Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
54
, 4
2 2
x untuk
y x
y dx
dy x
6. Tentukan semua selesaian dari persamaan
16
2 2
x untuk
x y
y x
dx dy
2.3 Persamaan
, y
x M
dan ,
y x
N Linear, tetapi Tidak Homogen
Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, disebut persamaan diferensial linear tidak homogen jika
, y
x M
dan ,
y x
N dalam
, ,
dy y
x N
dx y
x M
adalah fungsi linear. Sehingga bentuk umum semula dapat diubah menjadi
dy r
qy px
dx c
by ax
Contoh:
1.
4 2
2 2
dy y
x dx
y x
2.
3 2
2 1
dy y
x dx
y x
3.
3 3
7 7
7 3
dy x
y dx
x y
4.
1 2
3 1
2 3
dy y
x dx
y x
Berdasarkan contoh di atas, maka persamaan diferensial tidak homogen dengan
, y
x M
dan ,
y x
N fungsi linear dapat dikelompokkan menjadi 3 jenis
yaitu: a
Bentuk
r
c q
b p
a , parameter, sehingga diperoleh
r c
q b
p a
,
,
Contoh
4 2
2 2
dy y
x dx
y x
b Bentuk
r c
tetapi q
b p
a
,
Sehingga
q b
p a
,
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
55 Contoh
3 2
2 1
dy y
x dx
y x
4 2
3 1
2 3
dy y
x dx
y x
c Bentuk selain a dan b di atas.
3 3
7 7
7 3
dy x
y dx
x y
2 3
7 2
3
dy y
y dx
y x
Karena bentuknya berbeda-beda, maka selesaian umum persamaan diferensial linear tidak homogen harus menyesuaikan dengan bentuknya.
a. Bentuk
r
c q
b p
a
Karena
r
c q
b p
a maka diperoleh
r c
q b
p a
,
,
Sehingga persamaan semula
dy r
qy px
dx c
by ax
dy
r qy
px dx
r qy
px
dy
r qy
px dx
r qy
px
dy
dx
c
dy dx
c y
x
persamaan linear
Contoh 1. Tentukan selesaian persamaan diferensial
8 2
2 4
dy y
x dx
y x
Jawab Karena
2 1
r
c q
b p
a maka diperoleh
c r
b q
a p
2 ,
2 ,
2
Sehingga persamaan semula 8
2 2
4
dy
y x
dx y
x
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
56
4 2
4
dy y
x dx
y x
2 1
dy
dx
c
dy dx
2 1
c y
x
2 1
c y
x
2
adalah primitif yang diminta
2. Tentukan selesaian persamaan
3 6
3 3
dy y
x dx
y x
Jawab Karena
3
r c
q b
p a
maka diperoleh
r c
q b
a a
3 ,
3 ,
3
Sehingga persamaan semula
3 6
3 3
dy y
x dx
y x
3 2
3
dy y
x dx
y x
3
dy dx
c
dy dx
3 c
y x
3
Primitif persamaan di atas adalah
c y
x
3
b. Bentuk r
c tetapi
q b
p a
,
.
Persamaan bentuk
q b
p a
dapat diselesaikan dengan cara menggunakan transformasi
v qy
px atau
u by
ax
. Berdasarkan transformasi tersebut, dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, sehingga diperoleh:
u d
by d
ax d
du bdy
adx
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
57
bdy du
adx
a bdy
du dx
atau
du bdy
adx
adx du
bdy
b adx
du dy
Dengan cara yang sama jika yang digunakan transformasi v
qy px
, diperoleh bentuk
q pdx
dv dy
atau p
pdx dv
dx
Pilih dx atau dy akan tetapi tidak keduanya, dan substitusikan ke persamaan
diferensial semula.
dy r
qy px
dx c
by ax
1
dy r
u dx
c u
1
dy r
u a
bdy du
c u
Atau
1
b adx
du r
u dx
c u
Persamaan di atas adalah persamaan yang dapat direduksi ke persamaan
diferensial dengan variable terpisah separable. Contoh:
1. Tentukan selesaian persamaan diferensial
3 2
2 1
dy y
x dx
y x
dengan
y Jawab
Dari persamaan
3 2
2 1
dy y
x dx
y x
, diperoleh 2
, 2
, 2
, 1
, 1
, 1
r dan
q p
c b
a , sehingga diperoleh
=
2 1
.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
58 Selanjutnya gunakan transformasi
v y
x atau
u y
x
2
2
Jika transformasi yang digunakan u
y x
maka diperoleh
3 2
1
dy
u dx
u
. Selanjutnya bentuk transformasi
u y
x
didiferensialkan
du dy
dx
dan diperoleh
dy du
dx
atau
dx du
dy
.
Cara I
3 2
1
dy
u dx
u
.
