Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 36 5 Persamaan diferensial eksak. 6 Persamaan diferensial tidak eksak. 7 Persamaan diferensial yang berbentuk   dy xy xg dx xy yf Persamaan-persamaan diferensial tersebut di atas masing-masing mempunyai karakteristik dan ciri-ciri yang berbeda-beda. Prinsip utama dalam menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu adalah mengelompokkan masing-masing koefisien diferensial dengan diferensial yang sejenis atau sedapat mungkin menjadikan sejenis masing-masing koefisien diferensialnya. Khusus untuk persamaan diferensial yang tidak dapat dipisahkan variabelnya, maka cara lain tabel, teorema akan sangat membantu. Berikut ini disajikan cara menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat satu derajat satu.

2.1 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang mempunyai bentuk umum , ,   dy y x N dx y x M dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial variable terpisah separable, jika , x f y x M  dan , y g y x N  . Atau dengan kata lain , y x M adalah fungsi x saja dan , y x N adalah fungsi y saja. Sehingga bentuk umumnya , ,   dy y x N dx y x M ditulis dalam bentuk   dy y g dx x f Perhatikan contoh berikut ini. 1. 2 3 2    dy y dx x x   2 3 2     dx dy y x x 3 3 2 2 2 x x x x dx dy y              y x x dx dy 2 3 2 2. xdy dx y  2 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 37 2    dx dy x y 2 y dx dy x   x y dx dy 2   3. 2 2 1 x y y   y dy dx x    2 2 1 4. sin   dy y dx x 5. 2 2 1 2 x y dx dy   1 2 2 2     y dy dx x Karena tanda diferensial persamaan di atas dx dan dy berpasangan dengan variable yang sejenis yaitu x berpasangan dengan dx dan y berpasangan dengan dy , sehingga untuk menentukan selesaian umum persamaan tersebut cukup dengan mengintegralkan masing masing bagian. Perhatikan beberapa contoh berikut ini. 1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial 2   dy dx x Jawab Dengan mengintegralkan masing-masing bagian, diperoleh:     c dy xdx 2 c c y c x     2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 c c c y x      c y x    4 2 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 38 4 2 x c y    Persamaan 4 2 x c y   disebut primitif atau persamaan keluarga kurva atau selesaian umum persamaan diferensial 2   dy dx x . 2. Tentukan selesaian persamaan diferenesial 3   x dy y dx Jawab Persamaan di atas dapat diubah menjadi 3   ydy xdx Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:     3 dy y dx x c y x    2 2 2 3 2 1 c y x    2 2 3 c y x    2 2 2 3 2 1 c y x    2 2 3 3 2 c x y     Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah 3 2 c x y    3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial 2   ydy xdx Jawab Masing-masing bagian dari persamaan diintegralkan, diperoleh: Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 39     c dy y dx x 2 c y x    2 2 2 1 c y x    2 2 2 2 2 x c y     Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah 2 2 x c y    4. Tentukan selesaian umum persamaan: 1 sin    dy y dx x dengan y  = 1 Jawab Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:      c dy y dx x 1 sin c y y x      2 2 cos 2 Karena y  = 1 maka diperoleh c           2 1 1 2 2 cos 2  Diperoleh c = 3, sehingga selesaian khusus persamaan diferensial 1 sin    dy y dx x adalah 3 2 cos 2 2     y y x 5. Tentukan selesaian umum persamaan 4 2 1     dy x dx y Jawab Persamaan 4 2 1     dy x dx y dapat diubah menjadi 2 1 4     y dy x dx Selanjutnya dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 40 c y dy x dx       2 1 4 c y x       2 1 ln 2 1 4 ln   c y x       2 1 ln 4 ln   c y x      2 1 ln 4 ln c y x     2 1 4 ln c y x     2 1 4   2 4 2 1 x c y       1 4 2 2     x c y     2 2 4 2 4 x x c y      Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah     2 2 4 2 4 x x c y     Latihan soal Tentukan selesaian persamaan diferensial di bawah ini. 1. 2   xdy dx y 2. 1 cos     dy e dx y x 3. cot 1 2    dy y x dx 4. x dx dy sec 1 3 1   5. 2 1 2   y x 6. 4 2 1     dy x dx y Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 41 7. 1 1    y dengan ydx xdy 8. 1 2 1 2     y dengan dy y dx x 9. 3 1 3    y dengan y x y 10. y x dx dy 2 cos 2  dengan 4   y 11. 1 2 2 3    y dengan e x y y 12. 3 1 3    y dengan y x y 13. 1 1 2 3    y dengan x y 14. 1 2 3   y dengan y x dx dy 15. 2 2   y dengan y y Catatan Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah memiliki ciri spesifik yaitu koefisien diferensial berupa variable sejenis berkumpul dengan diferensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam bentuk sederhana   dy y g dx x f

2.2 Persamaan yang Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah