Langkah-langkah tersebut kemudian diulangi sampai waktu ke- untuk memperoleh penduga
.
B. Persamaan Filter Kalman Satu Langkah
Persamaan filter Kalman priori dan posteriori dapat digabungkan dalam satu persamaan. Persamaan penduga keadaan priori dengan indeks dinaikkan
menjadi
Sedangkan persamaan posteriori untuk adalah
Dengan substiusi ke persamaan sebelumnya, diperoleh
Langkah yang sama diterapkan untuk memperoleh kovariansi pendugaannya. Persamaan priori kovariansi dengan indeks dinaikkan menjadi
Substitusi diperoleh
Substitusi diperoleh
Dengan cara demikian pula, dapat diperoleh persamaan posteriori satu langkah untuk penduga keadaan dan kovariansi penduga. Bentuk awal
persamaan penduga keadaan posteriori adalah
Substitusi persamaan priori
, diperoleh
Bentuk awal persamaan posteriori dari kovariansi penduga adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan substitusi
, diperoleh
Contoh 3.2
Misalkan terdapat sistem Newton yang bebas derau dengan vektor posisi , kecepatan , dan percepatan . Dengan kecepatan merupakan turunan dari
posisi dan percepatan merupakan turunan dari kecepatan, yaitu dan
. Sistem tersebut dapat dituliskan
Dengan memisalkan
sistem tersebut menjadi
Diskretisasi dari sistem ini dengan sampel waktu dapat ditulis
dimana
yaitu pada waktu sampel ke , dan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Filter Kalman untuk sistem tersebut adalah
karena . Diperoleh Kalman gain yaitu
kemudian kovariansi posteriorinya yauitu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Terlihat bahwa trace dari kurang dari
. Dari sini bisa disimpulkan bahwa kovariansi penduga semakin mengecil, dan pendugaan menjadi lebih
terpercaya. Simulasi pertama sistem ini dilakukan dengan 5 unit sampel waktu
atau , dan standar deviasi 30 unit. Gambar 3.2 menunjukkan variansi
dari penduga posisi dan
untuk 5 langkah pertama filter Kalman.
Gambar 3.2 Variansi penduga posisi 5 langkah pertama filter Kalman
Bisa dilihat bahwa variansinya membesar di setiap langkah, tetapi berkurang setiap diperoleh hasil pengukuran yang baru. Hal yang sama juga
terlihat pada Gambar 3.3 yang menunjukkan variansi dari penduga posisi dan
untuk 60 langkah pertama.
Gambar 3.3 Variansi penduga posisi 60 langkah pertama filter Kalman
Gambar 3.4 Eror pengukuran dan pendugaan untuk contoh 3.2
Selanjutnya Gambar 3.4 menunjukkan eror pengukuran posisi dengan standar deviasi dan hasil pendugaannya. Simulasi ini menunjukkan bahwa
filter Kalman efektif untuk menduga keadaan.
C. Derau Proses Pendugaan