Jika diberikan sebuah medan vektor k
A j
A i
A A
z y
x
ˆ ˆ
ˆ +
+ =
r , maka perkalian titik
dari dan
∇ r
A r
menghasilkan medan skalar yang dinamakan divergensi dari A r
div A r
, dituliskan sebagai div
A r
≡
∇ r
. A
r =
z A
y A
x A
z y
x
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
. 2.82
Perkalian silang dari
∇ r
dan A r
menghasilkan medan vektor yang dinamakan curl dari A
r curl A
r , dituliskan sebagai
curl A r
≡ =
A x
r r
∇ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∂ ∂
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∂ ∂
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∂ ∂
y A
x A
k x
A z
A j
z A
y A
i
x y
z x
y z
ˆ ˆ
ˆ
. 2.83
Operator lain yang sering didapati adalah
2
∇ r
, ditulis sebagai
2 2
2 2
2 2
2
. z
y x
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= ∇
∇ =
∇ r
r r
. 2.84
Jika persamaan ini digunakan pada sebuah medan skalar φ , maka diperoleh
2 2
2 2
2 2
2
z y
x ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
∇ φ
φ φ
φ r
. 2.85
Untuk sebuah medan vektor A r
, operasi
A r
r
2
∇
adalah
. ˆ
ˆ ˆ
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
z y
x
A z
y x
k A
z y
x j
A z
y x
i A
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
= ∇
r r
2.86
Untuk perkalian silang
A x
x r
r r
∇ ∇
atau curl curl A r
nilainya akan sama dengan
+ ∇
− A
r r
2
grad div A r
, dapat dituliskan sebagai curl curl A
r =
+ ∇
− A
r r
2
grad div A r
. 2.87
2.5 Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih turunan-turunan dari fungsi yang tidak diketahui. Orde dari persamaan diferensial
adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan. Waluya, 2006
2.5.1 Persamaan Orde Satu dan Derajat Satu
Bentuk persamaan linear orde satu, Ayres, 1986 Q
Py dt
dy =
+ 2.88
dimana P dan Q adalah fungsi
t
atau konstanta.
Karena
Q e
Py dt
dy e
yPe e
dt dy
ye dt
d
Pt Pt
pt pt
Pt
= +
= +
=
maka
∫
= dt
Qe ye
Pt Pt
∫
−
= dt
Qe e
y
Pt Pt
2.89
2.5.2 Persamaan Diferensial Orde Dua
Bentuk umum persamaan diferensial linear orde dua, Q
y P
dt dy
P dt
y d
P =
+ +
2 1
2 2
2.90 dimana
dan adalah fungsi atau konstanta.
2 1
, ,
P P
P ≠
Q t
2.5.2.1 Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien-Koefisien Konstan
Dari persamaan 2.90, jika
= Q
maka disebut dengan persamaan linear homogen yaitu persamaan linear yang suku-sukunya berderajat sama dalam y
dan demikian juga turunan-turunannya. Bentuk persamaan linear homogen dengan koefisien-koefisien konstan, Ayres, 1986
2 1
2 2
= +
+ y
P dt
dy P
dt y
d P
2.91 dimana
adalah konstanta.
2 1
, ,
P P
P ≠
Untuk memudahkan penyelesaian, notasi dt
d diganti dengan operator
. Sehingga persamaan 2.91 menjadi
D
2 1
2
= +
+ y
P Dy
P y
D P
atau .
2.92
2 1
2
= +
+ y
P D
P D
P Sehingga nilai
akan sama dengan nol. Dengan mencari nilai faktorisasinya diperoleh
2 1
2
P D
P D
P +
+
2 1
= −
− y
m D
m D
2.93
2 1
, m m
adalah akar-akar karakteristik. Jika
2 1
m m
≠
maka, 2.94
t m
t m
e C
e C
y
i 2
2 1
+ =
dimana dan
adalah nilai konstanta.
1
C
2
C
2.5.2.2 Persamaan Linear dengan Koefisien-koefisien Konstan
Berdasar persamaan 2.90, dengan mengubah dt
d menjadi
, maka D
Q y
P D
P D
P =
+ +
2 1
2
Dengan memfaktorkan nilai , diperoleh
2 1
2
P D
P D
P +
+
Q m
D m
D y
1 1
2 1
− −
= 2.95
u m
D y
1
1
− =
. 2.96
Dengan Q
m D
u 1
2
− =
, dapat diubah menjadi Q
u m
dt du
= −
2
dan berdasar persamaan 2.89, maka persamaan dapat diselesaikan menjadi
∫
−
= dt
Qe e
u
t m
t m
2 2
. 2.97
Dari persamaan 2.96, u
m D
y 1
1
− =
sehingga u
y m
dt dy
= −
1
, dengan penyelesaian persamaan diferensial orde satu seperti persamaan 2.89, diperoleh
∫
−
= dt
ue e
y
t m
t m
1 1
. 2.98
Dengan substitusi persamaan 2.97 ke pesamaan 2.98, diperoleh
∫ ∫
− −
= dt
dt Qe
e e
y
t m
t m
m t
m
2 1
2 1
. 2.99
Jika diselesaikan, persamaan 2.99 menjadi ]
[
2 1
2 1
2 1
m m
Q e
C e
C y
t m
t m
+ +
= .
2.100
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Jenis Penelitian
Jenis penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini adalah penelitian studi pustaka.
3.2 Sarana Penelitian
Sarana yang dibutuhkan dalam penulisan skripsi ini adalah buku-buku yang berhubungan dengan persamaan Maxwell yang terdapat di UPT
Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.
3.3 Langkah-Langkah Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Menelusuri bahan-bahan mengenai persamaan Maxwell yang dapat
diturunkan dari hukum Gauss untuk listrik, hukum Gauss untuk magnet, hukum Ampere dan hukum induksi faraday.
2. Menelusuri bahan-bahan mengenai teori optik nonlinear yang ditinjau
secara klasik. 3.
Mempelajari persamaan diferensial orde dua. 4.
Menguraikan persamaan Maxwell sehingga mendapatkan persamaan gelombang baik dalam ruang hampa maupun dalam medium.
33 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5. Membuat grafik dari persamaan gelombang yang diperoleh baik dalam
ruang hampa maupun dalam medium menggunakan program Maple 9. 6.
Menyelesaikan persamaan gerak dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua sehingga didapatkan persamaan yang nonlinear.
7. Membuat grafik dari persamaan nonlinear yang didapat dengan
menggunakan program Maple 9. 8.
Mengamati dan membandingkan grafik-grafik yang diperoleh. 9.
Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang telah dilakukan. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
