E x
x r
r r
∇ ∇
=
E r
r
2
∇ −
Sesuai dengan persamaan 2.84, bahwa
2 2
2 2
2 2
2
z y
x ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
∇ r
, penyelesaian persamaan menjadi
E x
x r
r r
∇ ∇
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
− =
2 2
2 2
2 2
z E
y E
x E
r r
r
4.5
Hasil perkalian ini sendiri mengikuti
E x
x r
r r
∇ ∇
t B
x E
x x
∂ ∂
− ∇
= ∇
∇ r
r r
r r
xB t
E x
x ∇
∂ ∂
− =
∇ ∇
r r
r
t E
E x
x
2 2
∂ ∂
− =
∇ ∇
r r
r r
ε μ
4.6 dengan mensubstitusikan persamaan 4.5 ke persamaan 4.6 diperoleh
2 2
2 2
2 2
2 2
t E
z E
y E
x E
∂ ∂
= ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ r
r r
r ε
μ 4.7
Nilai vektor medan listrik . Jika dua komponen
k E
j E
i E
E
z y
x
ˆ ˆ
ˆ +
+ =
r E
r
bernilai nol yaitu , sedangkan
, maka persamaan 4.7 menjadi =
=
z x
E E
≠
y
E
2 2
2 2
2 2
2 2
t E
z E
y E
x E
y y
y y
∂ ∂
= ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂
ε μ
4.8 dengan menganggap bahwa
adalah fungsi-fungsi dari
y
E x
dan
t
saja, persamaan 4.8 menjadi
2 2
2 2
t E
x E
y y
∂ ∂
= ∂
∂ ε
μ 4.9
Jika dianggap bahwa
sin t
kx E
E
m y
ω
− =
, maka dari persamaan 4.9, dihasilkan relasi . Karena
, maka untuk
2
ω ε
μ
k =
2
1 c =
ε μ
c v
=
dihasilkan relasi
kc =
ω sehingga bentuk
sin t
kx E
E
m y
ω
− =
4.10 dapat digunakan sebagai penyelesaian dari persamaan 4.9.
Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan 4.10, maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.1.
y
E
Gambar 4.1 Grafik hubungan dengan
t
dari persamaan 4.10
y
E
dengan 1
=
m
E ,
1 =
k ,
30 =
ω .
Untuk mencari persamaan gelombang medan magnet
B r
, digunakan langkah yang sama. Dengan mengambil curl dari curl
B r
, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
curl curl
B r
=
+ ∇
− B
r r
2
grad div
B r
B x
x r
r r
∇ ∇
=
+ ∇
− B
r r
2
. B
r r
r ∇
∇ B
x x
r r
r ∇
∇
=
.
2
B r
r ∇
−
Nilai
2 2
2 2
2 2
2
z y
x ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
∇ r
, sehingga penyelesaian persamaan menjadi
B x
x r
r r
∇ ∇
.
2 2
2 2
2 2
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
− =
z B
y B
x B
r r
r
4.11
Nilai perkalian untuk ini sendiri mengikuti
B x
x r
r r
∇ ∇
t E
x B
x x
∂ ∂
∇ =
∇ ∇
r r
r r
r
ε μ
E x
t r
∇ ∂
∂ =
ε μ
2 2
t B
∂ ∂
− =
r
ε μ
4.12 dengan mensubstitusikan persamaan 4.11 ke persamaan 4.12, diperoleh
.
2 2
2 2
2 2
2 2
t B
z B
y B
x B
∂ ∂
= ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ r
r r
r ε
μ 4.13
Nilai vektor medan listrik . Jika dua komponen
k B
j B
i B
B
z y
x
ˆ ˆ
ˆ +
+ =
r B
r
bernilai nol yaitu , sedangkan
, maka persamaan 4.13 menjadi
= =
y x
B B
≠
z
B
2 2
2 2
2 2
2 2
t B
z B
y B
x B
z z
z z
∂ ∂
= ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ ε
μ 4.14
dengan menganggap bahwa adalah fungsi-fungsi dari
z
B x
dan saja, maka persamaan 4.14 menjadi
t
.
