Persamaan Diferensial Eksak PDE

Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 64

2.4 Persamaan Diferensial Eksak PDE

Persamaan diferensial , ,   dy y x N dx y x M disebut persamaan diferensial eksak jika dan hanya jika memenuhi syarat: x y x N y y x M      , , Contoh 1.     dy y x dx y x adalah persamaan diferensial eksak karena 1 , ,       y y x M y x y x M 1 , ,       x y x M y x y x N sehingga x y x N x y x M      , , 2. sin cos    xdy dx x y x , adalah persamaan diferensial eksak karena x y y x M x y x y x M cos , cos ,       x x y x N x y x N cos , sin ,      Sehingga x y x N x y x M      , , 3. yx-2y dx – x 2 dy = 0, bukan persamaan diferensial eksak, y x y y x M y x y y x M 4 , 2 ,        x x y x M x y x N 2 , , 2        sehingga x y x N x y x M      , , Karena y y x M   ,  x y x N   , maka persamaan di atas bukan persamaan diferensial eksak. Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 65 Dengan cara yang sama, persamaan dibawah ini adalah persamaan tidak eksak karena y y x M   ,  x y x N   , . 1. 2 2    xydy dx y x .............persamaan diferensial homogen 2. 2 2    dy x a dx .......... persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah. 3. 3 1       dy y x dx y x ………..persamaan diferensial tidak homogen Persamaan diferensial eksak mempunyai selesaian umum c y x F  , Menurut definisi diferensial total untuk c y x F  , , diperoleh: , c d y x dF  , ,       dy y y x F dx x y x F Berdasarkan bentuk , ,   dy y x N dx y x M dan , ,       dy y y x F dx x y x F maka diperoleh , , y x M x y x F    dan , , y x N y y x F    Berdasarkan kesamaan di atas, maka untuk menentukan selesaian persamaan diferensial eksak yang berbentuk c y x F  , dapat dilakukan dengan dua cara. Cara I , , y x M x y x F    dan , , y x N y y x F    Dari kesamaan di atas diperoleh Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 66       dx y x M y x F y x M x y x F , , , , = , y G dx y x M x   , , , , y x N y G dx y x M y y x N y y x F x                       x y x N y G dx y x M y , ,      x dx y x M y y x N y G , ,               dy dx y x M y dx y x N y G x , , Substitusikan Gy dalam    x y G dx y x M y x F , , yang merupakan selesaian umum persamaan diferensial Cara II , , , , y x M x y x F dan y x N y y x F       Dari kesamaan di atas diperoleh       y x H dy y x N y x F dy y x N y x F , , , , , , , , y x M x H dy y x N x y x M x y x F y               dy y x N x y x M x H , ,             dy y x N y y x M x H , , dx Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 67 Substitusikan Hx ke persamaan semula    y x H y x N y x F , , Contoh 1. Tentukan selesaian persamaan diferensial eksak berikut ini: 5 4 3 4 3 2       dy y x dx y x Jawab 3 , 4 3 2 ,        y y x M y x y x M dan 3 , 5 4 3 ,        y y x M y x y x N berarti persamaan di atas adalah eksak. Selesaian PD di atas adalah c y x F  , . Untuk mendapatkan c y x F  , dapat digunakan kesamaan , , , , y x M x y x F dan y x N y y x F       . 5 4 3 ,       y x y y x F      dy y x y x F 5 4 3 , 5 2 3 2 x f y y xy     , , y x M x y x F      4 3 2 5 2 3 2          y x x f y y xy x 4 3 2 3      y x x f y 4 2    x x f c x x x f     4 2 Sehingga primitif persamaan adalah c x x y y xy y x F       4 5 2 3 , 2 2 2. sin cos    xdy dx x y x Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 68 Jawab x y y x M x y x y x M cos , cos ,       x x y x N x y x N cos , sin ,      Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferensial eksak. Sehingga selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk Fx,y = c. Untuk mendapatkan Fx,y = c digunakan kesamaan , , , , y x N y y x F dan y x M x y x F               dx x y x y x F x y x x y x F cos , cos , sin 2 1 2 y G x y x    x y G x y x y x y y x F sin sin 2 1 sin , 2              x y G x sin sin      y G c y G   Diperoleh selesaian umum persamaan c x y x c x y x y x F       sin 2 sin 2 1 , 2 2 Soal-soal A. Selidiki apakah persamaan di bawah ini eksak atau tidak 1. 2 2 3     dy y x dx y x 2. 4 2 3 2     dy xy dx y 3. 6 4 3 5 2 6 2 2       dy xy x dx y xy 4. 1 2 2 2             dy y x x dx y x Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 69 5. y x x y y y x sin sin tan cos cos    6. 2 1 4 5 2 2      dy xy x dx y xy 7. dx y x ydy xdx 2 2    8. 1 2 1 2 3 2                 dy x y y x dx y x x y y 9. 2 2 2 2     dy y x dx xy x 10. 1 4 1 1 3 2 2             dy y x dx y x B. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial eksak berikut ini: 1. 3 2 2    dy x xydx 2. 1 1               dy y xy dy x xy 3. 1 2 2 2 2          dy y x x dx y x y x 4. 2 2 2    dy xy dx x y 5.   ln 1    dy y x dx xy 6. cos sin cos    dy xy x dx x xy y 7. 2 sin cos 2 2      dy y y x x dx y xy 8. 5 1 ln 3 2 2      y dan xdy dx y x x x 9. 2 sin 3 4 2 2     y dan x xy dx dy x Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 70 10. 2 cos            y dan dy xe dx x ye xy xy

2.6 Persamaan Diferensial Tidak Eksak PDTE