Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
97 x
x x
x
2 1
2 1
2 lim
x 2
1 2
2
x 2
1 1
2 1
2 1
x
e x
x x
y
5 3
2
Jawab Misal
2
3x x
u
maka
x u
6 1
x v
5
maka
1
v
Menurut sifat 7 jika
v u
y
maka
2
v uv
v u
y
Diperoleh
2 2
5 1
3 5
6 1
x x
x x
x y
2 2
2
10 25
3 6
31 5
x x
x x
x x
25 10
5 30
3
2 2
x
x x
x
f Jika hx = xgx dan g3 = 5 dan g’3 = 2, carilah h’3.
Jawab
. 1
perkalian aturan
x xg
x g
x h
x xg
x h
11 3
3 3
3
g g
h
3.2 Aturan Rantai Chain Rule
Aturan rantai umumnya digunakan untuk menentukan turunan fungsi yang bentuk umumnya
n
x f
y
atau
x g
f y
.
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
98 Di bawah ini diberikan aturan rantai yang digunakan untuk menentukan turunan
fungsi. Jika
x f
dan x
g keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g adalah fungsi
komposisi yang didefinisikan oleh hx = fgx, maka h mempunyai turunan, yaitu h’ yang dinyatakan oleh
h ’x = f ’gx. g ’x Dalam notasi Leibniz, jika y = fu dan u = gx keduanya fungsi yang mempunyai
turunan, maka
dx du
du dy
dx dy
.
Bukti:
lim .
lim lim
. lim
. lim
lim lim
x g
x g
f t
x g
t x
g p
x g
f p
x g
f t
x g
t x
g x
g t
x g
x g
f t
x g
f t
x g
t x
g x
g t
x g
x g
f t
x g
f t
x g
f t
x g
f t
t h
t x
h x
h
t p
t t
t t
t
Contoh 1.
Jika
` x
e y
maka
x
e dx
dy
Bukti
x x
e y
y y
y y
x e
y
. 1
1 ln
rantai aturan
2. Jika
` x
a y
,
1
a 1 maka
a a
dx dy
x
ln
Bukti
` x
a y
y x
a
log
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
99 =
a y
ln ln
Sehingga a
y dy
dx dy
y a
dx ln
1 1
. ln
1
Dengan aturan rantai
a a
a y
dy dx
dx dy
x
ln ln
1
3. Jika
a x
dx dy
maka a
x a
y
a
ln 1
, 1
, ,
log
Bukti nomor 3 ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi pembaca.
3.3. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik
Turunan Fungsi Implisit
Fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum ditulis dalam bentuk ,
y
x f
Contoh: 1.
25
2 2
y x
2. 2
2 2
xy y
x 3.
1 2
2 2
y
x y
x 4.
cos
y xy
Rumus-rumus turunan yang telah dijabarkan pada pasal sebelumnya berlaku jika fungsi dinyatakan dalam bentuk eksplisit atau
x f
y
, sedangkan untuk fungsi yang dinyatakan dalam bentuk implisit yaitu fungsi yang bentuk umum penulisannya
,
y x
f , turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah diferensial,
yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi tersebut. Perhatikan beberapa contoh berikut:
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
100 1.
Tentukan
dx dy
dari 4
2 2
y x
Jawab Dengan aturan diferensial masing-masing variabel diperoleh
4
2 2
d d
y d
x d
2 2
ydy xdx
ydy
xdx y
x dx
dy
2. Tentukan
dx dy
dari 2
2 2
xy y
x 2
2 2
d d
xy d
y x
d
2 2
2 2
y xd
y x
d y
d x
y x
d
2 .
. 2
2 2
ydy
x y
dx dy
x y
xdx
2 2
2 2
dy
xy x
dx y
xy
dy xy
x dx
y xy
2 2
2 2
xy x
y xy
dx dy
2 2
2 2
3. Tentukan
dx dy
dari
x x
x y
Jawab Untuk menentukan
dx dy
dari fungsi di atas, maka bentuk fungsinya diubah terlebih dahulu menjadi bentuk implisit, dan diperoleh:
x x
x y
7 8
x
y Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel diperoleh
7 8
d x
d y
d
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
101 7
8
6 7
dx
x dy
y dx
x dy
y
6 7
7 8
Sehingga
7 6
8 7
y x
dx dy
Latihan soal Tentukan
dx dy
fungsi-fungsi berikut ini. 1.
2
1 4
x x
y
2. 3
2 3
2
2
xy y
xy 3.
x y
sin 2
1
4.
1 2
cos
2
x
y 5.
2
1 2
1 x
y
6.
2 3
1 sec
x y
7. 3
2 cos
2
y
x xy
8. 1
3
2
y x
yx 9.
3 2
cos
2
y
x xy
y 10.
4
1 sin
x y
11.
cos
y xy
Turunan Fungsi Parametrik
Fungsi parametrik adalah fungsi yang secara umum ditulis dalam bentuk
x f
y
dengan
t x
x
dan
t y
y
atau
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
102
t
y y
t x
x
Contoh 1.
t
t y
t x
2
1 2
2.
t y
t t
x 1
cos sin
Turunannya dapat ditentukan dengan menurunkan masing-masing bagian, selanjutnya gunakan aturan rantai.
Contoh: Tentukan
dx dy
dari fungsi parametrik dibawah ini.
1.
t
t y
t x
2
1 2
Jawab Jika variabel x dan y diturunkan terhadap parameter t, maka diperoleh
2
dt dx
dan
1 2
t
dt dy
. Karena yang dicari adalah
dx dy
maka dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
2 1
2 .
t dt
dx dt
dy dx
dt dt
dy dx
dy
2.
t y
t x
3 1
1 2
sin
Jawab Jika variabel x dan y diturunkan terhadap parameter t, maka diperoleh
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
103
1 2
cos 2
t dt
dx
dan t
dt dy
3 1
2 3
.
Karena yang dicari adalah
dx dy
maka dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
1 2
cos 3
1 2
3 1
2 cos
2 3
1 2
3 .
t t
t t
dt dx
dt dy
dx dt
dt dy
dx dy
.
3.
t y
t x
2 1
4 3
ln
Jawab Jika variabel x dan y diturunkan terhadap parameter t, maka diperoleh
4 3
3
t
dt dx
dan t
dt dy
2 1
1
. Karena yang dicari adalah
dx dy
maka dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
t t
t t
dt dx
dt dy
dx dt
dt dy
dx dy
2 1
3 4
3 4
3 3
2 1
1 .
.
Soal-soal Tentukan
dx dy
fungsi parametrik berikut ini.
1
2
3 4
2 1
2
t t
y t
x
2
t y
t t
x 1
2 3
cos 2
2 sin
3
3
3 2
3 2
2
2 3
t t
y t
t x
Kalkulus Diferensial : Dwi Purnomo-
104 4
t
y t
t x
1 cos
sin
5
t
y t
t x
1 3
cos sin
ln
6
3 2
2 2
3 2
sin 2
t t
y t
x
3.4 Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri
