201
Turunan
Pokok bahasan ini pada dasarnya merupakan kelanjutan dari pembahasan limit. Hal ini disebabkan konsep-konsep dasar yang
pernah dipelajari pada limit banyak digunakan di sini. Pada bab ini, kita hanya akan mempelajari turunan fungsi aljabar.
Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang turunan, coba kalian jawab soal berikut.
Tentukan lim
h
f x h
f x h
A
+ jika diketahui
a. f
x = 1; b.
f x = 2x;
c. f
x = x
2
– 3x. d.
f x = 1 + 1 + x
2
Setelah kalian dapat menjawab soal-soal di atas, mari lanjutkan ke materi berikut.
A. Turunan Fungsi Aljabar
1. Pengertian Turunan
Tentu kalian tahu bahwa biaya marjinal adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit
tambahan produk. Pengertian biaya marjinal telah kalian pelajari di mata pelajaran Ekonomi. Jika fungsi biaya adalah C = fQ; C
adalah biaya total dan Q unit produk maka biaya marjinalnya
dilambangkan M
C
sebesar
6 6
C Q
. Secara matematis dapat dituliskan dengan M
C
=
6 6
C Q
. Misalkan diberikan fungsi biaya total C = fQ. Besar
perubahan biaya total per unit dari jumlah produk sebesar Q menjadi Q + h adalah fQ + h – fQ.
Dengan demikian, M
C
=
6 6
C Q
=
f Q h
f Q Q
h Q
+ +
= f Q
h f Q
h +
Untuk h kecil maka M
C
dapat ditentukan sebagai berikut. M
C
= lim
h
f Q h
f Q h
A
+
Uji Prasyarat
Kerjakan di buku tugas
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
202
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Contoh:
Sumber: www.cygo.com
G.W. Leibniz 1646–1716
Bentuk limit
lim
h
f Q h
f Q h
A
+
dapat ditulis sebagai f Q. Jadi, f Q =
lim
h
f Q h
f Q h
A
+
. f
adalah simbol untuk turunan fungsi f. Sesuai dengan konsep di atas, dapat didefinisikan turunan
fungsi sebagai berikut. Diberikan fungsi y = fx, turunan fungsi f adalah fungsi f
yang nilainya di titik c adalah f c =
lim
h
f c h
f c h
A
+
jika nilai limit ini ada. Jika nilai limit tersebut ada maka dikatakan bahwa f dife-
rensiabel dapat diturunkan di titik c. Selanjutnya, untuk menentukan f x kita pandang x sebagai suatu bilangan
sembarang sehingga diperoleh turunan dari fungsi y = fx adalah
f x =
lim
h
f x h
f x h
A
+
jika nilai limit ini ada. Selain notasi f x di atas, turunan fungsi fx dapat ditulis
dengan notasi
df dx
dibaca df dx atau dy
dx dibaca dy dx yang
arti harfiahnya adalah turunannya y ke x. Notasi ini disebut notasi Leibniz
karena dikemukakan pertama kali oleh seorang matematikawan Jerman bernama Gottfried Wilhelm Leibniz
1646–1716.
1. Tentukan turunan fungsi fx = 2x
2
+ x – 1.
Penyelesaian:
f x =
lim
h
f x h
f x h
A
+
= lim
h
x + h + x +h
x + x h
A 2
2
2 1
2 1
Gambar 5.1
Eksplorasi
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Misalkan x = c + h, selidiki bahwa f c = lim
h
f c h
f c h
A
+
f c = lim
x c
f x f c
x c
A
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
203
Turunan
Kegiatan
Kerjakan di buku tugas
= lim
A h
2 2
1 2
1
2 2
2
x + xh+h +x+h x x+
h =
lim
A h
4 2
2
xh + h + h h
= lim
A h
h x + h +
h 4
2 1
= lim
A h
4x + 2h + 1 =
4x + 1 2.
Tentukan turunan fungsi fx = x
2
+ 2x + 3 di x = 4.
Penyelesaian:
f x =
lim
h
f x h
f x h
A
+
= lim
h
x h
x h
x x
h
A
+ +
+ +
+ +
2 2
2 3
2 3
=
lim
h
x hx
h x
h x
x h
A
+ +
+ +
+ +
+
2 2
2
2 2
2 3
2 3
=
lim
h
hx h
h h
A
+ +
2
2 2
= lim
h
h x
h h
A
+ + 2
2 =
lim
A h
2x + h + 2 =
2x + 2 Jadi, f 4 = 24 + 2 = 6.
Tujuan: Menyelidiki eksistensi keberadaan nilai turunan suatu fungsi
di suatu titik.
Permasalahan: Bagaimana eksistensi keberadaan nilai turunan suatu fungsi
di suatu titik?
Langkah-Langkah:
1. Gambarlah grafik fungsi
f x x
x x
x ,
, =
+ ¨
© ª
2 1
2 3
2
. 2.
Tentukan nilai turunan fungsi tersebut di titik x = 2 dengan menggunakan rumus
f c f x
f c x
c
x c
=
A
lim
untuk c = 2.
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
204
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Uji Kompetensi 1
Kerjakan di buku tugas
1. Dengan menggunakan rumus f x =
lim
h
f x h
f x h
A
+ , tentukan turunan fungsi
berikut. a.
f x = 6x + 5
d. f
x = –x
2
– 3 b.
f x = 4x + 8
e. f
x = 8x
2
+ 3x + 1 c.
f x = 5x – 9
f. f
x = 8x
2
– 3x – 2 2.
Tentukan turunan fungsi berikut di x = a. a.
f x = 4x – 5 untuk a = 4
d. f
x = 5x
2
+ 6x – 9 untuk a = 2,5 b.
f x = 3x
2
– 2x + 8 untuk a = 2 e.
f x = x
3
+ 5 untuk a = 6 c.
f x = –4x
2
+ 6 untuk a = 3,25 f.
f x = 2x
3
+ 2x
2
+ x – 5 untuk a = 1 3.
Dengan menggunakan rumus f c
f x f c
x c
x c
=
A
lim , tentukan turunan fungsi-
fungsi di titik yang diberikan. Bandingkan hasilnya dengan menggunakan rumus f
c = lim
h
f c h
f c h
A
+ .
a. f
x = 2 – 2x di x = 2 d.
f x = 3 – 2x
2
di x = –1 b.
f x =
1 2
x – 1 di x = 3
e. f
x = x
2
– 2x + 1 di x = –1 c.
f x = 2x
2
di x = 0,2 Terlebih dahulu hitunglah
lim
x
f x f
x
A 2
2 2
dan
lim
x
f x f
x
A
+
2
2 2
.
Kesimpulan:
a.
lim
x
f x f
x
A 2
2 2
= 2 b.
lim
x
f x f
x
A
+
2
2 2
= 1 c.
f c f x
f c x
c
x c
=
A
lim
untuk c = 2 atau f ’2 =
lim
x
f x f
x
A 2
2 2
tidak ada sebab
lim
x
f x f
x
A 2
2 2
lim
x
f x f
x
A
+
2
2 2
. Jadi, fungsi di atas tidak mempunyai turunan di titik x = 2.
Sehubungan dengan hasil ini perhatikan grafik fungsi di titik tersebut yang telah kalian gambar.
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
205
Turunan
4. Tentukan biaya marjinal jika diketahui rumus fungsi biaya total C dalam Q unit
berikut. a.
C = 2Q + 5
d. C
= Q
2
– 2Q + 1 b.
C = 6Q – 3
e. C
= 2Q
2
+ 3Q + 5 c.
C = –8Q + 6
f. C
= Q
3
+ 4Q
2
– 2Q + 6
2. Rumus Turunan Fungsi fx = ax
