukuran n n × dan vektor konstan b n ∈ℜ , maka sistem tersebut dinamakan SPD linear orde 1 dengan kondisi awal x 0 = x λ . Sistem 2.1 dikatakan homogen jika b = 0 dan tak homogen jika b ≠ 0. I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Makhluk hidup di bumi ini terdiri dari bermacam-macam spesies yang membentuk populasi dan hidup bersama. Makhluk hidup selalu bergantung kepada makhluk hidup yang lain. Tiap individu akan selalu berhubungan dengan individu lain yang sejenis atau lain jenis, baik individu dalam satu populasi atau individu-individu dari populasi lain. Ada beberapa jenis hubungan yang dapat terjadi antar spesies. Salah satu interaksi tersebut adalah predasi, yaitu hubungan antara mangsa prey dan pemangsa predator. Hubungan ini sangat erat kaitannya karena tanpa mangsa, predator tidak dapat bertahan hidup karena tidak ada sumber makanan yang akan dikonversi menjadi individu-individu baru yang akan memperkecil kemungkinan terjadinya kepunahan. Sebaliknya predator berfungsi sebagai pengontrol populasi mangsa. Menurut Xiao 2005 salah satu cara kepunahan populasi disebabkan karena banyaknya populasi awal yang terlalu rendah. Oleh karena itu, tingkat predasi yang sangat tinggi terhadap mangsa akan menyebabkan semakin berkurangnya populasi mangsa yang akan memungkinkan terjadinya kepunahan pada spesies mangsa. Hal ini akan berdampak sama pada populasi pemangsa secara tidak langsung, karena pemangsa tidak dapat bertahan hidup tanpa adanya mangsa. Seiring dengan berjalannya waktu maka pemangsa akan mengalami kepunahan juga. Untuk mengontrol tingkat predasi agar tidak menyebabkan terjadinya kepunahan pada kedua spesies, maka diberikan perlakuan terhadap populasi mangsa, yaitu dengan memanen populasi mangsa secara teratur. Namun jika tingkat pemanenan terlalu tinggi maka dapat juga menyebabkan punahnya kedua spesies. Oleh karena itu tingkat pemanenan juga harus dibatasi. Dalam melakukan usaha pemanenan ini, hal yang harus diutamakan adalah usaha pemanenan dengan membuat sistem lingkungannya tidak mengalami kepunahan. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas tentang model interaksi mangsa-pemangsa Michaelis-Menten yang diberikan perlakuan pemanenan terhadap populasi mangsa untuk mencegah kepunahan kedua spesies. Dalam tulisan ini juga akan ditentukan batas maksimal dari pemanenan, sehingga tidak terjadi eksploitasi terhadap populasi mangsa yang akan menyebabkan kepunahan. Untuk melihat dinamika populasi sistem, akan dipelajari beberapa faktor yang menjadi penentu, seperti tingkat kematian dan kelahiran, frekuensi pertemuan antara kedua spesies dan tingkat pemanenan yang dilakukan.

1.2 Tujuan 1.