2 2
2 2
t B
x B
z z
∂ ∂
= ∂
∂
ε μ
4.15 Jika dianggap bahwa
sin t
kx B
B
m z
ω −
= , maka dari persamaan 4.15 dihasilkan relasi
. Karena , maka untuk
2
ω ε
μ
k =
2
1 c =
ε μ
c v
=
dihasilkan relasi
kc =
ω sehingga bentuk
sin t
kx B
B
m z
ω
− =
4.16 dapat digunakan sebagai penyelesaian dari persamaan 4.15.
Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan 4.16, maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.2.
z
B
Gambar 4.2 Grafik hubungan dengan
t
dari persamaan 4.16,
z
B
dengan 1
=
m
B ,
1 =
k ,
30 =
ω .
4.1.1.2 Gelombang Elektromagnet dalam Medium
Empat persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial untuk medan listrik dan medan magnetik yang berubah terhadap waktu dalam sebuah medium:
1
ε
∇
.
r E
r
= ρ
4.17 2
.
∇ r
B r
= 4.18
3
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ =
∇ t
E J
B x
r r
r r
ε μ
4.19
4
t B
E x
∂ ∂
− =
∇ r
r r
4.20 Nilai curl curl
E
, berdasarkan persamaan 2.87 mengikuti
+ ∇
− =
∇ ∇
E E
x x
2
r r
r r
grad div
E r
.
2
E E
r r
r r
r ∇
∇ +
∇ −
=
dengan mensubstitusikan persamaan 4.17 ke persamaan ini, diperoleh
E x
x r
r r
∇ ∇
2
ε ρ
∇ +
∇ −
= r
r r
E .
4.21 Nilai perkalian curl curl
E
ini sendiri adalah
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
− ∇
= ∇
∇ t
B x
E x
x r
r r
r r
B x
t r
r ∇
∂ ∂
− =
. ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ +
∂ ∂
− =
t E
J t
r r
ε μ
Jika adalah , dengan
J r
E r
σ σ adalah konduktivitas bahan, maka
.
2 2
t E
t E
E x
x ∂
∂ −
∂ ∂
− =
∇ ∇
r r
r r
r
ε μ
σ μ
4.22 Dengan mensubstitusikan persamaan 4.21 ke persamaan 4.22, maka diperoleh
.
2 2
2
t E
t E
E ∂
∂ −
∂ ∂
− =
∇ +
∇ −
r r
r r
r
ε μ
σ μ
ε ρ
4.23
Nilai Jika
. ˆ
ˆ ˆ
z y
x
E k
E j
E i
E +
+ =
r
= =
z x
E E
,
≠
y
E
, dan adalah fungsi dari
y
E x
dan saja, maka persamaan 4.23 menjadi
t
.
2 2
2 2
t E
t E
x x
E
y y
y
∂ ∂
− ∂
∂ −
= ∂
∂ +
∂ ∂
− ε
μ σ
μ ε
ρ 4.24
Karena ε
ρ adalah sebuah konstanta maka turunan
ε ρ
terhadap
x
bernilai nol, sehingga persamaan 4.24 menjadi
.
2 2
2 2
t E
t E
x E
y y
y
∂ ∂
+ ∂
∂ =
∂ ∂
ε μ
σ μ
4.25 Dari persamaan 4.25 terlihat bahwa
merupakan fungsi
y
E x
dan
t
. Persamaan 4.25 dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel yaitu dengan menuliskan
. ,
t T
x X
t x
E
y
=
4.26 sehingga diperoleh,
2 2
2 2
x X
T x
E
y
∂ ∂
= ∂
∂ ,
2 2
2 2
t T
X t
E
y
∂ ∂
= ∂
∂
dan
t T
X t
E
y
∂ ∂
= ∂
∂
4.27 substitusi persamaan 4.27 ke persamaan 4.25, menghasilkan
t T
X t
T X
x X
T ∂
∂ +
∂ ∂
= ∂
∂
σ μ
ε μ
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
t T
t T
T x
X X
∂ ∂
+ ∂
∂ =
∂ ∂
σ μ
ε μ
4.28 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dari persamaan 4.28, terlihat bahwa ruas kiri hanya fungsi
x
dan ruas kanan hanya fungsi
t
. Oleh sebab itu, ruas kiri dan ruas kanan persamaan 4.28 merupakan konstanta. Jika konstanta tersebut adalah
, maka
2
k
2 2
2
1 k
x X
X =
∂ ∂
atau
.
2 2
2
= −
∂ ∂
Xk x
X
4.29 Berdasarkan persamaan 2.94, persamaan 4.29 menghasilkan
kx kx
Be Ae
x X
−
+ =
4.30 dengan
A
dan konstanta yang ditentukan dari syarat batas. Jika digunakan syarat batas
, maka diperoleh
B =
X A
B −
=
, sehingga persamaan 4.30 menjadi
kx kx
e e
A x
X
−
− =
. 4.31
Dari persamaan 4.28, ruas kanan mempunyai bentuk
T k
t T
t T
2 2
2
= ∂
∂ +
∂ ∂
σ μ
ε μ
4.32
Dengan menggunakan metode operator t
D ∂
∂ =
, persamaan 4.32 dapat dituliskan menjadi
2 2
= −
+ T
k D
D
σ μ
ε μ
4.33 Dari persamaan 4.33 terlihat bahwa
, sebab . Akar-
akar dari persamaan 4.33 adalah
2 2
= −
+ k
D D
σ μ
ε μ
≠ T
2 2
2 1
2 4
ε μ
ε μ
σ μ
σ μ
k D
+ +
− =
. 2
4
2 2
2 2
ε μ
ε μ
σ μ
σ μ
k D
+ −
− =
Sesuai dengan persamaan 2.94, persamaan 4.33 mempunyai penyelesaian berbentuk .
2 1
t D
t D
Ze Ye
t T
+ =
4.34 dengan
dan
Y Z
konstanta yang ditentukan dari syarat batas. Jika diberikan syarat batas , maka diperoleh
= T
Y Z
− =
, sehingga persamaan 4.34 menjadi
2 1
t D
t D
e e
Y t
T −
= atau
.
2 4
2 4
2 2
2 2
2 2
t k
t k
e e
Y t
T
ε μ
ε μ
σ μ
σ μ
ε μ
ε μ
σ μ
σ μ
+ −
− +
+ −
− =
4.35 Dari persamaan 4.31 dan 4.35, persamaan 4.26 menghasilkan,
. ,
2 4
2 4
2 2
2 2
2 2
t k
t k
kx kx
y
e e
e e
AY t
x E
ε μ
ε μ
σ μ
σ μ
ε μ
ε μ
σ μ
σ μ
+ −
− +
+ −
−
− −
=
4.36 Jika dituliskan
, maka persamaan 4.36 menjadi
AY E
y
=
. ,
2 4
2 4
2 2
2 2
2 2
t k
t k
kx kx
y y
e e
e e
E t
x E
ε μ
ε μ
σ μ
σ μ
ε μ
ε μ
σ μ
σ μ
+ −
− +
+ −
−
− −
=
4.37 Grafik yang dapat dibuat dari persamaan 4.37 dengan menggunakan program Maple 9
ditunjukkan pada Gambar 4.3. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
y
E
Gambar 4.3 Grafik 3 dimensi fungsi
y
E x
dan
t
dari persamaan 4.37 , dengan
, Hm,
Fm,
1 =
y
E
6
10 .
26 ,
1
−
=
μ
12
10 .
85 ,
8
−
=
ε 1
= σ
ohmm, ,
45 =
k
Untuk memperoleh persamaan gelombang
B r
digunakan cara yang sama dengan cara untuk mendapatkan persamaan 4.37. Dengan mengambil curl dari curl
B r
, berdasarkan persamaan 2.87 mengikuti
+ ∇
− =
∇ ∇
B B
x x
r r
r r
r
2
grad div
B r
.
2
B r
r ∇
− =
4.38 Nilai perkalian
ini sendiri adalah
B x
x r
r r
∇ ∇
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∇
= ∇
∇ t
E J
x B
x x
r r
r r
r r
ε μ
. E
x t
J x
r r
r r
∇ ∂
∂ +
∇ =
ε μ
μ 4.39
Jika nilai rapat arus adalah , dengan
J r
E r
σ σ konduktivitas, maka persamaan 4.39
menjadi E
x t
E x
B x
x r
r r
r r
r r
∇ ∂
∂ +
∇ =
∇ ∇
ε μ
σ μ
t B
t t
B ∂
∂ −
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= r
r
ε μ
σ μ
.
2 2
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ −
= t
B t
B r
r
σ μ
ε μ
4.40
Dari persamaan 4.39 dan 4.40, diperoleh
.
2 2
2
t B
t B
B ∂
∂ +
∂ ∂
= ∇
− r
r r
r
σ μ
ε μ
4.41
Nilai . Jika
z y
x
B k
B j
B i
B ˆ
ˆ ˆ
+ +
= r
= =
y x
B B
,
≠
z
B
, dan adalah fungsi dari
z
B x
dan
t
saja, maka persamaan 4.41 menjadi
.
2 2
2 2
t B
t B
x B
z z
z
∂ ∂
+ ∂
∂ =
∂ ∂
σ μ
ε μ
4.42 Persamaan 4.42 memiliki tipe yang sama dengan persamaan 4.25, sehingga
penyelesaian persamaan 4.42 mempunyai bentuk yang sama seperti persamaan 4.37, dengan mengubah
menjadi didapatkan
y
E
z
B
,
2 4
2 4
2 2
2 2
2 2
t k
t k
kx kx
y z
e e
e e
B t
x B
ε μ
ε μ
σ μ
σ μ
ε μ
ε μ
σ μ
σ μ
+ −
− +
+ −
−
− −
=
. 4.43 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jika digunakan paket program Maple 9 untuk menggambar persamaan 4.43, maka diperoleh gambar seperti pada Gambar 4.4.
z
B
Gambar 4.4 Grafik 3 dimensi sebagai fungsi dari
z
B x dan t dari
persamaan 4.43, dengan
1 =
y
B
, Hm,
Fm,
6
10 .
26 ,
1
−
=
μ
12
10 .
85 ,
8
−
=
ε 1
= σ
ohmm, .
45 =
k
4.1.2 Persamaan Gerak
Persamaan Maxwell yang akan dijabarkan adalah persamaan Maxwell dalam ruang hampa. Perlu ditinjau keempat persamaan Maxwell, yaitu persamaan 4.1, 4.2,
4.3, dan 4.4.
Jika nilai
∇
=
r z
k y
j x
i ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ ˆ
ˆ ˆ
dan arah perambatan sinar ke arah sumbu
x
dengan komponen medan listrik
E r
ke arah sumbu z dan komponen medan magnet
B r
ke arah sumbu
, maka penjabaran untuk persamaan 4.20 ,
y
E x
r r
∇
=
z y
x
E E
E z
y x
k j
i r
r r
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
ˆ ˆ
ˆ
x
E r
, dan
masing-masing adalah medan listrik ke arah sumbu
y
E r
z
E r
x
, dan
y
z . Karena medan listrik
E r
hanya mengarah ke sumbu z saja, maka besarnya
x
E r
dan
y
E r
bernilai 0, sehingga
E x
r r
∇
=
E z
y x
k j
i r
ˆ ˆ
ˆ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
= .
ˆ ˆ
x E
j y
E i
∂ ∂
− ∂
∂ r
r 4.44
Dengan mensubstitusikan persamaan 4.44 ke persamaan 4.20 maka didapatkan
t B
∂ ∂
− v
=
x E
j y
E i
∂ ∂
− ∂
∂ r
r ˆ
ˆ 4.45
Jika diambil hanya ke arah sumbu , maka dari persamaan 4.45 diperoleh
y
t B
∂ ∂
v
=
x E
∂ ∂
r
. =
∂ ∂
− ∂
∂ x
E t
B r
v
4.46 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI