223
Turunan
b. Untuk menentukan jenis titik stasioner, dibuat garis
bilangan seperti Gambar 5.13. Dari Gambar 5.13, dapat kita simpulkan bahwa titik
1, 5 merupakan titik balik maksimum sebab f x berubah tanda dari positif ke nol, kemudian ke negatif,
sedangkan titik 2, 4 merupakan titik balik minimum sebab f x berubah tanda dari negatif ke nol, kemudian
ke positif.
c. Nilai maksimum fungsi adalah f1 = 5 dan nilai mini-
mum fungsi adalah f2 = 4.
O 1
2 X
1 4
Y
5 1, 5
2, 4 f
x = 2x
3
– 9x
2
+ 12x
Gambar 5.14
4. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi dalam Interval Tertutup
Pada pembahasan sebelumnya kita sudah mempelajari baik cara menentukan nilai maksimum maupun nilai minimum suatu
fungsi fx. Sekarang, jika fungsi fx terletak dalam interval tertutup, bagaimana cara menentukan nilai maksimum atau nilai
minimumnya? Untuk dapat menjawab permasalahan tersebut, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi fx = x
3
dalam interval –2 x
2.
Penyelesaian:
Grafik fungsi fx = x
3
adalah seperti di samping. Dengan memperhatikan grafik fungsi di samping, tampak
bahwa pada interval –2 x
2 nilai maksimum fungsi di atas adalah 8, yaitu untuk x = 2, sedangkan nilai minimumnya
adalah –8, yaitu untuk x = –2. Perhatikan pula bahwa nilai maksimum dalam interval
tersebut, yaitu f2 merupakan nilai fungsi pada ujung kanan interval, sedangkan nilai minimumnya, yaitu f–2,
merupakan nilai fungsi pada ujung kiri interval.
Y
X 1
O f
x = x3 8
1 2 -1
-8 -1
-2
Gambar 5.15
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
224
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Dengan memerhatikan contoh tersebut, dapat kita ketahui bahwa nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi pada
interval tertutup merupakan nilai fungsi pada ujung-ujung inter- val. Jadi, nilai maksimum atau minimum fungsi dalam interval
tertutup tidak selalu merupakan nilai balik maksimum atau nilai minimumnya. Hal ini dapat kita rangkum sebagai berikut.
Nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval tertutup dapat diperoleh dari dua kemungkinan, yaitu
a. nilai-nilai stasioner fungsi nilai balik maksimum atau nilai
balik minimum; b.
nilai-nilai fungsi pada ujung interval.
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi fx = x
4
+ 4x
3
– 2x
2
– 12x + 4 pada interval –2
x 0.
Penyelesaian:
Diketahui fx = x
4
+ 4x
3
– 2x
2
– 12x + 4. Nilai-nilai fungsi pada ujung interval adalah sebagai berikut.
• f
–2 = –2
4
+ 4–2
3
– 2–2
2
– 12–2 + 4 = 16 – 32 – 8 + 24 + 4 = 4
• f
= 0
4
+ 40
3
– 20
2
– 120 + 4 = 4 Selanjutnya, turunan fungsi f adalah f x = 4x
3
+ 12x
2
– 4x – 12 = 4x
3
+ 3x
2
– x – 3. Titik stasioner terjadi jika f x = 0 sehingga
4x
3
+ 3x
2
– x – 3 = 0
x
3
+ 3x
2
– x – 3 = 0
x – 1x + 1x + 3 = 0
x = 1 atau x = –1 atau x = –3. Untuk x = 1 maka f1 = 1
4
+ 41
3
– 21
2
– 121 + 4 = –5, untuk x = –1 maka f–1 = –1
4
+ 4–1
3
– 2–1
2
– 12–1 + 4 = 11, dan untuk x = –3 maka f–3 = –3
4
+ 4–3
3
– 2–3
2
– 12–3 + 4 = –5. Oleh karena itu, titik stasionernya adalah titik 1, –5, –1, 11, dan –3, –5.
Untuk menyelidiki jenis stasioner titik-titik tersebut, dibuat garis bilangan untuk f
x = 4x – 1x + 1x + 3.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Titik belok dari fungsi y
= x
3
+ 6x
2
+ 9x + 7 adalah ....
a. –2, 3 b. –2, 7
c. –2, 5 d. 2, 10
e. 2, 5
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 1997
Contoh:
Gambar 5.16
--- +++
-3 f
x -1
+++ 1
---
Dari garis bilangan tersebut, tampak bahwa –3, –5 adalah titik balik minimum, –1, 11 merupakan titik balik maksimum, dan 1, –5 merupakan titik balik minimum. Sketsa
grafiknya tampak seperti pada Gambar 5.17.
