45
BAB III FILTER KALMAN
A. Filter Kalman dengan Waktu Diskret
Pada sub-bab ini, akan dicari persamaan-persamaan untuk filter Kalman dengan waktu diskret.
Misalkan terdapat sistem linear dengan waktu diskret sebagai berikut
Proses derau dan
merupakan derau putih, dengan rata-rata nol, tidak berkorelasi, dan matriks kovariansinya berturut turut
dan , yaitu
Karena dan
tidak berkorelasi, maka untuk semua .
Tujuan menurunkan model filter Kalman yaitu untuk menduga keadaan ,
berdasarkan pengetahuan mengenai system dinamis dan ketersediaan pengukuran dengan derau
. Ketika data pengukuran yang akan digunakan untuk menduga
tersedia sampai pada saat , dapat dibentuk suatu
pendugaan
posteriori
, yang dilambangkan dengan . Salah satu cara
membentuk pendugaan keadaan posteriori adalah dengan menghitung nilai PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
harapan dengan syarat berupa semua hasil pengukuran sampai ke- dan
pengukuran pada saat , yaitu
Jika data pengukuran yang akan digunakan untuk menduga tersedia
sebelum waktu data pada saat
tidak tersedia, maka bisa dibentuk pendugaan
priori
. Salah satu cara membentuknya adalah dengan menghitung nilai harapan
dengan syarat berupa semua hasil pengukuran sebelum waktu , tidak termasuk pengukuran pada saat , yaitu
Perhatikan bahwa baik maupun
keduanya digunakan untuk menduga hal yang sama, yaitu
. Meskipun demikian, merupakan
pendugaan untuk sebelum
diperhitungkan, sedangkan menduga
setelah diperhitungkan. Secara intuisi, bisa dikatakan
adalah pendugaan yang lebih baik dari
karena informasi yang digunakan pada saat mencari
lebih banyak. melambangkan pendugaan awal
, sebelum hasil pengukuran tersedia. Pengukuran pertama dilakukan pada waktu
. Karena tidak ada hasil pengukuran untuk menduga
, maka dibentuk sebagai nilai harapan
dari keadaan awal , yaitu
melambangkan kovariansi dari pendugaan , dan
melambangkan kovariansi dari pendugaan , yaitu
Untuk memahami lebih jelas hubungan antara penduga keadaan priori, posteriori, dan kovariansi pendugaannya, perhatikan gambar 3.1.
Gambar 3.1 Hubungan antara penduga keadaan priori dan posteriori,
dan kovariansi pendugaan Dari gambar terlihat hasil pendugaan priori pada waktu
yaitu dan kovariansi error penduganya
diperoleh sebelum dilakukan pengukuran pada waktu
. Setelah pengukuran dilakukan, diperoleh hasil pengukuran posteriori
dan . Keduanya kemudian digunakan untuk
mencari penduga priori pada waktu yaitu dan
. Setelah pengukuran pada waktu tersedia, diperoleh hasil pendugaan posteriori pada waktu ,
yaitu dengan kovariansi error pendugaannya
. Proses pendugaan dimulai dari
, yaitu dugaan paling baik untuk kondisi awal
. Setelah diketahui, langkah selanjutnya adalah meng-
hitung . Tetapkan
. Lihat kembali bahwa dan rata-
rata merambat terhadap waktu, yaitu
, maka diperoleh
Persamaan tersebut menunjukkan bagaimana memperoleh dari
. Secara umum dapat dituliskan
Persamaan ini disebut persamaan pembaharuan waktu untuk .
Selanjutnya akan dihitung persamaan pembaharuan waktu untuk . Jelas bahwa
. Jika nilai tidak diketahui, maka
dimisalkan dengan sebuah matriks identitas dengan komponennya berupa sebarang bilangan
besar pada diagonal utamannya. Umumnya mewakili ketidakpastian dari
dugaan awal , dimana
Sama halnya dengan ,
juga dapat diperoleh dari . Kovariansi
merambat terhadap waktu dengan
, sehingga diperoleh
Secara umum dapat ditulis
yang disebut persamaan update waktu untuk . Selanjutnya yang akan dicari adalah persamaan update pengukuran untuk
dan , yakni diketahui kemudiah dihitung
. Diingat kembali bahwa ketersediaan hasil pengukuran
mempengaruhi pendugaan yaitu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dimana dan
adalah penduga dan kovariansi pendugaan sebelum hasil pengukuran
diperoleh, dan dan
adalah penduga dan kovariansi pendugaan setelah
diperoleh. Jadi, untuk memperoleh persamaan dalam bentuk penduga priori,
diganti dan
diganti . Sedangkan
untuk memperoleh persamaan dalam bentuk penduga posteriori, diganti
dan diganti
, sehingga diperoleh
yang merupakan persamaan pembaharuan pengukuran untuk dan
. Matriks
di atas disebut
Kalman filter gain.
Setelah diturunkan, persamaan-persamaan yang telah dibahas dapat dirangkum dalam suatu algoritma yaitu sebagai berikut.
1. Terdapat sistem dinamis berbentuk
2. Filter Kalman diawali dengan
3. Filter Kalman dihitung untuk setiap waktu ke-
Bentuk pertama dari akan menjamin bahwa
akan selalu berupa matriks simetri yang definit positif, selama
juga merupakan matriks simetri yang definit positif. Bentuk ketiga dari
lebih sederhana penghitungannya dibandingan dengan bentuk pertama, tetapi tidak menjamin
apakah matriks yang diperoleh merupakan matriks simetri atau definit positif. Jika dalam perhitungan digunakan bentuk kedua dari
, maka perhitungan harus menggunakan bentuk kedua, karena
bergantung pada jadi
untuk menghitung digunakan bentuk kedua yang tidak bergantung pada
. Adapun bentuk-bentuk ini mirip dengan yang telah dibahas pada pendugaan kuadrat terkecil. Tabel 3.1 berisi hubungan antara pendugaan dan
kovariansi errornya pada pendugaan kuadrat terkecil dan filter Kalman.
Tabel 3.1 Hubungan antara penduga dan kovariansi pada pendugaan kuadrat
terkecil dan filter Kalman Pendugaan kuadrat terkecil
Filter Kalman = pendugaan sebelum
diketahui = penduga priori
= kovariansi sebelum diketahui
= kovariansi priori = pendugaan setelah
diketahui = penduga posteriori
= kovariansi setelah diketahui
= kovariansi posteriori
Contoh 3.1
Contoh ini akan menunjukkan penerapan persamaan filter Kalman dengan waktu diskret. Misalkan terdapat sebuah sistem pengukuran dimana
diketahui ,
, ,
, dan ,
dengan ,
, dan , perhitungan filter Kalman pada saat
adalah sebagai berikut PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Langkah-langkah tersebut kemudian diulangi sampai waktu ke- untuk memperoleh penduga
.
B. Persamaan Filter Kalman Satu Langkah