9
BAB II PENDUGA KUADRAT TERKECIL
Dalam bab ini, terdapat subbab-subbab yang merupakan landasan teori untuk mempelajari filter Kalman pada bab selanjutnya. Sebelumnya telah disebutkan
bahwa filter Kalman juga merupakan penduga kuadrat terkecil. Oleh karena itu, pokok dari bab ini adalah membahas mengenai penduga kuadrat terkecil. Selain
itu, terdapat beberapa materi berkaitan yang juga perlu untuk dibahas terlebih dahulu, yaitu matriks dan proses stokastik. Materi-materi tersebut dirangkum
dalam subbab-subbab berikut.
A. Matriks
Materi tentang matriks yang akan dibahas dalam subbab ini adalah lemma invers matriks, maktriks pseudo invers, kalkulus matriks, dan matriks
definit positif. Pembahasan materi-materi berikut didasari dengan asumsi bahwa pembaca telah menguasai konsep-konsep dasar aljabar linear seperti
sistem linear, operasi aljabar matriks, invers matriks, ruang baris dan ruang kolom, serta ruang hasilkali dalam.
1. Lemma Invers Matriks
Pada bagian ini akan dibahas tentang lemma invers matriks yang nantinya akan digunakan pada bagian selanjutnya. Lemma invers matriks
juga sering digunakan dalam teori estimasi dan pemrosesan signal. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Misalkan terdapat matriks gabungan dengan matriks
, matriks
, keduanya tak singular, sedangkan matriks dan
matriks . Definisikan matriks dan dengan
maka: a.
Andaikan mempunyai invers, dapat ditunjukkan bahwa merupakan invers dari
b. Andaikan mempunyai invers, dapat ditunjukkan bahwa
juga merupakan invers dari c.
Bukti
a.
b. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
c. Dari a dan b, matriks
dan matriks keduanya merupakan invers dari matriks
sehingga berdasarkan teorema ketunggalan invers, kedua matriks tersebut sama. Dan dengan kesamaan dua matriks, diperoleh
. ■
Selanjutnya, karena dan
, maka
Bentuk ini disebut lemma invers matriks. Bentuk lainnya yang ekuivalen yaitu
Untuk memahami lebih jelas, berikut ini diberikan contoh penggunaan lemma invers di atas.
Contoh 2.1
Misalkan terdapat matriks Invers dari matriks adalah
Akan dicari invers dari matriks .
Tanpa menghitung invers matriks dari awal,
dapat diperoleh dengan menggunakan hasil invers dari matriks . Perhatikan bahwa
, dengan ,
, dan Dengan menggunakan lemma invers matriks, diperoleh
2. Matriks Pseudo Invers
Selain lemma invers matriks, matriks pseudo invers juga akan disebutkan pada bagian selanjutnya, sehingga penting untuk dibahas sebelumnya. Bentuk
pseudo invers dari matriks merupakan perumuman dari matriks invers
yang biasanya, dimana matriks tidak harus memenuhi semua sifat-sifat matriks yang bisa dibalik.
Misalkan matriks . Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa
ruang baris dari paling banyak berdimensi dan ruang kolomnya paling
banyak berdimensi . Karena ruang baris dan ruang kolom memiliki dimensi yang sama
rank
dari , jika , maka
rank
dari paling besar adalah nilai yang lebih kecil antara nilai-nilai dan , yaitu
Singularitas matriks dibutuhkan untuk menentukan matriks pseudo
invers dari . Berikut diberikan teorema tentang singularitas matriks .
Teorema 2.1
Jika merupakan matriks dengan
rank
penuh, maka tak singular.
Bukti
Teorema akan terbukti dengan memperlihatkan jika untuk
sebarang , maka . Jika
maka dengan mengalikan kedua ruas dengan
, diperoleh ,
sehingga . Karena
mempunyai
rank
penuh, diperoleh .
Dengan demikian, terbukti tak singular.
■
Jika merupakan matriks dengan
rank
kolom penuh, yaitu , maka
tidak singular, jadi punya invers. Bentuk
disebut pseudo invers kiri dari , dimana .
Rank
dari dan
adalah . Jika merupakan matriks dengan
rank
baris penuh, yaitu , maka
tidak singular, jadi punya invers. Selanjutnya, bentuk
disebut pseudo invers kanan dari .
Rank
dari dan adalah . Berikut diberikan contoh untuk mencari pseudo invers dari matriks
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 2.2
Misalkan terdapat matriks . adalah matriks
dengan dan
. Diperoleh , dan
. Matriks
adalah matriks singular, sedangkan
mempunyai invers, yaitu . Pseudo invers
kirinya tidak terdefinisi karena bukan matriks dengan
rank
kolom penuh, sedangkan pseudo invers kanannya adalah
dengan .
3. Kalkulus Matriks