Contoh 2.2
Misalkan terdapat matriks . adalah matriks
dengan dan
. Diperoleh , dan
. Matriks
adalah matriks singular, sedangkan
mempunyai invers, yaitu . Pseudo invers
kirinya tidak terdefinisi karena bukan matriks dengan
rank
kolom penuh, sedangkan pseudo invers kanannya adalah
dengan .
3. Kalkulus Matriks
Bagian selanjutnya adalah kalkulus matriks. Bagian ini akan membahas definisi-definisi tentang turunan matriks, serta persamaan-persamaan yang
dihasilkannya. Bagian ini penting dikuasai untuk digunakan dalam mencari nilai minimum suatu fungsi objektif dalam bentuk matriks.
Definisi 2.1
Misalkan matriks
, dimana elemen-elemennya berupa fungsi terhadap waktu. Didefinisikan turunan matriks sebagai berikut
menyebabkan merupakan matriks konstan sehingga
turunannya sama dengan nol. Penurunan dapat juga dihitung dengan
Karena turunannya sama dengan nol, maka dapat diperoleh turunan dari yaitu
Definisi 2.2 Turunan parsial fungsi terhadap vektor
Misalkan vektor dan
fungsi skalar dari elemen-elemen , maka turunan parsial fungsi
terhadap vektor adalah
Definisi 2.3 Turunan parsial fungsi terhadap matriks
Misalkan matriks dan
fungsi skalar. Turunan parsial terhadap matriks adalah
Dengan definisi-definisi tersebut, dapat dihitung turunan parsial dari hasil perkalian antara dua vektor. Misalkan dan vektor kolom dengan elemen.
Dengan cara yang sama, diperoleh
Untuk bentuk kuadratik
turunan parsialnya adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jika matriks simetri, maka sehingga diperoleh
Definisi 2.4 Turunan parsial vektor terhadap vektor lain
Misalkan dan
. Maka
Jika salah satu dari maupun ditranspos, maka turunan parsialnya
juga ditranspos, yaitu
Dari definisi-definisi di atas, dapat diperoleh persamaan-persamaan berikut.
Misalkan matriks dan vektor
. Maka PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.5 Turunan parsial trace matriks terhadap matriks
Misalkan matriks dan matriks
.
Turunan parsial terhadap adalah
Jika matriks simetri, maka diperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4. Matriks Definit Positif
Bagian selanjutnya akan membahas tentang matriks definit positif. Matriks definit positif berperan penting dalam menentukan nilai minimum
suatu fungsi objektif. Berikut merupakan beberapa hal yang perlu diingat tentang matriks definit positif.
Definisi 2.6
Matriks simetri disebut definit positif jika untuk semua
vektor yang tak nol.
Teorema 2.2
Jka mempunyai
rank
penuh, maka merupakan matriks definit
positif
Bukti
Karena , maka
matriks simetri. Selanjutnya, mempunyai
rank
penuh, tidak nol untuk sebarang taknol.
Jadi perkalian titik . Dan untuk sebarang vektor ,
diperoleh , jadi berdasarkan definisi,
adalah matriks definit positif.
■
Definisi 2.7
Matriks Hessian adalah matriks simetri yang elemen-elemennya merupakan turunan parsial kedua dari suatu fungsi skalar terhadap suatu
vektor. Misalkan terdapat suatu fungsi dan vektor , matriks Hessian
dari fungsi adalah matriks , dimana
, yaitu
Teorema 2.3
Titik stasioner meminimumkan jika matriks Hessian dari yang
dievaluasi pada adalah definit positif.
Bukti
Ekspansi Taylor sampai orde kedua di sekitar adalah
Karena titik stasioner, maka
jadi
minimumkan fungsi ketika ruas kanan pada persamaan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
bernilai positif. Padahal jika ruas kanan tersebut ditulis dalam bentuk matriks diperoleh
Sedangkan
merupakan matriks Hessian dari . Jadi adalah matriks definit positif,
sehingga meminimumkan ketika matriks Hessian dari yang dievaluasi
pada definit positif.
■
B. Variabel Acak dan Proses Stokastik
