Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
64
2.4 Persamaan Diferensial Eksak PDE
Persamaan diferensial
, ,
dy y
x N
dx y
x M
disebut persamaan diferensial eksak jika dan hanya jika memenuhi syarat:
x y
x N
y y
x M
,
,
Contoh 1.
dy y
x dx
y x
adalah persamaan diferensial eksak karena 1
, ,
y y
x M
y x
y x
M
1 ,
,
x
y x
M y
x y
x N
sehingga
x y
x N
x y
x M
,
,
2.
sin cos
xdy
dx x
y x
, adalah persamaan diferensial eksak karena x
y y
x M
x y
x y
x M
cos ,
cos ,
x x
y x
N x
y x
N cos
, sin
,
Sehingga
x y
x N
x y
x M
,
,
3. yx-2y dx – x
2
dy = 0, bukan persamaan diferensial eksak, y
x y
y x
M y
x y
y x
M 4
, 2
,
x x
y x
M x
y x
N 2
, ,
2
sehingga
x y
x N
x y
x M
,
,
Karena y
y x
M
,
x y
x N
,
maka persamaan di atas bukan persamaan diferensial eksak.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
65 Dengan cara yang sama, persamaan dibawah ini adalah persamaan tidak eksak
karena y
y x
M
,
x y
x N
,
. 1.
2 2
xydy
dx y
x .............persamaan diferensial homogen
2.
2 2
dy
x a
dx .......... persamaan diferensial yang dapat direduksi ke
persamaan diferensial variabel terpisah. 3.
3 1
dy y
x dx
y x
………..persamaan diferensial tidak homogen
Persamaan diferensial eksak mempunyai selesaian umum
c y
x F
,
Menurut definisi diferensial total untuk
c y
x F
,
, diperoleh:
, c
d y
x dF
, ,
dy y
y x
F dx
x y
x F
Berdasarkan bentuk
, ,
dy y
x N
dx y
x M
dan ,
,
dy
y y
x F
dx x
y x
F maka diperoleh
, ,
y x
M x
y x
F
dan ,
, y
x N
y y
x F
Berdasarkan kesamaan di atas, maka untuk menentukan selesaian persamaan diferensial eksak yang berbentuk
c y
x F
,
dapat dilakukan dengan dua cara.
Cara I
, ,
y x
M x
y x
F
dan ,
, y
x N
y y
x F
Dari kesamaan di atas diperoleh
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
66
dx
y x
M y
x F
y x
M x
y x
F ,
, ,
,
= ,
y G
dx y
x M
x
, ,
, ,
y x
N y
G dx
y x
M y
y x
N y
y x
F
x
x
y x
N y
G dx
y x
M y
, ,
x
dx y
x M
y y
x N
y G
, ,
dy dx
y x
M y
dx y
x N
y G
x
, ,
Substitusikan Gy dalam
x
y G
dx y
x M
y x
F ,
, yang merupakan
selesaian umum persamaan diferensial
Cara II
, ,
, ,
y x
M x
y x
F dan
y x
N y
y x
F
Dari kesamaan di atas diperoleh
y
x H
dy y
x N
y x
F dy
y x
N y
x F
, ,
, ,
, ,
, ,
y x
M x
H dy
y x
N x
y x
M x
y x
F
y
dy y
x N
x y
x M
x H
, ,
dy y
x N
y y
x M
x H
, ,
dx
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
67 Substitusikan Hx ke persamaan semula
y
x H
y x
N y
x F
, ,
Contoh 1. Tentukan selesaian persamaan diferensial eksak berikut ini:
5 4
3 4
3 2
dy y
x dx
y x
Jawab 3
, 4
3 2
,
y y
x M
y x
y x
M dan
3 ,
5 4
3 ,
y
y x
M y
x y
x N
berarti persamaan di atas adalah eksak. Selesaian PD di atas adalah
c y
x F
,
. Untuk mendapatkan
c y
x F
,
dapat digunakan kesamaan ,
, ,
, y
x M
x y
x F
dan y
x N
y y
x F
. 5
4 3
,
y
x y
y x
F
dy y
x y
x F
5 4
3 ,
5 2
3
2
x f
y y
xy
, ,
y x
M x
y x
F
4 3
2 5
2 3
2
y
x x
f y
y xy
x 4
3 2
3
y x
x f
y 4
2
x x
f
c x
x x
f
4
2
Sehingga primitif persamaan adalah c
x x
y y
xy y
x F
4 5
2 3
,
2 2
2.
sin cos
xdy
dx x
y x
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
68 Jawab
x y
y x
M x
y x
y x
M cos
, cos
,
x x
y x
N x
y x
N cos
, sin
,
Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferensial eksak. Sehingga selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk Fx,y = c. Untuk
mendapatkan Fx,y = c digunakan kesamaan ,
, ,
, y
x N
y y
x F
dan y
x M
x y
x F
dx
x y
x y
x F
x y
x x
y x
F cos
, cos
,
sin 2
1
2
y G
x y
x
x y
G x
y x
y x
y y
x F
sin sin
2 1
sin ,
2
x y
G x
sin sin
y
G c
y G
Diperoleh selesaian umum persamaan
c x
y x
c x
y x
y x
F
sin
2 sin
2 1
,
2 2
Soal-soal
A. Selidiki apakah persamaan di bawah ini eksak atau tidak 1.
2 2
3
dy
y x
dx y
x
2. 4
2 3
2
dy xy
dx y
3. 6
4 3
5 2
6
2 2
dy xy
x dx
y xy
4. 1
2
2 2
dy y
x x
dx y
x
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
69 5.
y x
x y
y y
x sin
sin tan
cos cos
6. 2
1 4
5
2 2
dy
xy x
dx y
xy 7.
dx y
x ydy
xdx
2 2
8.
1 2
1 2
3
2
dy x
y y
x dx
y x
x y
y 9.
2
2 2
2
dy y
x dx
xy x
10. 1
4 1
1
3 2
2
dy
y x
dx y
x B. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial eksak berikut ini:
1. 3
2
2
dy
x xydx
2. 1
1
dy
y xy
dy x
xy
3. 1
2 2
2 2
dy
y x
x dx
y x
y x
4. 2
2
2
dy
xy dx
x y
5.
ln 1
dy
y x
dx xy
6. cos
sin cos
dy
xy x
dx x
xy y
7. 2
sin cos
2
2
dy
y y
x x
dx y
xy 8.
5 1
ln 3
2 2
y
dan xdy
dx y
x x
x
9.
2 sin
3 4
2
2
y dan
x xy
dx dy
x
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
70 10.
2 cos
y dan
dy xe
dx x
ye
xy xy
2.6 Persamaan Diferensial Tidak Eksak PDTE