Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
45 13.
3 ,
tan 1
2
y
dengan x
y dx
dy
14.
4 cos
2
2
y dengan
y x
dx dy
15.
3 sin
y dengan
x y
dx dy
2.3 Persamaan Diferensial Homogen
Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang berbentuk
, ,
dy y
x N
dx y
x M
disebut persamaan diferensial homogen jika ,
y x
M dan
, y
x N
fungsi homogen berderajat sama. Definisi:
1.
, y
x F
disebut fungsi homogen jika
y x
G y
x F
, atau
x
y H
y x
F ,
2. Fungsi
, y
x F
disebut fungsi homogen berderajat-n jika memenuhi syarat ,
, y
x F
t ty
tx F
n
Contoh: 1.
x y
x y
x F
, adalah fungsi homogen, karena
x
y H
x y
x x
x y
x x
y x
F 1
1 ,
2.
y x
y x
F
,
adalah fungsi homogen, karena
x y
y x
F
1 ,
atau 1
,
y
x y
x F
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
46 3.
xy y
x F
1
,
, bukan fungsi komogen karena tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
x y
H atau
y x
G 4.
2 2
2 3
, y
xy x
y x
F
fungsi homogen karena dapat dinyatakan dalam
x
y H
atau y
x G
5.
x y
y x
F sin
,
, bukan fungsi homogen. 6.
2
1 ,
x y
y x
F
bukan fungsi homogen. 7.
y x
y x
F
,
, fungsi homogen berderajat 1, karena:
, ty
tx ty
tx F
, y
x t
ty tx
F
,
, y
x tF
ty tx
F
8.
2 2
2 3
, y
xy x
y x
F
fungsi homogeny berderajat 0 9.
y x
x y
x F
2 ,
, fungsi homogen berderajat 0, karena 2
, ty
tx tx
y x
F
2
, y
x t
x t
y x
F
2
, y
x x
t y
x F
, ,
y x
F t
y x
F
10. Dengan cara yang sama,
2 2
3
3 2
, xy
y x
x y
x F
adalah fungsi homogen
berderajat 3 dan
2 2
, y
x x
y x
G
adalah fungsi homogen berderajat 2. 11.
sin ,
y x
y x
F
bukan fungsi homogen, karena ,
, y
x F
t ty
tx F
n
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
47 Jika
, ,
dy y
x N
dx y
x M
adalah persamaan diferensial homogen, maka selesaian umumnya dapat ditentukan dengan cara menyatakan
, y
x M
dalam bentuk
y
x M
atau x
y M
demikian pula ,
y x
N dapat
dinyatakan dalam bentuk
y
x N
atau x
y N
. Dengan kata lain ,
y x
M dan
, y
x N
dibagi dengan koefisien diferensial
dx
dan dy yang berpangkat
tertinggi. Setelah dilakukan pembagian pada
, y
x M
dan ,
y x
N , selanjutnya
gunakan transformasi y
x u
atau
uy x
. Atau dapat menggunakan transformasi
x y
v
atau
. vx
y
Jika yang digunakan transformasi
x yu
maka diperoleh
udy ydu
dx
. Sebaliknya jika yang digunakan transformasi
. vdx
xdv dy
maka y
xv
. Akhirnya
dx
atau
dx
tetapi bukan keduanya disubstitusikan
dalam persamaan
diferensial semula
, ,
dy y
x N
dx y
x M
sehingga diperoleh persamaan baru
dy
y x
N dx
y x
M atau
dy x
y N
dx x
y M
Dengan memilih transformasi
vdx xdv
dy
maka
, ,
dy y
x N
dx y
x M
vdx xdv
x y
N dx
x y
M
vdx xdv
v N
dx v
M
dv v
xN dx
v vN
v M
v vN
v M
dv v
N x
dx
Jika yang dipilih transformasi
udy ydu
dx
maka
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
48
, ,
dy y
x N
dx y
x M
dy y
x N
udy ydu
y x
M
dy
u N
udy ydu
u M
dy u
N u
uM du
u yM
u N
u uM
du u
M y
dy
Bentuk terakhir persamaan yang diperoleh adalah persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah. Setelah variabel yang sejenis
berkumpul dengan diferensialnya dan dengan mengintgralkan masing-masing bagian akan didapat selesaian umum persamaan diferensial homogen yang
diberikan. Contoh
1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial
2 2
xydy
dx x
y Jawab
Persamaan di atas adalah persamaan diferensial homogen, karena
, ,
y x
N dan
y x
M
adalah persamaan homogen yang berderajat dua. Selanjutnya persamaan dibagi
2
x
diperoleh persamaan c
dy x
y dx
x y
1
2 2
Gunakan transformasi
ux y
atau x
y u
, dan
xdu udx
dy
,lalu subtitusikan ke persamaan semula
1
2
vdy dx
u
1
2
xdu
udx u
dx u
1
2 2
xdu
u dx
u u
1 2
2
xdu u
dx u
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
49
1 2
2
u udu
x dx
Gunakan integral untuk masing-masing bagian, sehingga:
c u
udu x
dx
1 2
2
c u
udu x
dx
1 2
4 4
1
2
c u
x
1
2 ln
4 1
ln
2
c u
x
1
2 ln
ln 4
2
c u
x
1
2 ln
ln
2 4
c u
x
1 2
ln
2 4
c x
x y
x
2 2
4 4
2
c x
y x
4 2
2
2 Sehingga selesaian umum persamaan diferensial
2 2
xydy
dx x
y adalah
c x
y x
4 2
2
2
2. Tentukan selesaian persamaan diferensial
2 2
dy
x dx
y xy
dengan 1
2
y Jawab
Persamaan di atas di bagi dengan
2
x
2 2
dy dx
x y
x y
Transformasi
xds sdx
dy sehingga
sx y
atau x
y s
Dengan mensubstitusikan ke persamaan asal diperoleh
2
xds sdx
dx s
s
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
50
2
xds
dx s
2
s ds
x dx
= 0
c
s ds
x dx
2
c s
x
1 ln
, karena
x y
s
maka c
y x
x
ln
Karena 1
2
y maka
2 ln
2
c
, sehingga selesaian khusus persamaan di atas adalah
2 ln
2 ln
y
x x
3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial homogen berikut 3
2 3
3
dy
xy dx
y x
Jawab Persamaan dibagi dengan
3
x Diperoleh
3 1
2 2
3 3
dy x
y dx
x y
Misal
Ax y
x y
A
dan didapat
xdA Adx
dy
Selanjutnya substitusikan dy dalam persamaan semula didapat persamaan baru
3 1
2 3
xdA Adx
A dx
A 3
2 1
2 3
dA A
x dx
A
2 1
3
3 2
x dx
dA A
A
2 1
3
3 2
x dx
A dA
A
2 1
6
3 2
2 1
x dx
A dA
A
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
51
c x
A
ln 2
1 ln
2 1
3
c x
A
ln
2 2
1 ln
3
c x
x y
ln 2
2 1
ln
3 3
c x
x y
x
2 3
3 3
. 2
ln
c x
y x
3 3
2 Berdasarkan uraian di atas, selesaian umum persamaan
3
2 3
3
dy
xy dx
y x
adalah c
x y
x
3 3
2
4. Tentukan selesaian umum persamaan
1 1
3 2
3
y
dengan y
dx dy
y x
Persamaan di atas adalah persamaan diferensial homogen, karena Mx,y dan Nx,y adalah fungsi homogen berderajat sama yaitu satu.
3 2
3
y dx
dy y
x 2
3 3
dy y
x ydx
3 2
3
dx
dy y
x Dengan transformasi
ydu udy
dx dan
uy x
3
2 3
ydu
udy dy
u 3
3 2
3
ydu dy
u u
3 2
du
y dy
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
52
c
du y
dy 3
2
c u
y
3 ln
2 u
c y
3 ln
2
u c
e y
2
x y
e c
y
3 2
Karena 1
1
y maka
1 1
. 3
2
1 e
c
didapat
3
c
sehingga selesaiannya
dinamakan selesaian khusus integral khusus yaitu 3
3 2
x y
e y
Latihan soal 1.
Selidiki apakah fungsi berikut homogen, jika homomogen tentukan derajatnya.
a.
y x
y x
f 2
,
b.
y x
e y
x f
,
c. xy
y x
y x
f 3
,
2 2
d. cos
sin ,
2
xy y
x y
x f
e.
2 2
3 ,
x y
xy y
x f
f.
2 2
, y
x x
y x
f
g.
x y
x y
x f
cos ,
h.
2 2
2 ,
y x
xy y
x f
i.
y x
y x
f
2
,
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
53 j.
y x
y y
y x
x y
x f
cos sin
, k.
y y
y x
y x
f 3
9 5
3 ,
2. Tentukan selesaian persamaan diferensial homogen berikut ini.
a. xy
y x
dx dy
3
2 2
b.
y dx
dy y
x 3
3
c.
4 2
2 y
x y
dx dy
x y
x
d.
2 2
dy y
x ydx
xdy
e.
x y
x y
dx dy
tan
f.
4 5
2
dy
y x
dx y
x
, dengan 1
2
y g.
xdy
dx y
x
, dengan
y h.
3
2 2
y x
xy y
dengan 1
2
y
i. y
x y
x y
2 2
dengan 3
1
y j.
,
2 2
y
dengan t
x xt
dt dx
3.
2 2
2
dy
y x
dx y
dengan 1
2
y 4.
Tunjukkan bahwa persamaan diferensial
, ,
dy y
x N
dx y
x M
adalah persamaan diferensial homogen berderajat satu jika dan hanya jika
, ,
y x
N dan
y x
M fungsi homogen berderajat-1.
5. Tentukan semua selesaian dari persamaan
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
