213
Turunan
=
6 + 4 6
3 + 2
x x
x 3
2
= 1
3
2
x + 2
b. f
x = x + x
x +
2 2
2 3
5 Misalkan ux = x
2
+ 2x – 3 dan vx = x
2
+ 5. Akibatnya, ux = 2x + 2 dan vx = 2x. Oleh karena itu,
f x =
v v
u x v x u x v x
v x
2
= 2
2 5
2 3 2
5
2 2
2 2
x + x +
x + x x
x + =
2 2
10 10
2 4
6 5
3 2
3 2
2 2
x + x + x +
x x + x
x + =
2 16
10 5
2 2
2
x + x +
x +
Uji Kompetensi 4
Kerjakan di buku tugas
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. 1.
f x = 3x
2
+ 2x4x
3
+ 5x
2
6. f
x = 5 3
4 7
x x +
2. f
x = 6x
4
3x
3
+ 2x
2
7. f
x =
4 3
4 2
5
2 2
x x
x x
+ +
+
3. f
x = 8
2 1
x
– 4
2 3
x
3
2 3
x
– x
8. f
x =
2 1
1
2 2
x x
x +
+
4. f
x = 8 – 2x4x
2
– 6x + 1 9.
f x =
8 3 1
4 1
2 4
x x
x +
+
5. f
x = 5x
4
+ 2x6x
3
+ 2x
2
+ x – 1 10. fx =
2 5
3 5
1
4 2
2
x x
x x
x +
+ +
C. Menentukan Turunan Fungsi Komposisi dengan Aturan Rantai Pengayaan
Aturan rantai adalah suatu metode atau cara untuk menentukan
turunan fungsi komposisi atau fungsi majemuk. Untuk itu, kita mulai pembahasan ini dengan mengingat kembali pengertian fungsi kom-
posisi.
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
214
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
f g
a b
c
F = gfa
A B
C
Gambar 5.2
f g
g x = y
F
F f
g
g x + h = y + k
f y = fgx
f y + k = fgx + h
x + h x
Gambar 5.3
Pada bab sebelumnya, kalian telah mem- pelajari tentang fungsi komposisi. Jika diketahui
fungsi f: A A
B dan g: B
A C
seperti pada gambar di samping, fungsi F: A
A C
disebut fungsi komposisi
dari f dan g dengan rumus F
a = g º fa = gfa Notasi ”g º f” dibaca g bundaran f, yaitu
komposisi fungsi yang mengerjakan fungsi f lebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g.
Seperti yang telah disinggung sebelum- nya, aturan rantai dapat digunakan untuk
menentukan turunan fungsi-fungsi komposisi. Misalkan terdapat fungsi komposisi
F x = fgx seperti pada diagram di samping.
Dengan mengingat definisi turunan suatu fungsi, dapat ditentukan
F x =
lim
h
F x h
F x h
A
+ =
lim
h
f y k
f y h
A
+ =
lim
h
f y k
f y k
k h
A
+ ×
g º
f
Karena gx + h = y + k maka k = gx + h – y
k = gx + h – gx sehingga diperoleh
F x =
lim
h
f y k
f y k
g x h
g x h
A
+ ×
+ =
lim
h h
f y k
f y k
g x h
g x h
A A
+ ×
+ lim
= f y
×
gx = f gx
×
gx Jadi, berdasarkan uraian di atas, dapat kita peroleh kesimpulan sebagai
berikut. Jika Fx = fgx maka F x = f gx gx.
Dalam notasi Leibniz, jika y = fu dan u = gx maka dy
dx dy
du du
dx =
× Rumus penurunan fungsi komposisi seperti inilah yang disebut aturan
rantai .
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Turunan fungsi f x =
2 3
2 3
4
x adalah ....
a. x
x 2
3
2
4
b. 3
2 3
2
4
x x
c. 16
3 2
3
2
4
x x
d.
3x 2
3
2
4
x e.
3 2
3
2
4
x x
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 2001
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
215
Turunan
Tentukan turunan fungsi fx = 23x + 1
2
.
Penyelesaian:
Cara 1 :
f x = 23x + 1
2
= 29x
2
+ 6x + 1 = 18x
2
+ 12x + 2 Oleh karena itu, f x = 36x + 12.
Cara 2: Misalkan y = fx = 2u
2
, dengan u = 3x + 1. Berarti,
dy du
= 4u dan
du dx
= 3. Dengan aturan rantai, diperoleh
f x =
dy dx
dy du
du dx
= ×
= 4u
×
3 = 43x + 1
×
3 = 123x + 1 = 36x + 12.
Contoh:
Problem Solving
Tentukan turunan fungsi Fx = 3x
2
– 2x
5
.
Penyelesaian:
Misalkan y = Fx = 3u
5
, dengan u = x
2
– 2x. Dengan demikian,
dy du
= 15u
4
dan du
dx = 2x – 2.
Dengan aturan rantai, diperoleh dy
dx =
dy du
du dx
× = 15u
4
×
2x – 2 = 15x
2
– 2x
4
2x – 2 = 30x – 1x
2
– 2x
4
Rumus penurunan fungsi dengan aturan rantai dapat dikembangkan untuk komposisi lebih dari dua fungsi. Misalkan untuk tiga fungsi f, g,
dan h. Jika Fx = fghx maka F x = fghx
×
ghx
×
hx. Dalam notasi Leibniz, jika y = fu, u = gv, dan v = hx maka
dy dx
dy du
du dv
dv dx
= ×
×
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
216
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Tentukan turunan fungsi Fx = 2x
3
– x
2
+ 1
5
.
Penyelesaian:
F x = 2x
3
– x
2
+ 1
5
Misalkan y = u
5
, u = v + 1, dan v = 2x
3
– x
2
. Dengan demikian,
dy du
= 5u
4
,
du dv
= 1, dan
dv dx
= 6x
2
– 2x = 2x3x – 1
dy dx
=
dy du
du dv
dv dx
× ×
= 5u
4
×
1
×
2x3x – 1 = 52x
3
– x
2
+ 1
4
2x 3x – 1
= 10x3x – 12x
3
– x
2
+ 1
4
Contoh:
Uji Kompetensi 5
Kerjakan di buku tugas
Dengan aturan rantai, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini. 1.
F x = 3x – 2x
2
– x
3 6
7. F
x =
3 2
1
2 3
x x
+ +
2. F
x = 12 + 3x – x
2 4
8. F
x =
5 2
3 1
4 2
x x
+
3. F
x = 4x
1
3
9. F
x = x + 1
2
x – 3
2
4. F
x =
2 3
1
2
+ x
x
10. Fx = x
x +
3 1
2 2
5. F
x = 3x
2
+ x
x 2
11. Fx = x
x x
2 2
3
3 1
+ 6.
F x = x
5
– 7x + 1
5
– 1
2
12. Fx =
6 1
3 2
2 3
2
x x
x +
+
D. Persamaan Garis Singgung Suatu Kurva
