216
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Tentukan turunan fungsi Fx = 2x
3
– x
2
+ 1
5
.
Penyelesaian:
F x = 2x
3
– x
2
+ 1
5
Misalkan y = u
5
, u = v + 1, dan v = 2x
3
– x
2
. Dengan demikian,
dy du
= 5u
4
,
du dv
= 1, dan
dv dx
= 6x
2
– 2x = 2x3x – 1
dy dx
=
dy du
du dv
dv dx
× ×
= 5u
4
×
1
×
2x3x – 1 = 52x
3
– x
2
+ 1
4
2x 3x – 1
= 10x3x – 12x
3
– x
2
+ 1
4
Contoh:
Uji Kompetensi 5
Kerjakan di buku tugas
Dengan aturan rantai, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini. 1.
F x = 3x – 2x
2
– x
3 6
7. F
x =
3 2
1
2 3
x x
+ +
2. F
x = 12 + 3x – x
2 4
8. F
x =
5 2
3 1
4 2
x x
+
3. F
x = 4x
1
3
9. F
x = x + 1
2
x – 3
2
4. F
x =
2 3
1
2
+ x
x
10. Fx = x
x +
3 1
2 2
5. F
x = 3x
2
+ x
x 2
11. Fx = x
x x
2 2
3
3 1
+ 6.
F x = x
5
– 7x + 1
5
– 1
2
12. Fx =
6 1
3 2
2 3
2
x x
x +
+
D. Persamaan Garis Singgung Suatu Kurva
1. Gradien Garis Singgung Kurva y = fx di x = a
Gambar 5.4 adalah grafik fungsi dengan persamaan y =
f x, titik P adalah suatu titik tetap pada grafik itu, sedangkan
titik Q adalah titik di dekat P yang dapat dipindah-pindahkan bergerak sepanjang grafik y = fx.
Jika koordinat titik Pa, fa dan titik Qa + h, fa + h, gradien kemiringan garis yang menghubungkan titik P dan Q
adalah m =
f a h
f a h
+
.
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
217
Turunan
y = fx
a+h X
a f
a + h
f a
O P
Y
Q
R g
h
Gambar 5.4
Jika Q mendekati P dalam hal ini h mendekati 0, maka garis g menjadi garis
singgung kurva y = fx di titik P. Garis singgung di titik P ini
merupakan garis singgung kurva y = fx di titik dengan absis x = a. Oleh karena
itu, gradien garis singgung kurva y = fx di titik ini adalah turunan dari fungsi
y
= fx di x = a, yaitu f
a =
lim
h
f a h
f a h
A
+
. Dengan demikian, gradien garis singgung pada kurva y = fx di
titik Pa, fa adalah m
= f a = lim
h
f a + h f a
h
A
Dengan notasi Leibniz, nilai gradien kurva y = fx di x = a seperti di atas dapat ditulis
m =
df dx
x a
£ ¤
¥ ¦
=
dibaca ”m sama dengan turunan fungsi f ke x untuk x = a”.
2. Persamaan Garis Singgung pada Kurva
Jika titik Px
1
, y
1
terletak pada kurva y = fx, persamaan garis singgung kurva yang melalui titik Px
1
, y
1
adalah y
– y
1
= mx – x
1
dengan m adalah gradien garis singgung kurva y = fx di x = x
1
. Nilai m dapat ditentukan menggunakan rumus turunan fungsi, yaitu
m = f x
1
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Persamaan garis yang
menyinggung kurva y = 2x
3
– 4x + 3 di titik yang berbasis –1 ada-
lah .... a. y = 2x + 3
b. y = 2x + 7 c. y = –2x + 3
d. y = –2x – 1 e. y = –2x – 2
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 1998
Contoh:
Tentukan gradien dan persamaan garis singgung kurva y = 2x
2
– 3 di titik 1, –1.
Penyelesaian:
Karena y = 2x
2
– 3 maka
dy dx
= 4x. Gradien garis singgung di titik 1, –1 adalah m =
dy dx
x
£ ¤
¥ ¦
= 1
= 41 = 4. Jadi, persamaan garis singgung pada parabola y = 2x
2
– 3 di titik 1, –1 adalah y
+ 1 = 4x – 1
y = 4x – 5.
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
218
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Garis singgung kurva y = x
2
+ 8x + 1 di titik P sejajar dengan garis 4x + 2y + 1 = 0. Tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung kurva yang melalui titik P.
Penyelesaian:
Misalkan koordinat titik P adalah a, b. Persamaan kurvanya y = x
2
+ 8x + 1, berarti
dy dx
= 2x + 8. Gradien garis singgung kurva y = x
2
+ 8x + 1 di titik a, b adalah m
1
, dengan m
1
= dy
dx
x a
£ ¤
¥ ¦
=
= 2a + 8. Misalkan gradien garis 4x + 2y + 1 = 0 adalah m
2
. 4x + 2y + 1 = 0
2y = –4x – 1
y
= –2x –
1 2
Jadi, diperoleh m
2
= –2. Syarat agar dua buah garis sejajar adalah m
1
= m
2
. Dengan demikian,
m
1
= –2
2a + 8 = –2
2a = –10
a = –5 Karena titik Pa, b terletak pada kurva y = x
2
+ 8x + 1 maka y
= a
2
+ 8a + 1
y = –5
2
+ 8–5+1
y = –14 Jadi, koordinat titik P adalah –5, –14.
Persamaan garis singgung kurva y = x
2
+ 8x + 1 di titik P–5, –14 adalah y
+ 14 = –2x + 5
y = –2x – 24.
Problem Solving
Soal Terbuka
Kerjakan di buku tugas
1. Garis singgung kurva y = x
2
– 4x + 4 di titik Q tegak lurus dengan garis 2x – y + 2 = 0. Tentukan koordinat titik Q dan
persamaan garis singgung kurva yang melalui titik Q. 2.
Tentukan persamaan garis singgung kurva x
3
– 9x
2
+ 8y – 4 = 0 yang tegak lurus dengan garis 3x – y + 5 = 0.
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
219
Turunan
1. Tentukan koordinat titik A pada kurva y = x
2
+ 2x + 2 yang gradien garis singgungnya di titik tersebut adalah 2.
2. Tentukan koordinat titik-titik pada kurva y = x
3
– 4x
2
yang gradien garis singgung di titik tersebut adalah –5.
3. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x
2
– 4x di titik 1, –3. 4.
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x
3
– x
2
– 2x + 4 di titik 0, 4. 5.
Garis singgung kurva y = x
2
– 4x + 4 di titik P sejajar dengan garis 2x – y + 2 = 0. Tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung kurva yang melalui titik P.
6. Diketahui kurva y = x
4
. Tentukan persamaan garis singgung kurva yang sejajar dengan garis x – 2y + 5 = 0.
7. Diketahui kurva 3y = x
3
– 3x
2
+ 6x + 4. Tentukan persamaan garis singgung kurva yang tegak lurus dengan garis 2x – y + 3 = 0.
8. Diketahui kurva y = x
4
– 4x
3
+ 2x
2
+ 8. Tentukan persamaan garis singgung kurva yang tegak lurus dengan garis 4x + y – 7 = 0.
E. Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner