Persamaan Maxwell Teori Klasik Optik Nonlinear

2.3.1 Susceptibilitas Nonlinear

Sebelum tahun 1960, persamaan dasar polarisasi diformulasikan dalam bentuk persamaan linear. Dalam hal ini vektor polarisasi listrik P r diasumsikan mempunyai hubungan yang linear terhadap kuat medan listrik gelombang elektromagnetik E r , ditulisakan seperti persamaan 1.1 He and Liu, 1999 E P r r χ ε = Dengan ε permitivitas ruang hampa, dan χ susceptibilitas medium. Hubungan linear antara P r dan E r pada persamaan 1.1 dianggap benar sampai tahun 1960, ini telah disetujui secara luas dan telah dibuktikan dengan observasi eksperimen. Tetapi mulai tahun 1960, diketahui bahwa asumsi hubungan linear antara P r dan E r tidak sesuai untuk sinar laser yang berinteraksi dengan sebuah medium optik. Ketika pulsa berkas laser dilewatkan pada piezoelektrik kristal, teramati adanya generasi harmonik kedua pada sebuah frekuensi optik, sehingga dari hasil tersebut hubungan antara P r dan E r dituliskan seperti pada persamaan 1.2 .....] [ 3 2 1 + + + = E E E E E E P r r r r r r r χ χ χ ε dengan , , , ... susceptibilitas orde-1 linear, orde-2 nonlinear, orde-3 nonlinear dan seterusnya. 1 χ 2 χ 3 χ Pada abad terakhir, teori gelombang ganda dapat dikembangkan dengan teori klasik murni dan optik dijelaskan sama seperti optik linear. Hukum klasik optik lebih banyak mempelajari intensitas cahaya dan susceptibilitas nonlinear. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2.3.2 Model Atom Klasik Nonlinear 2.3.2.1 Gas Elektron Bebas Gerak elektron tunggal pada sebuah plasma dibawah pengaruh gelombang cahaya terpolarisasi, Bloembergen,1996 exp t i ikz c E c E B x y ω − = = , 2.41 dimana . 1 − = c k ω Persamaan gerak untuk elektron tunggal pada plasma, τ 1 x m B z ec eE x m y x − − = − 2.42 y m = y m − 2.43 τ z m = 1 − ec x y B z m − τ . 2.44 Waktu tumbukan τ mendeskripsikan redaman gerak statis. Bila exp t i ikz x x ω − = , maka, x i t i ikz x i dt dx x ω ω ω − = − − = = exp 2.45 x t i ikz x i i dt x d x 2 2 2 exp ω ω ω ω − = − − − = = 2.46 Sehingga substitusi persamaan 2.45 dan 2.46 ke dalam persamaan 2.42 menghasilkan pendekatan linear pertama, x m 2 ω − = exp 2 t i ikz eE ω − 1 − − ec z y B x i m ω − − τ 2.47 Jika 2 exp t i ikz z z ω − = diekspansikan dengan menganggap 2 t i ikz ω − sangat kecil, maka dalam pendekatan linear nilai z z = konstanta, sehingga persamaan 2.47 menjadi ω x = exp 1 2 − + − − ωτ ω ω i m t i ikz eE . 2.48 Berdasarkan persamaan 2.48, nilai dari ω x , ω x = exp exp 1 2 1 2 − − + − = + − − − = ωτ ω ω ω ωτ ω ω ω ω i m t i ikz eE i i m t i ikz eE i dt dx 2.49 Jika nilai 2 exp t i ikz z z ω − = , maka z i t i ikz z i dt dz z ω ω ω 2 exp 2 − = − − = = 2.50 z t i ikz z i i dt z d z 2 2 2 4 exp 2 2 ω ω ω ω − = − − − = = 2.51 Jika persamaan 2.49, 2.50 dan 2.51 disubstitusikan ke persamaan 2.44, maka pendekatan nonlinear orde terendahnya, 2 ω z = 2 4 2 2 exp 1 2 1 2 2 2 − − + + − − ωτ ω τ ω ω i i c m t i ikz E ie . 2.52 Momen dipol linear q muatan, d jarak. Karena d q p . = e q = dan ω x d = , momen dipol dapat dituliskan menjadi ω ex Dalam permasalahan ini lebih difokuskan pada polarisasi rata-rata dalam volume kecil dan indeks bias plasma. Jika densitas rata-rata elektron pada plasma adalah per , maka besar polarisasi, N 2 cm ω ω ω χ ω ex N E P x x = = . 2.53 Persamaan 2.48 dan 2.53 mempunyai penyelesaian susceptibilitas ω χ , 1 2 2 − + − = ωτ ω ω χ i m e N . 2.54 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Jika frekuensi optik 1 ωτ , maka 2 2 ω ω χ m e N − = , sehingga nilai susceptibilitas plasma, 2 2 4 4 1 ω π ω πχ ε ω m e N − = = − . 2.55 Polarisasi nonlinear untuk frekuensi harmonik kedua diberikan oleh persamaan, 2 2 2 ω ω ω χ ω ez N E P x z = = 2.56 Seperti langkah sebelumnya, persamaan 2.52 dan 2.56 mempunyai penyelesaian susceptibilitas, 2 4 exp 2 1 2 1 2 3 − − + + − − = ωτ ω τ ω ω ω χ i i c m t i ikz E ie N . 2.57 Jika frekuensi optik 1 ωτ , maka c m t i ikz E ie N 3 2 3 4 exp 2 ω ω ω χ − − = 2.58 sehingga nilai susceptibilitas plasma, c m t i ikz E ie N 3 2 3 2 exp 2 4 1 ω ω π ω πχ ε ω − − = = − . 2.59

