Hasil Penurunan Persamaan Maxwell .1 Persamaan Gelombang

E x x r r r ∇ ∇ = E r r 2 ∇ − Sesuai dengan persamaan 2.84, bahwa 2 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ r , penyelesaian persamaan menjadi E x x r r r ∇ ∇ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = 2 2 2 2 2 2 z E y E x E r r r 4.5 Hasil perkalian ini sendiri mengikuti E x x r r r ∇ ∇ t B x E x x ∂ ∂ − ∇ = ∇ ∇ r r r r r xB t E x x ∇ ∂ ∂ − = ∇ ∇ r r r t E E x x 2 2 ∂ ∂ − = ∇ ∇ r r r r ε μ 4.6 dengan mensubstitusikan persamaan 4.5 ke persamaan 4.6 diperoleh 2 2 2 2 2 2 2 2 t E z E y E x E ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r r r r ε μ 4.7 Nilai vektor medan listrik . Jika dua komponen k E j E i E E z y x ˆ ˆ ˆ + + = r E r bernilai nol yaitu , sedangkan , maka persamaan 4.7 menjadi = = z x E E ≠ y E 2 2 2 2 2 2 2 2 t E z E y E x E y y y y ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ε μ 4.8 dengan menganggap bahwa adalah fungsi-fungsi dari y E x dan t saja, persamaan 4.8 menjadi 2 2 2 2 t E x E y y ∂ ∂ = ∂ ∂ ε μ 4.9 Jika dianggap bahwa sin t kx E E m y ω − = , maka dari persamaan 4.9, dihasilkan relasi . Karena , maka untuk 2 ω ε μ k = 2 1 c = ε μ c v = dihasilkan relasi kc = ω sehingga bentuk sin t kx E E m y ω − = 4.10 dapat digunakan sebagai penyelesaian dari persamaan 4.9. Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan 4.10, maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.1. y E Gambar 4.1 Grafik hubungan dengan t dari persamaan 4.10 y E dengan 1 = m E , 1 = k , 30 = ω . Untuk mencari persamaan gelombang medan magnet B r , digunakan langkah yang sama. Dengan mengambil curl dari curl B r , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI curl curl B r = + ∇ − B r r 2 grad div B r B x x r r r ∇ ∇ = + ∇ − B r r 2 . B r r r ∇ ∇ B x x r r r ∇ ∇ = . 2 B r r ∇ − Nilai 2 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ r , sehingga penyelesaian persamaan menjadi B x x r r r ∇ ∇ . 2 2 2 2 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = z B y B x B r r r 4.11 Nilai perkalian untuk ini sendiri mengikuti B x x r r r ∇ ∇ t E x B x x ∂ ∂ ∇ = ∇ ∇ r r r r r ε μ E x t r ∇ ∂ ∂ = ε μ 2 2 t B ∂ ∂ − = r ε μ 4.12 dengan mensubstitusikan persamaan 4.11 ke persamaan 4.12, diperoleh . 2 2 2 2 2 2 2 2 t B z B y B x B ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r r r r ε μ 4.13 Nilai vektor medan listrik . Jika dua komponen k B j B i B B z y x ˆ ˆ ˆ + + = r B r bernilai nol yaitu , sedangkan , maka persamaan 4.13 menjadi = = y x B B ≠ z B 2 2 2 2 2 2 2 2 t B z B y B x B z z z z ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ε μ 4.14 dengan menganggap bahwa adalah fungsi-fungsi dari z B x dan saja, maka persamaan 4.14 menjadi t . 2 2 2 2 t B x B z z ∂ ∂ = ∂ ∂ ε μ 4.15 Jika dianggap bahwa sin t kx B B m z ω − = , maka dari persamaan 4.15 dihasilkan relasi . Karena , maka untuk 2 ω ε μ k = 2 1 c = ε μ c v = dihasilkan relasi kc = ω sehingga bentuk sin t kx B B m z ω − = 4.16 dapat digunakan sebagai penyelesaian dari persamaan 4.15. Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan 4.16, maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.2. z B Gambar 4.2 Grafik hubungan dengan t dari persamaan 4.16, z B dengan 1 = m B , 1 = k , 30 = ω .

4.1.1.2 Gelombang Elektromagnet dalam Medium

Empat persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial untuk medan listrik dan medan magnetik yang berubah terhadap waktu dalam sebuah medium: 1 ε ∇ . r E r = ρ 4.17 2 . ∇ r B r = 4.18 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ∇ t E J B x r r r r ε μ 4.19 4 t B E x ∂ ∂ − = ∇ r r r 4.20 Nilai curl curl E , berdasarkan persamaan 2.87 mengikuti + ∇ − = ∇ ∇ E E x x 2 r r r r grad div E r . 2 E E r r r r r ∇ ∇ + ∇ − = dengan mensubstitusikan persamaan 4.17 ke persamaan ini, diperoleh E x x r r r ∇ ∇ 2 ε ρ ∇ + ∇ − = r r r E . 4.21 Nilai perkalian curl curl E ini sendiri adalah ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∇ = ∇ ∇ t B x E x x r r r r r B x t r r ∇ ∂ ∂ − = . ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = t E J t r r ε μ Jika adalah , dengan J r E r σ σ adalah konduktivitas bahan, maka . 2 2 t E t E E x x ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∇ ∇ r r r r r ε μ σ μ 4.22 Dengan mensubstitusikan persamaan 4.21 ke persamaan 4.22, maka diperoleh . 2 2 2 t E t E E ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∇ + ∇ − r r r r r ε μ σ μ ε ρ 4.23 Nilai Jika . ˆ ˆ ˆ z y x E k E j E i E + + = r = = z x E E , ≠ y E , dan adalah fungsi dari y E x dan saja, maka persamaan 4.23 menjadi t . 2 2 2 2 t E t E x x E y y y ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ − ε μ σ μ ε ρ 4.24 Karena ε ρ adalah sebuah konstanta maka turunan ε ρ terhadap x bernilai nol, sehingga persamaan 4.24 menjadi . 2 2 2 2 t E t E x E y y y ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ε μ σ μ 4.25 Dari persamaan 4.25 terlihat bahwa merupakan fungsi y E x dan t . Persamaan 4.25 dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel yaitu dengan menuliskan . , t T x X t x E y = 4.26 sehingga diperoleh, 2 2 2 2 x X T x E y ∂ ∂ = ∂ ∂ , 2 2 2 2 t T X t E y ∂ ∂ = ∂ ∂ dan t T X t E y ∂ ∂ = ∂ ∂ 4.27 substitusi persamaan 4.27 ke persamaan 4.25, menghasilkan t T X t T X x X T ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ σ μ ε μ 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 t T t T T x X X ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ σ μ ε μ 4.28 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Dari persamaan 4.28, terlihat bahwa ruas kiri hanya fungsi x dan ruas kanan hanya fungsi t . Oleh sebab itu, ruas kiri dan ruas kanan persamaan 4.28 merupakan konstanta. Jika konstanta tersebut adalah , maka 2 k 2 2 2 1 k x X X = ∂ ∂ atau . 2 2 2 = − ∂ ∂ Xk x X 4.29 Berdasarkan persamaan 2.94, persamaan 4.29 menghasilkan kx kx Be Ae x X − + = 4.30 dengan A dan konstanta yang ditentukan dari syarat batas. Jika digunakan syarat batas , maka diperoleh B = X A B − = , sehingga persamaan 4.30 menjadi kx kx e e A x X − − = . 4.31 Dari persamaan 4.28, ruas kanan mempunyai bentuk T k t T t T 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ σ μ ε μ 4.32 Dengan menggunakan metode operator t D ∂ ∂ = , persamaan 4.32 dapat dituliskan menjadi 2 2 = − + T k D D σ μ ε μ 4.33 Dari persamaan 4.33 terlihat bahwa , sebab . Akar- akar dari persamaan 4.33 adalah 2 2 = − + k D D σ μ ε μ ≠ T 2 2 2 1 2 4 ε μ ε μ σ μ σ μ k D + + − = . 2 4 2 2 2 2 ε μ ε μ σ μ σ μ k D + − − = Sesuai dengan persamaan 2.94, persamaan 4.33 mempunyai penyelesaian berbentuk . 2 1 t D t D Ze Ye t T + = 4.34 dengan dan Y Z konstanta yang ditentukan dari syarat batas. Jika diberikan syarat batas , maka diperoleh = T Y Z − = , sehingga persamaan 4.34 menjadi 2 1 t D t D e e Y t T − = atau . 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 t k t k e e Y t T ε μ ε μ σ μ σ μ ε μ ε μ σ μ σ μ + − − + + − − = 4.35 Dari persamaan 4.31 dan 4.35, persamaan 4.26 menghasilkan, . , 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 t k t k kx kx y e e e e AY t x E ε μ ε μ σ μ σ μ ε μ ε μ σ μ σ μ + − − + + − − − − = 4.36 Jika dituliskan , maka persamaan 4.36 menjadi AY E y = . , 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 t k t k kx kx y y e e e e E t x E ε μ ε μ σ μ σ μ ε μ ε μ σ μ σ μ + − − + + − − − − = 4.37 Grafik yang dapat dibuat dari persamaan 4.37 dengan menggunakan program Maple 9 ditunjukkan pada Gambar 4.3. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI y E Gambar 4.3 Grafik 3 dimensi fungsi y E x dan t dari persamaan 4.37 , dengan , Hm, Fm, 1 = y E 6 10 . 26 , 1 − = μ 12 10 . 85 , 8 − = ε 1 = σ ohmm, , 45 = k Untuk memperoleh persamaan gelombang B r digunakan cara yang sama dengan cara untuk mendapatkan persamaan 4.37. Dengan mengambil curl dari curl B r , berdasarkan persamaan 2.87 mengikuti + ∇ − = ∇ ∇ B B x x r r r r r 2 grad div B r . 2 B r r ∇ − = 4.38 Nilai perkalian ini sendiri adalah B x x r r r ∇ ∇ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∇ = ∇ ∇ t E J x B x x r r r r r r ε μ . E x t J x r r r r ∇ ∂ ∂ + ∇ = ε μ μ 4.39 Jika nilai rapat arus adalah , dengan J r E r σ σ konduktivitas, maka persamaan 4.39 menjadi E x t E x B x x r r r r r r r ∇ ∂ ∂ + ∇ = ∇ ∇ ε μ σ μ t B t t B ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = r r ε μ σ μ . 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = t B t B r r σ μ ε μ 4.40 Dari persamaan 4.39 dan 4.40, diperoleh . 2 2 2 t B t B B ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ − r r r r σ μ ε μ 4.41 Nilai . Jika z y x B k B j B i B ˆ ˆ ˆ + + = r = = y x B B , ≠ z B , dan adalah fungsi dari z B x dan t saja, maka persamaan 4.41 menjadi . 2 2 2 2 t B t B x B z z z ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ σ μ ε μ 4.42 Persamaan 4.42 memiliki tipe yang sama dengan persamaan 4.25, sehingga penyelesaian persamaan 4.42 mempunyai bentuk yang sama seperti persamaan 4.37, dengan mengubah menjadi didapatkan y E z B , 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 t k t k kx kx y z e e e e B t x B ε μ ε μ σ μ σ μ ε μ ε μ σ μ σ μ + − − + + − − − − = . 4.43 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan 4.43, maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.4. z B Gambar 4.4 Grafik 3 dimensi sebagai fungsi dari z B x dan t dari persamaan 4.43, dengan 1 = y B , Hm, Fm, 6 10 . 26 , 1 − = μ 12 10 . 85 , 8 − = ε 1 = σ ohmm, . 45 = k

4.1.2 Persamaan Gerak

Persamaan Maxwell yang akan dijabarkan adalah persamaan Maxwell dalam ruang hampa. Perlu ditinjau keempat persamaan Maxwell, yaitu persamaan 4.1, 4.2,

4.3, dan 4.4.

Jika nilai ∇ = r z k y j x i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ dan arah perambatan sinar ke arah sumbu x dengan komponen medan listrik E r ke arah sumbu z dan komponen medan magnet B r ke arah sumbu , maka penjabaran untuk persamaan 4.20 , y E x r r ∇ = z y x E E E z y x k j i r r r ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ x E r , dan masing-masing adalah medan listrik ke arah sumbu y E r z E r x , dan y z . Karena medan listrik E r hanya mengarah ke sumbu z saja, maka besarnya x E r dan y E r bernilai 0, sehingga E x r r ∇ = E z y x k j i r ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = . ˆ ˆ x E j y E i ∂ ∂ − ∂ ∂ r r 4.44 Dengan mensubstitusikan persamaan 4.44 ke persamaan 4.20 maka didapatkan t B ∂ ∂ − v = x E j y E i ∂ ∂ − ∂ ∂ r r ˆ ˆ 4.45 Jika diambil hanya ke arah sumbu , maka dari persamaan 4.45 diperoleh y t B ∂ ∂ v = x E ∂ ∂ r . = ∂ ∂ − ∂ ∂ x E t B r v 4.46 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI