Perumusan Persamaan Maxwell DASAR TEORI

dx dz dy P x y z • P , , z y x Gambar 2.1 a elemen volume diferensial berbentuk balok. b kerangka referensi. a b Vektor luas permukaan untuk muka belakang balok menuju ke arah sumbu x negatif sehingga dz dy i S d . . ˆ − = r . Untuk muka depan nilai dz dy i S d . . ˆ + = r . Jika vektor medan listrik di muka belakang adalah E r , maka medan listrik di muka depan yang berjarak dari muka belakang adalah dx ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dx x E E r r . Nilai dx x E x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ r menyatakan perubahan E r yang diasosiasikan dengan perubahan x dalam . Besar nilai yang melalui permukaan depan dan belakang balok adalah dx S d E r r . . . . . . . ˆ . . ˆ . . . ˆ . . x E dz dy dx x E dz dy dx i dz dy i dx x E E dz dy i E S d E x x ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r 2.2 Vektor luas permukaan untuk muka samping kiri balok menuju ke arah sumbu negatif sehingga y dz dx j S d . . ˆ − = r . Untuk muka samping kanan nilai dz dy j S d . . ˆ + = r . Jika medan listrik di muka samping kiri adalah E r , maka medan listrik di muka samping kanan yang berjarak dari muka samping kiri adalah dy PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dy y E E r r . Nilai dy y E ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ r menyatakan perubahan E r yang diasosiasikan dengan perubahan y dalam . Sehingga dy S d E r r . untuk permukaan samping kiri dan samping kanan balok adalah . . . . . . ˆ . . ˆ . . . ˆ . . y E dz dy dx y E dz dy dx j dz dx j dy y E E dz dx j E S d E y y ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r 2.3 Vektor luas permukaan untuk muka bawah balok menuju ke arah sumbu z negatif sehingga dy dx k S d . . ˆ − = r . Untuk muka atas nilai dy dx k S d . . ˆ + = r . Jika medan listrik di muka bawah adalah E r , maka medan listrik di muka atas yang berjarak dari muka bawah adalah dz ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dz z E E r r . Nilai dz z E ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ r menyatakan perubahan E r yang diasosiasikan dengan perubahan dalam dz . Sehingga untuk permukaan atas dan bawah balok adalah z S d E r r . . . . . . . ˆ . . ˆ . . . ˆ . . z E dz dy dx z E dz dy dx k dy dx k dz z E E dy dx k E S d E z z ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r 2.4 Sehingga besar nilai fluks listrik untuk seluruh permukaan balok merupakan jumlah dari persamaan 2.2, 2.3, dan 2.4, ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + = z E y E x E dz dy dx z E dz dy dx y E dz dy dx x E dz dy dx S d E S d E S d E dS E z y x z y x z y x . . . . . . . . . . . . r r r r r r r ∫ = dz dy dx . . div E r . 2.5 Besar muatan untuk elemen volume diferensial di P yang tercakup dalam permukaan tersebut adalah q ∫ = dz dy dx q . . . ρ 2.6 dimana ρ merupakan muatan per satuan volume di P. Dengan mensubstitusikan persamaan 2.5 dan 2.6 ke persamaan 2.1, maka diperoleh ε div E r = ρ atau ε ∇ r . E r = ρ . 2.7

2.1.1.2 Hukum Gauss untuk Medan Magnet

Fluks magnetik merupakan garis-garis induksi yang melalui permukaan tegak lurus seluas S. Garis-garis fluks magnetik tidak berakhir di muatan magnetik tetapi garis-garis ini membentuk loop tertutup. Hukum Gauss untuk medan magnetik adalah Halliday dan Resnick, 1984 ∫ = = Φ . S d B m r r 2.8 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI dengan fluks magnetik Weber, m Φ B r vektor rapat fluks magnetik Tesla atau Wbm² dan elemen luas m². Untuk mengubah persamaan 2.8 ke dalam bentuk diferensial, perlu ditinjau kembali sebuah elemen volume diferensial seperti ditunjukkan pada gambar 2.1. Dengan langkah yang sama seperti pada langkah untuk mendapatkan persamaan 2.7, vektor luas permukaan untuk muka belakang balok S d r dz dy i S d . . ˆ − = r . Untuk muka depan nilai . Sedangkan untuk medan magnet di muka belakang adalah dz dy k S d . . ˆ + = r B r dan medan magnet di muka depan yang berjarak dari muka belakang adalah dx ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + dx x B B r r . Sehingga nilai untuk bagian permukaan depan dan belakang S d B r r . balok adalah . . . . . . ˆ . . ˆ . . . ˆ . . x B dz dy dx x B dz dy dx i dz dy i dx x B B dz dy i B S d B x x ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r 2.9 Seperti langkah sebelumnya maka besar fluks magnetik untuk permukaan bagian samping kiri dan kanan adalah . . . . . . ˆ . . ˆ . . . ˆ . . y B dz dy dx y B dz dy dx j dz dx j dy y B B dz dx j B S d B y y ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r 2.10 Nilai fluks magnetik untuk permukaan bagian atas dan bawah balok adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI . . . . . . ˆ . . ˆ . . . ˆ . . z B dz dy dx z B dz dy dx k dy dx k dz z B B dy dx k B S d B z z ∂ ∂ = ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + + − = r r r r r r 2.11 Sehingga besar fluks magnetik untuk seluruh permukaan balok merupakan jumlah integral dari persamaan 2.9, 2.10 dan 2.11, ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + + = z B y B x B dz dy dx S d B S d B S d B S d B z y x z y x . . . . . . r r r r r r r r ∫ = dz dy dx . . div B r . 2.12 Dengan mensubstitusikan persamaan 2.12 ke persamaan 2.8, diperoleh div B r = 0 atau ∇ v . B r = 0 . 2.13

2.1.2 Hukum Ampere

Ada dua cara untuk menghasilkan sebuah medan magnet, yaitu yang pertama dengan sebuah medan listrik yang berubah-ubah, dituliskan sebagai Halliday dan Resnick, 1984 ∫ Φ = dt d l d B E . ε μ r r . 2.14 Cara ke dua dengan sebuah arus. Sebuah medan magnet dapat dihasilkan oleh arus di dalam sebuah kawat, yang dikenal sebagai hukum Ampere, dituliskan sebagai ∫ = i l d B . μ r r . 2.15 Pada umumnya kedua cara untuk mendapatkan medan magnet tersebut harus diperhitungkan, sehingga dapat dituliskan sebagai ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Φ = i dt d l d B E . ε μ r r . 2.16 Dari persamaan 2.16 dapat ditransformasikan ke dalam bentuk diferensial persamaan Maxwell. Diawali dengan menggunakan persamaan 2.16 untuk sebuah elemen permukaan diferensial yang berbentuk siku-siku di sebuah titik P dalam suatu daerah medan magnet, ditunjukkan pada Gambar 2.2a. Titik P diletakkan di z y x , , dalam kerangka referensi Gambar 2.2b. Sisi segi empat siku-siku tersebut, sejajar dengan bidang y x , , sehingga mempunyai panjang dan dy . dx P dx x y z . P a b dy Gambar 2.2 a elemen permukaan diferensial berbentuk siku-siku. b kerangka referensi. Seperti ditunjukkan pada gambar 2.2 a, dengan bergerak mengelilingi sisi yang mempunyai arah sesuai anak panah diperoleh untuk sisi belakang ˆ . . 1 dy j B l d B − = r r r sisi kiri ˆ . . 2 dx i B l d B + = r r r sisi depan ˆ . . 3 dy j dx x B B l d B + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = r r r r sisi kanan ˆ . . 4 dx i dy y B B l d B − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = r r r r sehingga untuk seluruh sisi, ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − ∂ ∂ + + + ∂ ∂ + + + + − = + + + = ˆ . ˆ . ˆ . ˆ . . . . . . 4 3 2 1 dx i dy y B B dy j dx x B B dx i B dy j B l d B l d B l d B l d B l d B r r r r r r r r r r r r r r r r ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ = dx dy i y B dy dx j x B . . ˆ . . ˆ r r ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = i y B j x B dy dx ˆ . ˆ . . r r ∫ ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = y B x B dy dx l d B x y . . r r . 2.17 Dari persamaan 2.16, i adalah arus yang dicakup semua sisi dan dt d E Φ adalah perubahan fluks listrik yang melalui permukaan tersebut. Jika diambil untuk menyatakan rapat arus dan J r dy dx k S d . . ˆ = r yang merupakan vektor luas permukaan yang mengarah ke sumbu , maka dapat dituliskan z z J dy dx dy dx k J dS J i . . . . ˆ . . = = = r r 2.18 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI dan ∫ ∫ ∂ ∂ = ∂ ∂ = Φ . . ˆ . dy dx k t E dS t E dt d E r r atau ∫ ∂ ∂ = Φ dy dx t E dt d z E . . 2.19 Dengan mensubstitusikan persamaan 2.17, 2.18 dan 2.19 ke persamaan 2.16, didapatkan ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ t E J y B x B z z x y ε μ 2.20 Sama seperti langkah di atas, untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang z y , memberikan nilai ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ t E J z B y B x x y z ε μ . 2.21 Untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang x z , memberikan nilai ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ t E J x B z B y y z x ε μ . 2.22 Jika persamaan 2.20 dikalikan dengan vektor komponen , 2.21 dengan , dan 2.22 dengan , kemudian dijumlahkan, maka didapatkan kˆ iˆ jˆ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ t E J k t E J j t E J i y B x B k x B z B j z B y B i x x x x x x x y z x y z . ˆ . ˆ . ˆ ˆ ˆ ˆ ε μ ε μ ε μ curl B r = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + + + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t E k t E j t E i J k J j J i x x x x x x ε μ curl B r = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + t E J r r ε μ atau ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ∇ t E J B x r r r r ε μ . 2.23

2.1.3 Hukum Induksi Faraday

Hukum induksi faraday menyatakan bahwa tegangan gerak elektrik imbas ggl ε di dalam sebuah rangkaian adalah sama dengan negatif kecepatan perubahan fluks yang melalui rangkaian tersebut dan fluks adalah garis-garis gaya. Dapat dituliskan sebagai Halliday dan Resnick, 1984 dt d B ggl Φ − = ε . 2.24 Jika ditinjau muatan uji yang bergerak mengitari rangkaian, maka kerja yang dilakukan pada muatan uji tiap putaran q l E q l F r r r r . . . = . Dimana adalah gaya yang bekerja pada muatan tersebut dan E q r l r adalah jarak sepanjang gaya bekerja. Besar kerja l F r r . nilainya sama dengan ggl q ε , sehingga dapat dituliskan sebagai ∫ = dl E ggl . r ε 2.25 Kemudian persamaan 2.25 disubstitusikan ke persamaan 2.24, sehingga hukum induksi Faraday dapat dituliskan sebagai dt d l d E B Φ − = ∫ r r . . 2.26 Dengan langkah sama seperti langkah untuk mendapatkan persamaan 2.23, dan berdasarkan Gambar 2.2 yang merupakan segi empat yang sejajar dengan bidang y x , , didapatkan Untuk sisi belakang ˆ . . 1 dy j E l d E − = r r r sisi kiri ˆ . . 2 dx i E l d E + = r r r sisi depan ˆ . . 3 dy j dx x E E l d E + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = r r r r sisi kanan ˆ . . 4 dx i dy y E E l d E − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = r r r r sehingga untuk seluruh sisi, ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − ∂ ∂ + + + ∂ ∂ + + + + − = + + + = ˆ . ˆ . ˆ . ˆ . . . . . . 4 3 2 1 dx i dy y E E dy j dx x E E dx i E dy j E l d E l d E l d E l d E l d E r r r r r r r r r r r r r r r r ∫ ∫ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = y E x E dy dx l d E x y . . r r . 2.27 Dari persamaan 2.26, dt d B Φ adalah perubahan fluks magnet yang melalui permukaan tersebut dan dy dx k S d . . ˆ = r digunakan untuk menyatakan vektor luas permukaan yang sejajar dengan bidang y x , dan mempunyai arah ke sumbu z , maka dapat dituliskan ∫ ∫ ∂ ∂ = ∂ ∂ = Φ . . ˆ . . dy dx k t B S d t B dt d B r r r ∫ ∂ ∂ = Φ dy dx t B dt d z B . . 2.28 Persamaan 2.27 dan 2.28 disubstitusikan ke persamaan 2.26, didapatkan t B y E x E z x y ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ . 2.29 Dengan melihat persamaan 2.29 yang berlaku untuk segi empat siku-siku yang sejajar bidang y x , , maka dapat diperoleh juga persamaan yang berlaku untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang z y , , t B z E y E x y z ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ 2.30 dan untuk segi empat siku-siku yang sejajar dengan bidang x z , , t B x E z E y z x ∂ ∂ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ . 2.31 Persamaan 2.29 bersesuaian dengan komponen z , sehingga dikalikan dengan komponen vektor k . Persamaan 2.30 dikalikan dengan komponen vektor dan 2.31 dikalikan dengan komponen vektor . Kemudian ketiga persamaan ini ditambahkan sehingga didapatkan, ˆ iˆ jˆ t B k t B j t B i y E x E k x E z E j z E y E i z y x x y z x y z ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ curl E r = t B ∂ ∂ − r atau t B E x ∂ ∂ − = ∇ r r r . 2.32