2.3.2.2. Osilator tak Harmonik

Untuk menghitung polarisasi linear dari sebuah medium, Drude dan Lorentz mendeskripsikan elektron sebagai partikel harmonik. Jika ditinjau gerak satu dimensi osilator harmonik dalam medan listrik dengan frekuensi 1 ω ± dan 2 ω ± , maka persamaan geraknya adalah exp exp 2 2 2 1 1 1 2 2 t i z ik E t i z ik E m e vx x x x ω ω ω − + − = + + Γ + .2.60 Jika digunakan pendekatan linear, maka persamaan 2.60 dapat diperoleh menjadi exp 1 1 1 2 t i z ik mE e x x x ω ω − = + Γ + , 2.61 Jika exp t i ikz x x ω − = , maka x i t i z ik x i dt dx x 1 1 1 1 exp ω ω ω − = − − = = 2.62 x t i z ik x i i dt x d x 2 1 1 1 1 1 2 2 exp ω ω ω ω − = − − − = = , 2.63 Sehingga persamaan 2.61 dengan substitusi persamaan 2.62 dan 2.63 menghasilkan exp 2 1 2 1 1 1 1 1 ω ω ω ω ω + Γ − − − = i m t i z ik eE x 2.64 Dalam pendekatan linear orde terendah, terdapat bentuk frekuensi harmonik kedua 1 2 ω , 2 2 ω , bentuk pada frekuensi nol menjelaskan penyebaran sinar oleh nonlinear kuadrat ,dan jumlah antara 2 gelombang sinar adalah 2 vx 2 1 ω ω + , sedang bedanya 2 1 ω ω − . Untuk memperoleh nilai 2 1 ω χ digunakan 2 exp 1 1 t i z ik x x ω − = , sehingga x i t i z ik x i x 1 1 1 1 2 2 exp ω ω ω − = − − = 2.65 x t i z ik x i i x 2 1 1 1 1 1 4 2 exp 2 2 ω ω ω ω − = − − − = 2.66 Jika persamaan 2.65 dan 2.66 disubstitusikan ke persamaan 2.60, maka ruas kiri mengandung faktor ω 2 , sedangkan ruas kanan mengandung faktor ω , sebagai konsekuensinya, ruas kanan dianggap nol. Sehingga persamaan 2.61 dengan menggunakan persamaan 2.65 dan 2.66 dapat dituliskan menjadi 2 2 = + + Γ + vx x x x ω 2 4 2 2 exp 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 ω ω ω ω ω ω ω ω + Γ − − + Γ − − − − = i i m t i z ik E ve x 2.67 Jika dituliskan , maka persamaan 2.67 menjadi 2 2 ω ω ω ω ω + Γ − − = − = ∗ i D D 2 2 2 exp 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 ω ω ω ω D D t i z ik vE m e x − − = . 2.68 Sedangkan untuk nilai 2 1 ω ω − x , digunakan exp 2 1 2 1 t i z k k i x x ω ω − − − = sehingga x i t i z k k i x i x exp 2 1 2 1 2 1 2 1 ω ω ω ω ω ω − − = − − − − − = 2.69 x t i z k k i x i i x 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 exp . ω ω ω ω ω ω ω ω − − = − − − − − − − = 2.70 Jika persamaan 2.69 dan 2.70 disubstitusikan ke persamaan 2.60, maka ruas kanan tidak sama dengan ruas kiri sebab pada ruas kanan tidak ada komponen yang mengandung faktor frekuensi 2 1 ω ω − . Sebagai konsekuensinya, ruas kanan dapat dianggap bernilai nol, sehingga persamaan menghasilkan exp 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω + − Γ − − − + Γ + − + Γ − − − − − − = − ∗ i i i m t i z k k i E E e v x 2.71 Jika dituliskan , maka persamaan 2.71 dapat dituliskan menjadi 2 2 ω ω ω ω ω + Γ − − = − = ∗ i D D ] exp[ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 ω ω ω ω ω ω ω ω − − − − − = − D D D t i z k k i E vE m e x . 2.72 Persamaan untuk polarisasi nonlinear mengikuti Bloembergen, 1996 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2 , , 2 2 2 ω ω ω ω ω χ ω ex N E P x xxx NL x = = . 2.73 Dari persamaan 2.68 dengan mengubah nilai 1 ω menjadi ω kemudian disubstitusikan ke persamaan 2.73 diperoleh nilai susceptibilitas nonlinear, 2 2 2 exp , , 2 2 2 3 ω ω ω ω ω ω χ D D t i ikz v m e N xxx − − = 2.74 dengan xxx tensor susceptibilitas. Pernyataan yang sama dapat diturunkan untuk susceptibilitas , , 2 1 2 1 ω ω ω ω χ − − xxx . Dispersi dari susceptibilitas nonlinear orde terendah dideskripsikan dengan frekuensi tiga. Dispersi ditambah mendekati resonansi dominator satu. Jika sebagai contoh beda frekuensi sama dengan frekuensi resonansi , Γ = − 2 1 ω ω ω i D untuk 2 1 ω ω ω = − , maka susceptibilitas beda frekuensi jauh lebih besar dibandingkan lainnya. Ketika 2 1 ω ω − sama atau mendekati frekuensi resonansi ω , digunakan komponen fourier 2.72 dalam penghitungan nonlinear orde tertinggi selanjutnya. bentuk linear menghasilkan komponen 2 vx 2 1 2 1 2 , 2 ω ω ω ω − − , dalam penambahan ke bentuk frekuensi pertama 1 ω dan 2 ω − . Sebagai contoh, untuk mendapatkan nilai menunjukkan sistem nonlinear, diselesaikan dengan langkah sebagai berikut, 2 ω NL x NL 1 2 1 2 2 ω ω ω ω ω − − = − = NL NL NL x x x 2.75 dari persamaan 2.64 diubah ke dalam bentuk exp exp 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ω ω ω ω ω ω ω ∗ ∗ ∗ + − = + Γ + − + − = − mD t i z ik eE i m t i z ik eE x 2.76 dan persamaan 2.60 mengikuti, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 1 2 1 2 = − − + + Γ + ω ω ω ω x vx x x x , 2.77 jika exp 2 2 t i z ik x x ω + − = , maka x i x 2 ω = dan 2.78 x x 2 2 ω − = sehingga substitusi persamaan 2.72, 2.76 dan 2.78 ke persamaan 2.77 menghasilkan 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 3 3 2 2 E E D D D v m e x x NL NL ω ω ω ω ω ω − = − = atau 2 1 2 1 2 2 2 3 4 1 1 2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω χ − = − + = D D D v m e N xxxx . 2.79

2.4 Operator Del

∇ r Operator del ∇ didefinisikan sebagai vektor operator diferensial parsial. Dalam koordinat kartesian, operator ∇ r r dianggap sebagai sebuah vektor : ∇ r = z k y j x i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ 2.80 dimana dan menyatakan vektor satuan sepanjang sumbu j i ˆ , ˆ kˆ y x , dan z . Jika diberikan sembarang medan skalar φ pada operator , maka dapat dibentuk sebuah medan vektor yang dinamakan gradien dari del ∇ r φ grad φ , ditulis sebagai Halliday dan Resnick, 1984 grad φ ≡ ∇ r φ = z k y j x i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ φ φ φ ˆ ˆ ˆ . 2.81 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Jika diberikan sebuah medan vektor k A j A i A A z y x ˆ ˆ ˆ + + = r , maka perkalian titik dari dan ∇ r A r menghasilkan medan skalar yang dinamakan divergensi dari A r div A r , dituliskan sebagai div A r ≡ ∇ r . A r = z A y A x A z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ . 2.82 Perkalian silang dari ∇ r dan A r menghasilkan medan vektor yang dinamakan curl dari A r curl A r , dituliskan sebagai curl A r ≡ = A x r r ∇ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ y A x A k x A z A j z A y A i x y z x y z ˆ ˆ ˆ . 2.83 Operator lain yang sering didapati adalah 2 ∇ r , ditulis sebagai 2 2 2 2 2 2 2 . z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ ∇ = ∇ r r r . 2.84 Jika persamaan ini digunakan pada sebuah medan skalar φ , maka diperoleh 2 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ φ φ φ φ r . 2.85 Untuk sebuah medan vektor A r , operasi A r r 2 ∇ adalah . ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x A z y x k A z y x j A z y x i A ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ r r 2.86 Untuk perkalian silang A x x r r r ∇ ∇ atau curl curl A r nilainya akan sama dengan + ∇ − A r r 2 grad div A r , dapat dituliskan sebagai curl curl A r = + ∇ − A r r 2 grad div A r . 2.87