Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
41 7.
1 1
y
dengan ydx
xdy
8. 1
2 1
2
y dengan
dy y
dx x
9. 3
1
3
y
dengan y
x y
10.
y x
dx dy
2
cos 2
dengan
4
y
11. 1
2
2 3
y dengan
e x
y
y
12. 3
1
3
y
dengan y
x y
13. 1
1 2
3
y
dengan x
y 14.
1
2 3
y dengan
y x
dx dy
15. 2
2
y dengan
y y
Catatan Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah
memiliki ciri spesifik yaitu koefisien diferensial berupa variable sejenis berkumpul dengan diferensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam
bentuk sederhana
dy y
g dx
x f
2.2 Persamaan yang Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah
Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi persamaan
diferensial variable terpisah jika bentuk umum
, ,
dy y
x N
dx y
x M
dapat dinyatakan dalam bentuk:
2 2
1 1
dy y
g x
f dx
y g
x f
1 2
2 1
dy
y g
y g
dx x
f x
f
dy
y G
dx x
F
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
42 Selanjutnya bentuk
1
1 2
y g
x f
disebut faktor integrasi. Selesaian umum persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi persamaan variable terpisah
dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan masing-masing bagian setelah variable yang sejenis dikelompokkan dengan diferensialnya.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini. 1. Tentukan selesaian persamaan diferensial
3 2
xydy
dx y
Jawab Persamaan di atas direduksi menjadi
3 2
y ydy
x dx
c y
ydy x
dx
3 2
c
dy y
x dx
3 3
1 2
c
dy y
dy x
dx 3
3 1
2 c
y y
x
3 ln
3 ln
2
y c
y x
3 2
3 ln
ln y
c y
x
3 2
3 ln
y c
e y
x
3 2
3
y
ce y
x
3 2
3 Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah
y
ce y
x
3 2
3
2. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial 3
4
y
x y
dx dy
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
43 Jawab
Persamaan di atas dapat direduksi menjadi:
dx y
dy y
x 4
3
4 3
x dx
dy y
y
4 3
1
x dx
dy y
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian persamaan diperoleh
c dx
x dy
y dy
y 4
3 3
1
c dx
x dy
y dy
4 3
1 c
x y
y
ln
4 ln
3 x
y c
y ln
4 ln
3
4 3
ln ln
x y
c y
3 4
ln y
x c
y
c y
e y
x
3 4
y
ce y
x
3 4
Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah
y
ce y
x
3 4
3. Tentukan selesaian persamaan diferensial
1 1
1
y
dengan dx
x y
xydy
Jawab Persamaan di atas setelah direduksi, diperoleh:
1 1
dy y
y dx
x x
1 1
1 1
1
dx y
dx x
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
44 Dengan mengintegralkan masing-masing bagian, diperoleh
1 1
1 1
1
dy y
dx x
1 1
dy y
dy dx
x dx
c y
y x
x
1
ln ln
y x
c y
x
1 ln
y x
c
e y
x
1
Karena 1
y
maka
1
1 1
c
e . Diperleh
1
c
sehingga diperoleh selesaian khusus persamaan
1
1
y x
e y
x
Sebagai latihan bagi pembaca, tentukan selesaian persamaan diferensial dan selesaian khusus masalah nilai awal berikut ini:
1. cot
1
2
dy
y x
dx 2.
sin 1
cos
dy y
e dx
y
x
3. 1
2
dy
x xydx
4. 1
4
2 2
dy x
y dx
y x
5.
3
1 xy
dx dy
x
7. x
e y
y
x
sin
cos 1
8. y
y dx
dy x
3 1
2
9.
2 2
1 sec
x y
y
10.
sin 2
x y
y
11.
1 8
3 2
y dengan
e x
dx dy
y
12. 1
1 2
2 4
3
2
y dengan
y x
x dx
dy
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
45 13.
3 ,
tan 1
2
y
dengan x
y dx
dy
14.
4 cos
2
2
y dengan
y x
dx dy
15.
3 sin
y dengan
x y
dx dy
2.3 Persamaan Diferensial Homogen