2.2 Persamaan Maxwell

Persamaan Maxwell dalam medium dapat dirumuskan berdasarkan persamaan 2.7, 2.13, 2.23 dan 2.32 yang bila dirangkum kembali menjadi Efendi, R, 2007 1 ε ∇ . r E r = ρ 2.33 2 ∇ v . B r = 2.34 3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ∇ t E J B x r r r r ε μ 2.35 4 t B E x ∂ ∂ − = ∇ r r r . 2.36 Dalam ruang hampa, rapat muatan ρ dan rapat arus bernilai nol, sehingga persamaan Maxwell yang berlaku dalam ruang hampa adalah J r 1 ∇ . r E r = 0 2.37 2 ∇ v . B r = 2.38 3 t E B x ∂ ∂ = ∇ r r r ε μ 2.39 4 t B E x ∂ ∂ − = ∇ r r r . 2.40

2.3 Teori Klasik Optik Nonlinear

Optik nonlinear adalah sebuah cabang optik yang mendeskripsikan tingkah laku cahaya dalam medium nonlinear. Medium nonlinear merupakan medium dimana vektor polarisasi P r memberikan respon nonlinear terhadap medan listrik gelombang elektromagnetik E r .

2.3.1 Susceptibilitas Nonlinear

Sebelum tahun 1960, persamaan dasar polarisasi diformulasikan dalam bentuk persamaan linear. Dalam hal ini vektor polarisasi listrik P r diasumsikan mempunyai hubungan yang linear terhadap kuat medan listrik gelombang elektromagnetik E r , ditulisakan seperti persamaan 1.1 He and Liu, 1999 E P r r χ ε = Dengan ε permitivitas ruang hampa, dan χ susceptibilitas medium. Hubungan linear antara P r dan E r pada persamaan 1.1 dianggap benar sampai tahun 1960, ini telah disetujui secara luas dan telah dibuktikan dengan observasi eksperimen. Tetapi mulai tahun 1960, diketahui bahwa asumsi hubungan linear antara P r dan E r tidak sesuai untuk sinar laser yang berinteraksi dengan sebuah medium optik. Ketika pulsa berkas laser dilewatkan pada piezoelektrik kristal, teramati adanya generasi harmonik kedua pada sebuah frekuensi optik, sehingga dari hasil tersebut hubungan antara P r dan E r dituliskan seperti pada persamaan 1.2 .....] [ 3 2 1 + + + = E E E E E E P r r r r r r r χ χ χ ε dengan , , , ... susceptibilitas orde-1 linear, orde-2 nonlinear, orde-3 nonlinear dan seterusnya. 1 χ 2 χ 3 χ Pada abad terakhir, teori gelombang ganda dapat dikembangkan dengan teori klasik murni dan optik dijelaskan sama seperti optik linear. Hukum klasik optik lebih banyak mempelajari intensitas cahaya dan susceptibilitas nonlinear. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI