Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
70 10.
2 cos
y dan
dy xe
dx x
ye
xy xy
2.6 Persamaan Diferensial Tidak Eksak PDTE
, ,
dy y
x N
dx y
x M
adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu disebut persamaan diferensial tidak eksak jika dan hanya jika:
x y
x N
y y
x M
,
,
Persamaan diferenisal tidak eksak dapat diselesaikan dan ditentukan primitifnya dengan cara mencari faktor integral dari persamaan tersebut. Setelah
ditentukan faktor integralnya, maka persamaan diferensial tidak eksak tersebut menjadi persamaan diferensial eksak. Faktor integral persamaan diferensial tidak
eksak dinyatakan dengan x,y. Setelah diketahui faktor integralnya , maka
persamaan tidak eksak ditulis dalam bentuk:
, ,
,
dy
y x
N dx
y x
M y
x
, ,
, ,
dy
y x
N y
x dx
y x
M y
x
satu derajat
satu tingkat
l diferensia
persamaan dy
y x
N dx
y x
M
,
,
Dengan
, ,
, ,
, ,
y x
N y
x y
x N
dan y
x M
y x
y x
M
Sehingga diperoleh persamaan yang merupakan persamaan diferensial tingkat satu berupa persamaan diferensial eksak yang memenuhi sifat
x y
x N
y y
x M
,
,
dengan
, ,
, ,
, ,
y x
N y
x y
x N
dan y
x M
y x
y x
M
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
71 Persamaan baru tersebut dinamakan persamaan diferensial eksak, sehingga
selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan diferensial eksak.
Bagaimana menentukan faktor integral persamaan tidak eksak?
Karena
, ,
,
dy
y x
N dx
y x
M y
x
persamaan eksak, maka:
x N
y M
x N
x N
y M
y M
y M
x N
x N
y M
y M
x N
x N
y M
1
dalam hal ini dapat kita tinjau dari beberapa kasus: a. Misal
, x
y x
yaitu fungsi bervariabel x saja, maka
y
dan
dx d
x
, sehingga
. 1
M dx
d N
x N
y M
N x
N y
M dx
d
1
Jika N
x N
y M
suatu fungsi dari
x atau x
f , maka dari
N x
N y
M dx
d
1
didapat
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
72 dx
x f
d atau
x f
dx d
1
dx x
f d
dx x
f ln
dx x
f
e
adalah faktor integral yang dicari
b. Misal
y
yaitu fungsi bervariabel
y
saja maka
x
dan
dy d
y
=
dy d
, sehingga
y
M x
N x
N y
M
. 1
y M
N x
N y
M
.
. 1
M x
N y
M dy
d
1
Jika M
x N
y M
suatu fungsi dari
y
atau y
g , maka dari
M x
N y
M dy
d
1 didapat
1 y
g d
atau y
q dy
d
dy
y g
d
dy
y g
ln
dy
y g
e
adalah faktor integral yang dicari
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
73 c. Jika
, ,
dy y
x N
dx y
x M
adalah persamaan diferensial homogen dengan
, ,
dy y
x yN
dx y
x xM
maka faktor integral
, ,
1 ,
y x
yN y
x xM
y x
d. Jika
, ,
dy y
x N
dx y
x M
dapat ditulis
dy xy
xF dx
xy yF
dengan
xy g
xy f
maka
, ,
1 1
, y
x yN
y x
xM xy
G xy
F xy
y x
e. Seringkali faktor integral
, y
x
dapat diperoleh dengan pemeriksaan, hal ini
akan tampak setelah pengelompokkan kembali suku-suku persamaannya.
Dengan mengenal kelompok suku-suku tertentu merupakan suatu bagian dalam persamaan diferensial eksak.
Contoh 1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial berikut dengan terlebih
dahulu menentukan faktor integrasinya.
2 2
xydy dx
x y
x Jawab
y y
y x
M x
y x
y x
M 2
, ,
2 2
y x
y x
N xy
y x
N
, ,
Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena x
y x
N y
y x
M
, ,
Selanjutnya dicari x,y sebagai faktor integrxasi
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
74 Karena
1 2
, ,
, x
f x
xy y
y y
x N
x y
x N
y y
x M
Maka x
e e
y x
x dx
x f
ln
,
. Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan diferensial eksak yaitu
} {
2 2
xydy dx
x y
x x
} {
2 2
2 3
ydy
x dx
x xy
x
Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian
2 2
xydy dx
x y
x yaitu
6 4
3
2 2
3 4
y
x x
x
2. Tentukan selesaian umum persamaan 3
2 2
2 2
4 2
3 4
dy x
y x
e y
x dx
y xy
e xy
y y
Jawab 1
6 2
8 ,
2 4
3
xy xy
e xy
y y
x M
y
3 2
2 ,
2 4
xy
e xy
x y
x N
y
Sehingga persamaan di atas tidak eksak. Selanjutnya dicari
x,y sebagai faktor integrasi
Karena 2
, ,
, y
g y
y x
N x
y x
N y
y x
M
Maka
4
1 y
e
dy y
g
Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan diferensial eksak yaitu
3 2
2
4 2
2 4
2 4
3 4
dy y
x y
x e
y x
dx y
y xy
e xy
y y
Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian persamaan
3 2
2
2 2
4 2
3 4
dy x
y x
e y
x dx
y xy
e xy
y y
adalah
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
75
c y
x y
x e
x
y
3 2
2
Latihan
A. Tentukan faktor integral persamaan berikut:
1
3 4
4
dy
xy dx
y x
2 2
2
dy
x dx
y x
y 3
dx e
x ydx
xdy
x 2
4
2
xdy
ydx dy
y 5
3 4
3
3 2
2
dy
y x
dx y
x B.
Berdasarkan faktor integrasi yang diperoleh tentukan selesaian persamaan: 1
1
2
dy
x dx
xy 2
2
4
dy
y x
ydx 3
, 2
2
x xydy
dx x
y 4
2 3
2 1
dy y
x x
dx y
xy 5
sin
3 3
2
dy y
e x
y ydx
x
y
C. Buktikan bahwa jika
, y
g M
N M
x y
adalah fungsi
y
saja, maka faktor integrasi untuk
, ,
dy y
x N
dx y
x M
adalah
dy
y g
e y
f
2.7 Persamaan Berbentuk
Kategori