3 2
1
dy
u dy
du u
1 3
2 1
dy
u u
du u
2 1
dy
u du
u
direduksi menjadi PD Separable, diperoleh:
2 1
du u
u dy
c
du u
u dy
2 1
c
du u
du dy
2 1
1
c u
u y
2
ln c
y x
y x
y
2 ln
2 ln
2
y
x c
y x
c u
u y
c y
x
2
ln 2
2
2
y x
e
c y
x
Karena y0 = 0, maka selesaian khusus persamaan
3 2
2 1
dy y
x dx
y x
adalah 2
2 ln
2
y x
e
y x
Cara II
3 2
1
dx du
u dx
u 3
2 3
2 1
du
u dx
u u
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
59
3 2
2
du
u dx
u 3
2 2
du
u dx
u
2 3
2
du u
u dx
c
du u
u dx
2 3
2
c
du u
du dx
2 1
1
c u
u x
2
ln c
y x
y x
x
2 ln
y c
y x
2
ln
y c
e y
x
2 Karena
y
maka didapat
2 ln
c
sehingga selesaian khusus persamaan diferensial di atas adalah
y
e y
x
2 ln
2
2. Tentukan selesaian persamaan
1 2
3 1
2 3
dy y
x dx
y x
Jawab Transformasikan
du dy
dx sehingga
u y
x
2
3 2
3
dan diperoleh:
2 3
3 2
dx du
dy atau
dy du
dx
akibatnya persamaan
1 2
3 1
2 3
dy y
x dx
y x
dapat dinyatakan dalam bentuk
1 1
dy u
dx u
Pilih dx atau dy, lalu substitusikan ke dalam persamaan dan diperoleh
1 3
2 1
dy u
dy du
u dy
u dy
du u
1 3
2 1
3
3 2
2 1
dy
u u
du u
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
60
1 5
1
dy du
u u
c
dy du
u u
1 5
1
c
dy du
u du
1 5
5 25
6 5
1
c y
u u
1
5 ln
25 6
5 c
y y
x y
x
1 2
3 5
ln 25
6 5
2 3
Bentuk yang ketiga adalah selesaian bentuk selain persamaan 1 dan 2. Dalam menentukan selesaiannya gunakan transformasi
v r
qy px
dan u
c by
ax
Selanjutnya diferensial kan kedua bentuk transformasi di atas sehingga diperoleh
v d
r d
qy d
px d
dan u
d c
d by
d ax
d
dv
qdy pdx
dan du
bdy adx
Eleminasikan dx dan dy pada hasil differesial yang diperoleh secara berurutan yaitu:
dv
qdy pdx
du bdy
adx
selanjutnya kalikan persamaan pertama dengan p dan kalikan persamaan kedua dengan a, maka diperoleh:
pdu pbdy
apdx
adv
aqdy apdx
adv pdu
dy aq
pb
aq bp
adv pdu
dy
Dengan cara yang sama diperoleh
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
61 bp
aq bdv
qdu dx
Substisusikan dx dan dy dalam persamaan semula, yaitu:
dy r
qy px
dx c
by ax
aq
bp adv
pdu v
bp aq
bdv qdu
u Persamaan di atas menjadi persamaan baru dengan tanda diferensial du
dan dv, dan termasuk dalam persamaan diferensial homogen. Primitifnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan diferensial homogen.
Contoh 1. Tentukan selesaian umum persamaan
3 3
7 7
7 3
dy x
y dx
x y
Jawab Transformasikan
3 3
7 7
7 3
x y
v dan
x y
u
Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh:
dx dy
dv dan
dx dy
du 3
7 7
3
Elimasikan dx dan dy berurutan, diperoleh:
dv dx
dy du
dx dy
3 7
7 3
atau
dv dx
dy du
dx dy
7 21
49 3
21 9
didapat
dv du
dy 7
3 40
40 3
7 du
dv dy
Dengan cara yang sama diperoleh
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
62
40 7
3 du
dv dx
Substitusikan
dx dan
dy
kepersaman semula, sehingga diperoleh
3 3
7 7
7 3
dy x
y dx
x y
40 3
7 40
7 3
du dv
v du
dv u
3 7
40 7
3 40
du
dv v
du dv
u
persamaan diferensial homogen
3 7
7 3
du
v u
dv v
u
Bagi persamaan dengan v, diperoleh
3 7
7 3
du v
u dv
v u
Transformasikan
vt u
atau v
u t
sehingga tdv
vdt du
Persamaan di atas adalah persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variable terpisah.
3 7
7 3
tdv
vdt t
dv dt
3 7
3 7
7 3
2
dt
t dv
t t
t
7 7
3 7
2
dt
t t
v dv
c dt
t t
v dv
2
7 7
3 7
1 1
ln 7
3 1
ln 2
1 ln
2
t
t t
v
Dengan mensubstitusi 7
7 3
3 3
7 3
3 7
x y
x y
t dan
x y
v diperoleh selesaian
umum persamaan
3 3
7 7
7 3
dy x
y dx
x y
2. Tentukan selesaian umum persamaan
2 3
1 2
3
dy y
x dx
y x
Jawab.
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
63 Transformasikan
y x
v dan
y x
u 2
3 1
2 3
dy
dx dv
dan dy
dx du
2 3
2 3
Selanjutnya dieliminasi dx dan dy berturut dan diperoleh:
4 du
dv dy
dan
6 dv
du dx
Substitusikan dy dan dx ke persamaan semula dan diperoleh
2 3
1 2
3
dy y
x dx
y x
4 6
du
dv v
dv du
u 6
4
du dv
v dv
du u
6 4
6 4
dv
v u
du v
u 6
4 6
4
dv u
v du
u v
Transformasikan
up v
u v
p
sehingga
pdu udp
dv
Substitusikan kepersamaan di atas, diperoleh
9 6
4 6
4
pdu udp
p du
p
6 4
6 4
6 4
2
udp
p du
p p
p
6 10
4 6
4
2
p p
dp p
u du
c dp
p p
p u
du 2
2 6
6 4
c dp
p p
p u
2 2
6 6
4 ln
c p
p y
x
2
ln 5
8 2
6 ln
5 18
1 2
3 ln
c y
x y
x y
x y
x y
x
2
1 2
3 2
3 ln
5 8
2 1
2 3
2 3
6 ln
5 18
1 2
3 ln
Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
64
2.4 Persamaan Diferensial Eksak PDE
