Lemma Invers Matriks Matriks Pseudo Invers

9

BAB II PENDUGA KUADRAT TERKECIL

Dalam bab ini, terdapat subbab-subbab yang merupakan landasan teori untuk mempelajari filter Kalman pada bab selanjutnya. Sebelumnya telah disebutkan bahwa filter Kalman juga merupakan penduga kuadrat terkecil. Oleh karena itu, pokok dari bab ini adalah membahas mengenai penduga kuadrat terkecil. Selain itu, terdapat beberapa materi berkaitan yang juga perlu untuk dibahas terlebih dahulu, yaitu matriks dan proses stokastik. Materi-materi tersebut dirangkum dalam subbab-subbab berikut.

A. Matriks

Materi tentang matriks yang akan dibahas dalam subbab ini adalah lemma invers matriks, maktriks pseudo invers, kalkulus matriks, dan matriks definit positif. Pembahasan materi-materi berikut didasari dengan asumsi bahwa pembaca telah menguasai konsep-konsep dasar aljabar linear seperti sistem linear, operasi aljabar matriks, invers matriks, ruang baris dan ruang kolom, serta ruang hasilkali dalam.

1. Lemma Invers Matriks

Pada bagian ini akan dibahas tentang lemma invers matriks yang nantinya akan digunakan pada bagian selanjutnya. Lemma invers matriks juga sering digunakan dalam teori estimasi dan pemrosesan signal. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Misalkan terdapat matriks gabungan dengan matriks , matriks , keduanya tak singular, sedangkan matriks dan matriks . Definisikan matriks dan dengan maka: a. Andaikan mempunyai invers, dapat ditunjukkan bahwa merupakan invers dari b. Andaikan mempunyai invers, dapat ditunjukkan bahwa juga merupakan invers dari c. Bukti a. b. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI c. Dari a dan b, matriks dan matriks keduanya merupakan invers dari matriks sehingga berdasarkan teorema ketunggalan invers, kedua matriks tersebut sama. Dan dengan kesamaan dua matriks, diperoleh . ■ Selanjutnya, karena dan , maka Bentuk ini disebut lemma invers matriks. Bentuk lainnya yang ekuivalen yaitu Untuk memahami lebih jelas, berikut ini diberikan contoh penggunaan lemma invers di atas. Contoh 2.1 Misalkan terdapat matriks Invers dari matriks adalah Akan dicari invers dari matriks . Tanpa menghitung invers matriks dari awal, dapat diperoleh dengan menggunakan hasil invers dari matriks . Perhatikan bahwa , dengan , , dan Dengan menggunakan lemma invers matriks, diperoleh

2. Matriks Pseudo Invers

Selain lemma invers matriks, matriks pseudo invers juga akan disebutkan pada bagian selanjutnya, sehingga penting untuk dibahas sebelumnya. Bentuk pseudo invers dari matriks merupakan perumuman dari matriks invers yang biasanya, dimana matriks tidak harus memenuhi semua sifat-sifat matriks yang bisa dibalik. Misalkan matriks . Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa ruang baris dari paling banyak berdimensi dan ruang kolomnya paling banyak berdimensi . Karena ruang baris dan ruang kolom memiliki dimensi yang sama rank dari , jika , maka rank dari paling besar adalah nilai yang lebih kecil antara nilai-nilai dan , yaitu Singularitas matriks dibutuhkan untuk menentukan matriks pseudo invers dari . Berikut diberikan teorema tentang singularitas matriks . Teorema 2.1 Jika merupakan matriks dengan rank penuh, maka tak singular. Bukti Teorema akan terbukti dengan memperlihatkan jika untuk sebarang , maka . Jika maka dengan mengalikan kedua ruas dengan , diperoleh , sehingga . Karena mempunyai rank penuh, diperoleh . Dengan demikian, terbukti tak singular. ■ Jika merupakan matriks dengan rank kolom penuh, yaitu , maka tidak singular, jadi punya invers. Bentuk disebut pseudo invers kiri dari , dimana . Rank dari dan adalah . Jika merupakan matriks dengan rank baris penuh, yaitu , maka tidak singular, jadi punya invers. Selanjutnya, bentuk disebut pseudo invers kanan dari . Rank dari dan adalah . Berikut diberikan contoh untuk mencari pseudo invers dari matriks . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Contoh 2.2 Misalkan terdapat matriks . adalah matriks dengan dan . Diperoleh , dan . Matriks adalah matriks singular, sedangkan mempunyai invers, yaitu . Pseudo invers kirinya tidak terdefinisi karena bukan matriks dengan rank kolom penuh, sedangkan pseudo invers kanannya adalah dengan .

3. Kalkulus Matriks