Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
36 5
Persamaan diferensial eksak. 6
Persamaan diferensial tidak eksak. 7
Persamaan diferensial yang berbentuk
dy xy
xg dx
xy yf
Persamaan-persamaan diferensial tersebut di atas masing-masing mempunyai karakteristik dan ciri-ciri yang berbeda-beda. Prinsip utama dalam
menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu adalah mengelompokkan masing-masing koefisien diferensial dengan diferensial
yang sejenis atau sedapat mungkin menjadikan sejenis masing-masing koefisien diferensialnya. Khusus untuk persamaan diferensial yang tidak dapat dipisahkan
variabelnya, maka cara lain tabel, teorema akan sangat membantu. Berikut ini disajikan cara menentukan selesaian persamaan diferensial
tingkat satu derajat satu.
2.1 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah
Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang mempunyai bentuk umum
, ,
dy y
x N
dx y
x M
dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial
variable terpisah
separable, jika
, x
f y
x M
dan
, y
g y
x N
. Atau dengan kata lain
, y
x M
adalah fungsi x saja dan
, y
x N
adalah fungsi
y
saja. Sehingga
bentuk umumnya
, ,
dy y
x N
dx y
x M
ditulis dalam bentuk
dy
y g
dx x
f Perhatikan contoh berikut ini.
1.
2 3
2
dy
y dx
x x
2 3
2
dx dy
y x
x 3
3 2
2 2
x x
x x
dx dy
y
y
x x
dx dy
2 3
2
2. xdy
dx y
2
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
37
2
dx
dy x
y
2
y dx
dy x
x y
dx dy
2
3.
2
2 1
x y
y
y dy
dx x
2
2 1
4.
sin
dy
y dx
x
5.
2 2
1 2
x y
dx dy
1 2
2 2
y dy
dx x
Karena tanda diferensial persamaan di atas
dx
dan dy berpasangan dengan
variable yang sejenis yaitu x berpasangan dengan
dx
dan
y
berpasangan dengan dy , sehingga untuk menentukan selesaian umum persamaan tersebut cukup
dengan mengintegralkan masing masing bagian. Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial
2
dy dx
x
Jawab Dengan mengintegralkan masing-masing bagian, diperoleh:
c dy
xdx 2
c c
y c
x
2 1
2
2 2
1
2 1
2
2 2
1 c
c c
y x
c y
x
4
2
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
38
4
2
x c
y
Persamaan
4
2
x c
y
disebut primitif atau persamaan keluarga kurva atau selesaian umum persamaan diferensial
2
dy dx
x
.
2. Tentukan selesaian persamaan diferenesial
3
x
dy y
dx
Jawab Persamaan di atas dapat diubah menjadi
3
ydy xdx
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:
3 dy y
dx x
c y
x
2 2
2 3
2 1
c y
x
2 2
3
c y
x
2 2
2 3
2 1
c y
x
2 2
3
3
2
c x
y
Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah
3
2
c x
y
3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial
2
ydy xdx
Jawab Masing-masing bagian dari persamaan diintegralkan, diperoleh:
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
39
c dy
y dx
x 2
c y
x
2 2
2 1
c y
x
2 2
2
2
2
x c
y
Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah
2
2
x c
y
4. Tentukan selesaian umum persamaan:
1 sin
dy
y dx
x
dengan y = 1
Jawab Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh:
c
dy y
dx x
1 sin
c y
y x
2
2 cos
2 Karena y
= 1 maka diperoleh
c
2
1 1
2 2
cos 2
Diperoleh c = 3, sehingga selesaian khusus persamaan diferensial
1 sin
dy
y dx
x
adalah 3
2 cos
2
2
y y
x
5. Tentukan selesaian umum persamaan
4 2
1
dy
x dx
y
Jawab Persamaan
4 2
1
dy
x dx
y
dapat diubah menjadi
2 1
4
y
dy x
dx Selanjutnya dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
40 c
y dy
x dx
2 1
4
c y
x
2
1 ln
2 1
4 ln
c y
x
2
1 ln
4 ln
c y
x
2 1
ln 4
ln c
y x
2 1
4 ln
c y
x
2
1 4
2
4 2
1 x
c y
1 4
2
2
x c
y
2 2
4 2
4 x
x c
y
Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah
2 2
4 2
4 x
x c
y
Latihan soal Tentukan selesaian persamaan diferensial di bawah ini.
1.
2
xdy
dx y
2. 1
cos
dy e
dx y
x
3. cot
1
2
dy
y x
dx 4.
x dx
dy sec
1 3
1
5. 2
1
2
y x
6. 4
2 1
dy x
dx y
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
41 7.
1 1
y
dengan ydx
xdy
8. 1
2 1
2
y dengan
dy y
dx x
9. 3
1
3
y
dengan y
x y
10.
y x
dx dy
2
cos 2
dengan
4
y
11. 1
2
2 3
y dengan
e x
y
y
12. 3
1
3
y
dengan y
x y
13. 1
1 2
3
y
dengan x
y 14.
1
2 3
y dengan
y x
dx dy
15. 2
2
y dengan
y y
Catatan Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah
memiliki ciri spesifik yaitu koefisien diferensial berupa variable sejenis berkumpul dengan diferensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam
bentuk sederhana
dy y
g dx
x f
2.2 Persamaan yang Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah