Filter Kalman dengan Waktu Diskret

45

BAB III FILTER KALMAN

A. Filter Kalman dengan Waktu Diskret

Pada sub-bab ini, akan dicari persamaan-persamaan untuk filter Kalman dengan waktu diskret. Misalkan terdapat sistem linear dengan waktu diskret sebagai berikut Proses derau dan merupakan derau putih, dengan rata-rata nol, tidak berkorelasi, dan matriks kovariansinya berturut turut dan , yaitu Karena dan tidak berkorelasi, maka untuk semua . Tujuan menurunkan model filter Kalman yaitu untuk menduga keadaan , berdasarkan pengetahuan mengenai system dinamis dan ketersediaan pengukuran dengan derau . Ketika data pengukuran yang akan digunakan untuk menduga tersedia sampai pada saat , dapat dibentuk suatu pendugaan posteriori , yang dilambangkan dengan . Salah satu cara membentuk pendugaan keadaan posteriori adalah dengan menghitung nilai PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI harapan dengan syarat berupa semua hasil pengukuran sampai ke- dan pengukuran pada saat , yaitu Jika data pengukuran yang akan digunakan untuk menduga tersedia sebelum waktu data pada saat tidak tersedia, maka bisa dibentuk pendugaan priori . Salah satu cara membentuknya adalah dengan menghitung nilai harapan dengan syarat berupa semua hasil pengukuran sebelum waktu , tidak termasuk pengukuran pada saat , yaitu Perhatikan bahwa baik maupun keduanya digunakan untuk menduga hal yang sama, yaitu . Meskipun demikian, merupakan pendugaan untuk sebelum diperhitungkan, sedangkan menduga setelah diperhitungkan. Secara intuisi, bisa dikatakan adalah pendugaan yang lebih baik dari karena informasi yang digunakan pada saat mencari lebih banyak. melambangkan pendugaan awal , sebelum hasil pengukuran tersedia. Pengukuran pertama dilakukan pada waktu . Karena tidak ada hasil pengukuran untuk menduga , maka dibentuk sebagai nilai harapan dari keadaan awal , yaitu melambangkan kovariansi dari pendugaan , dan melambangkan kovariansi dari pendugaan , yaitu Untuk memahami lebih jelas hubungan antara penduga keadaan priori, posteriori, dan kovariansi pendugaannya, perhatikan gambar 3.1. Gambar 3.1 Hubungan antara penduga keadaan priori dan posteriori, dan kovariansi pendugaan Dari gambar terlihat hasil pendugaan priori pada waktu yaitu dan kovariansi error penduganya diperoleh sebelum dilakukan pengukuran pada waktu . Setelah pengukuran dilakukan, diperoleh hasil pengukuran posteriori dan . Keduanya kemudian digunakan untuk mencari penduga priori pada waktu yaitu dan . Setelah pengukuran pada waktu tersedia, diperoleh hasil pendugaan posteriori pada waktu , yaitu dengan kovariansi error pendugaannya . Proses pendugaan dimulai dari , yaitu dugaan paling baik untuk kondisi awal . Setelah diketahui, langkah selanjutnya adalah meng- hitung . Tetapkan . Lihat kembali bahwa dan rata- rata merambat terhadap waktu, yaitu , maka diperoleh Persamaan tersebut menunjukkan bagaimana memperoleh dari . Secara umum dapat dituliskan Persamaan ini disebut persamaan pembaharuan waktu untuk . Selanjutnya akan dihitung persamaan pembaharuan waktu untuk . Jelas bahwa . Jika nilai tidak diketahui, maka dimisalkan dengan sebuah matriks identitas dengan komponennya berupa sebarang bilangan besar pada diagonal utamannya. Umumnya mewakili ketidakpastian dari dugaan awal , dimana Sama halnya dengan , juga dapat diperoleh dari . Kovariansi merambat terhadap waktu dengan , sehingga diperoleh Secara umum dapat ditulis yang disebut persamaan update waktu untuk . Selanjutnya yang akan dicari adalah persamaan update pengukuran untuk dan , yakni diketahui kemudiah dihitung . Diingat kembali bahwa ketersediaan hasil pengukuran mempengaruhi pendugaan yaitu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI dimana dan adalah penduga dan kovariansi pendugaan sebelum hasil pengukuran diperoleh, dan dan adalah penduga dan kovariansi pendugaan setelah diperoleh. Jadi, untuk memperoleh persamaan dalam bentuk penduga priori, diganti dan diganti . Sedangkan untuk memperoleh persamaan dalam bentuk penduga posteriori, diganti dan diganti , sehingga diperoleh yang merupakan persamaan pembaharuan pengukuran untuk dan . Matriks di atas disebut Kalman filter gain. Setelah diturunkan, persamaan-persamaan yang telah dibahas dapat dirangkum dalam suatu algoritma yaitu sebagai berikut. 1. Terdapat sistem dinamis berbentuk 2. Filter Kalman diawali dengan 3. Filter Kalman dihitung untuk setiap waktu ke- Bentuk pertama dari akan menjamin bahwa akan selalu berupa matriks simetri yang definit positif, selama juga merupakan matriks simetri yang definit positif. Bentuk ketiga dari lebih sederhana penghitungannya dibandingan dengan bentuk pertama, tetapi tidak menjamin apakah matriks yang diperoleh merupakan matriks simetri atau definit positif. Jika dalam perhitungan digunakan bentuk kedua dari , maka perhitungan harus menggunakan bentuk kedua, karena bergantung pada jadi untuk menghitung digunakan bentuk kedua yang tidak bergantung pada . Adapun bentuk-bentuk ini mirip dengan yang telah dibahas pada pendugaan kuadrat terkecil. Tabel 3.1 berisi hubungan antara pendugaan dan kovariansi errornya pada pendugaan kuadrat terkecil dan filter Kalman. Tabel 3.1 Hubungan antara penduga dan kovariansi pada pendugaan kuadrat terkecil dan filter Kalman Pendugaan kuadrat terkecil Filter Kalman = pendugaan sebelum diketahui = penduga priori = kovariansi sebelum diketahui = kovariansi priori = pendugaan setelah diketahui = penduga posteriori = kovariansi setelah diketahui = kovariansi posteriori Contoh 3.1 Contoh ini akan menunjukkan penerapan persamaan filter Kalman dengan waktu diskret. Misalkan terdapat sebuah sistem pengukuran dimana diketahui , , , , dan , dengan , , dan , perhitungan filter Kalman pada saat adalah sebagai berikut PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Langkah-langkah tersebut kemudian diulangi sampai waktu ke- untuk memperoleh penduga .

B. Persamaan Filter Kalman Satu Langkah