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
225
Turunan
X O
-1, 11 Y
0, 4 -2, 4
-3, -5 1, -5
Gambar 5.17
1. Tentukan interval yang menunjukkan fungsi berikut naik dan interval yang menunjuk-
kan fungsi berikut turun. a.
f x = x
2
– 5x + 6 d.
f x =
1 4
x
4
+ 1 b.
f x = x
3
+ 9
2 x
2
– 13
2 e.
f x = x
4
+ 4x c.
f x =
1 3
x
3
– x
2
– 3x + 4 f.
f x = 2x –
1 x
2. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut selalu naik untuk setiap x bilangan real.
a. f
x = 3x
3
+ 4x – 7 b.
f x = x
3
+ 2x – 5 c.
f x = x
5
+ 3x
3
+ x – 12 d.
f x =
1 5
x
5
+ x
3
+ x – 12 3.
Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut selalu turun untuk setiap x bilangan real. a.
f x = –
1 3
x
3
– 8x + 6 c.
f x = –x
5
– 3x
3
– 15x + 7 b.
f x = –x
3
– 12x + 1 d.
f x = –
3 5
x
5
–
1 2
x
3
– x + 36 Dengan memerhatikan sketsa tersebut, nilai minimum
fungsi fx = x
4
+ 4x
3
– 2x
2
–12x + 4 pada interval –2
x 0 adalah 4, yaitu untuk x = –2 dan x = 0,
sedangkan nilai maksimumnya adalah 11, yaitu untuk x
= –1.
Uji Kompetensi 7
Kerjakan di buku tugas
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
226
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
4. Tentukan titik stasioner, jenis titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum
dari fungsi-fungsi berikut. a.
f x = x
2
– 8x + 7 f.
f x = x
3
– 3x
2
+ 4 b.
f x = –x
2
+ 4x – 3 g.
f x = x
3
– 9x
2
+ 24x – 1 c.
f x = x
2
– 2x + 3 h.
f x = x
3
– 9x
2
+ 15x + 2 d.
f x = x
3
– 3x – 1 i.
f x = x
4
– 2x
2
+ 2 e.
f x = x
3
– 3x
2
– 9x j.
f x = 3x
4
– 4x
3
5. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi-fungsi berikut dalam
interval tertutup I. a.
f x = x – 3
2
, I = [0, 5] b.
f x = x
2
– 2x – 1, I = [–1, 2] c.
f x = x
2
+ x – 12, I = [–2, 4] d.
f x = –x
3
, I = [–1, 1] e.
f x = x – 3
3
+ 4, I = [1, 4] f.
f x = x
3
– 3x
2
+ 1, I = [–1, 3] g.
f x = x
3
– 12x, I = [–3, 4] h.
f x = 2x
3
– 3x
2
– 12x + 8], I = [–3, 4] i.
f x = x + 1
4
, I = [–2, 1] j.
f x = x
4
, I = [–2, 5] 6.
Penerimaan penjualan barang elekronik sebanyak x unit dinyatakan dengan P
x = 60x – 0,025x
2
, untuk 0 x
2.400. Px dalam puluh ribuan. Untuk x unit berapakah penerimaan penjualan akan menurun? Berapakah penerimaan maksimum
yang dicapai?
F. Turunan Kedua Suatu Fungsi
1. Pengertian Turunan Kedua
Misalkan terdapat fungsi fx yang diferensiabel dengan fungsi turunannya f x. Dalam hal ini, f x dinamakan turunan
pertama dari fx. Selanjutnya, jika f x didiferensialkan, akan
diperoleh fungsi baru yang disebut turunan kedua dari fx. Jika turunan pertama fungsi fx dapat dinyatakan dengan salah satu
notasi f x, y, df x
dx , atau
dy dx
, dengan cara yang sama turunan kedua fx dapat dituliskan dengan salah satu notasi f x, y,
d f x dx
2 2
, atau
d y dx
2 2
. Notasi
d f dx
2 2
berasal dari
d dx
df x dx
£ ¤
¥ ¦
, sedangkan notasi
d y dx
2 2
berasal dari
d dx
dy dx
£ ¤
¥ ¦
.
Di unduh dari : Bukupaket.com Sumber buku : bse.kemdikbud.go.id
