Persamaan yang Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah

Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 41 7. 1 1    y dengan ydx xdy 8. 1 2 1 2     y dengan dy y dx x 9. 3 1 3    y dengan y x y 10. y x dx dy 2 cos 2  dengan 4   y 11. 1 2 2 3    y dengan e x y y 12. 3 1 3    y dengan y x y 13. 1 1 2 3    y dengan x y 14. 1 2 3   y dengan y x dx dy 15. 2 2   y dengan y y Catatan Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah memiliki ciri spesifik yaitu koefisien diferensial berupa variable sejenis berkumpul dengan diferensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam bentuk sederhana   dy y g dx x f

2.2 Persamaan yang Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah

Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi persamaan diferensial variable terpisah jika bentuk umum , ,   dy y x N dx y x M dapat dinyatakan dalam bentuk: 2 2 1 1   dy y g x f dx y g x f 1 2 2 1    dy y g y g dx x f x f    dy y G dx x F Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 42 Selanjutnya bentuk 1 1 2 y g x f disebut faktor integrasi. Selesaian umum persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi persamaan variable terpisah dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan masing-masing bagian setelah variable yang sejenis dikelompokkan dengan diferensialnya. Perhatikan beberapa contoh berikut ini. 1. Tentukan selesaian persamaan diferensial 3 2    xydy dx y Jawab Persamaan di atas direduksi menjadi 3 2     y ydy x dx c y ydy x dx       3 2            c dy y x dx 3 3 1 2         c dy y dy x dx 3 3 1 2 c y y x      3 ln 3 ln 2 y c y x      3 2 3 ln ln y c y x     3 2 3 ln y c e y x     3 2 3 y ce y x    3 2 3 Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah y ce y x   3 2 3 2. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial 3 4   y x y dx dy Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 43 Jawab Persamaan di atas dapat direduksi menjadi: dx y dy y x 4 3   4 3     x dx dy y y 4 3 1         x dx dy y Dengan mengintegralkan masing-masing bagian persamaan diperoleh             c dx x dy y dy y 4 3 3 1        c dx x dy y dy 4 3 1 c x y y     ln 4 ln 3 x y c y ln 4 ln 3     4 3 ln ln x y c y     3 4 ln y x c y    c y e y x    3 4 y ce y x   3 4 Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah y ce y x  3 4 3. Tentukan selesaian persamaan diferensial 1 1 1     y dengan dx x y xydy Jawab Persamaan di atas setelah direduksi, diperoleh: 1 1                dy y y dx x x 1 1 1 1 1                 dx y dx x Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 44 Dengan mengintegralkan masing-masing bagian, diperoleh 1 1 1 1 1                   dy y dx x 1 1           dy y dy dx x dx c y y x x       1 ln ln y x c y x      1 ln y x c e y x      1 Karena 1  y maka 1 1 1     c e . Diperleh 1   c sehingga diperoleh selesaian khusus persamaan 1 1     y x e y x Sebagai latihan bagi pembaca, tentukan selesaian persamaan diferensial dan selesaian khusus masalah nilai awal berikut ini: 1. cot 1 2    dy y x dx 2. sin 1 cos     dy y e dx y x 3. 1 2    dy x xydx 4. 1 4 2 2     dy x y dx y x 5. 3 1 xy dx dy x  7. x e y y x sin cos 1   8. y y dx dy x 3 1 2   9. 2 2 1 sec x y y   10. sin 2 x y y   11. 1 8 3 2    y dengan e x dx dy y 12. 1 1 2 2 4 3 2       y dengan y x x dx dy Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 45 13.   3 , tan 1 2    y dengan x y dx dy 14. 4 cos 2 2    y dengan y x dx dy 15. 3 sin     y dengan x y dx dy

2.3 Persamaan Diferensial Homogen