8
Cara 6:
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C sin a sin A = sin b sin B = sin c sin C
Untuk memeriksa perhitungan melalui cara di atas dapat diperiksa melalui prosedur menghitung X1, Y1, Z, X2 dan Y2 sebagai berikut:
X1 = sin a sin B = sin b sin A Y1 = sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A
Z = cos a = cos b cos c + sin a sin b cos C X2 = sin a sin C = sin c sin A
Y2 = sin a cos C = cos c sin b – sin c cos b cos A Sebagai kontrol hasil perhitungan perlu dihitung:
X1
2
+ Y1
2
+ Z
2
= 1 atau X2
2
+ Y2
2
+ Z
2
= 1, kalau ternyata dalam perhitungan tidak menghasilkan satu maka perlu dicurigai ada perhitungan yang keliru.
VI. Contoh kasus perhitungan arah kiblat kota jombang dengan beragam formula
Bila A = Mekah Ka’bah, lintang geografis utara φ
A
= +21 ° 25′ 21″ dan bujur geografis λ
A
= 39 °
50 ′ 34″ bujur timur, B = Posisi kota Jombang : φ
B
= –7 ° 32′ Lintang Selatan dan bujur
geografis λ
B
= 112 ° 13′ Bujur Timur dan C adalah kutub utara, a = 90
− φ
B
, b = 90 − φ
A
dan c masing-masing adalah sisi-sisi dihadapan sudut bola A, B = arah kiblat dan C beda bujur geografis A dan B maka:
a = 90 − φ
B
= 90 °––7° 32′ = 97° 32′; b = 90
− φ
A
= 90 °–+21° 25′ 21″ = 68° 34′ 39″ dan C
= λ
B
- λ
A
= 112 ° 13′ – 39° 50′ 34″ = 72° 22′ 26″.
Cara 1: Menggunakan Rumus Tangens
tan {12 A −B} = [ sin {12a – b} x cot C2 ] sin {12 a + b}
tan {12 A+B} = [cos {12 a – b} x cot C2] cos {12 a + b} B = A + B 2 – A – B 2, sudut B = arah kiblat
9
a – b 2 = 97 ° 32′ – 68° 34′ 39″2 = 28° 57′ 21″2 = 14° 28′ 40″.5
a + b 2 = 97 ° 32′ + 68° 34′ 39″ 2 = 166° 06′ 39″ 2 = 83° 03′ 19″.5
C 2 = 72 ° 22′ 26″ 2 = 36° 11′ 13″
sin { a – b 2 } = sin 14 ° 28′ 40″.5= 0.250004488
sin {a + b 2} = sin 83 ° 03′ 19″.5 = 0.992663559
cos { a – b 2 } = cos 14 ° 28′ 40″.5 = 0.968244071
cos {a + b 2} = cos 83 ° 03′ 19″.5 = 0.120909292
tan C 2 = tan 36 ° 11′ 13″ = 0.7315395
cot C 2 = cot 36 ° 11′ 13″ = 0.7315395
–1
= 1.366980183 tan {12 A
−B} = [ sin {12a – b} x cot C2 ] sin {12 a + b} tan {12 A
−B} = 0.250004488 x 1.366980183 0.992663559 = 0.344276948 dan A – B 2 = 18
° 59′ 50″.66 tan {12 A+B} = [cos {12 a – b} x cot C2] cos {12 a + b}
tan {12 A+B} = 0.968244071 x 1.366980183 0.120909292 = 10.94680513 dan A + B 2 = 84
° 46′49″.69 B = A + B 2 – A – B 2, sudut B = arah kiblat
sudut B = arah kiblat sudut yang diukur dari garis ke arah Utara ke arah Barat sebesar B; B = A + B 2 – A – B 2 = 84
° 46′ 49″.69 – 18° 59′ 50″.66 = 65° 46′ 59″.03 di sektor Utara – Barat atau 24
° 13′ 09″.7 13 + 90° = 114° 13′ 0″.97 di sector Timur – Selatan , azimuth arah Kiblat pengukuran dari UtaraAz = 0
°, Timur Az = 90°, Selatan Az = 180°, Barat Az = 270° Jombang adalah 294
° 13′ 0″.97 atau 294°.2 . Cara 2 :
Bila A = Mekah Ka’bah, lintang geografis utara +21 ° 25′ 21″dan bujur geografis 39° 50′ 34″
bujur timur, B = Posisi kota Jombang : φ
B
= –7 ° 32′ Lintang Selatan dan bujur geografis λ
B
= 112
° 13′ Bujur Timur dan C adalah kutub utara, a = 90 − φ
A
, b = 90 − φ
B
dan c masing- masing adalah sisi-sisi dihadapan sudut bola A, B = arah kiblat dan C beda bujur geografis A
dan B maka:
10
a = 90 − φ
B
= 90 °––7° 32′ = 97° 32′;
b = 90 − φ
A
= 90 °–+21° 25′ 21″ = 68° 34′ 39″ dan
C = λ
B
- λ
A
= 112 ° 13′ – 39° 50′ 34″ = 72° 22′ 26″.
cot B = { cot b sin a – cos a cos C sin C }
tan b = tan 68 ° 34′ 39″ = 2.548912485 dan cot b = 0.392324179
sin a = sin 97 ° 32′ = 0.991368756
cos a = cos 97 ° 32′ = –0.131102969
sin C = sin 72 ° 22′ 26″ = 0.953052771
cos C = cos 72 ° 22′ 26″ = 0.302804252
cot B = 0.388937933 – – 0.0396985360.953052771 cot B = 0.428636469 0.953052771 = 0.449751034
tan B = 1cot B = 2.223452362 maka B = tan
–1
2.223452362 = 65°.7841183 = 65° 47 2.83 dari utara ke barat atau bila pengukuran dari barat ke utara : 24° 12 57.17. Azimuth Arah
Kiblat kota Jombang: 270° + 24° 12 57.17 = 294°.2158817
Cara 3:
Bila A = Mekah Ka’bah, lintang geografis utara +21 ° 25′ 21″dan bujur geografis 39° 50′ 34″
bujur timur, B = Posisi kota Jombang : φ
B
= –7 ° 32′ Lintang Selatan dan bujur geografis λ
B
= 112
° 13′ Bujur Timur dan C adalah kutub utara, a = 90 − φ
A
, b = 90 − φ
B
dan c masing- masing adalah sisi-sisi dihadapan sudut bola A, B = arah kiblat dan C beda bujur geografis A
dan B maka:
a = 90 − φ
B
= 90 °––7° 32′ = 97° 32′;
b = 90 − φ
A
= 90 °–+21° 25′ 21″ = 68° 34′ 39″ dan
11
C = λ
B
- λ
A
= 112 ° 13′ – 39° 50′ 34″ = 72° 22′ 26″.
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
sin a = sin 97 ° 32′ = 0.991368756
cos a = cos 97 ° 32′ = –0.131102969
sin b = sin 68 ° 34′ 39″ = 0.930912457
cos b = cos 68 ° 34′ 39″ = 0.365242381
sin C = sin 72 ° 22′ 26″ = 0.953052771
cos C = cos 72 ° 22′ 26″ = 0.302804252
cos c = –0.131102969 x 0.365242381 + 0.991368756 x 0.930912457 x 0.302804252 cos c = – 0.04788436 + 0.279451238 = 0.231566877
c = 76 ° 36′ 38″.38
s = a + b + c 2 s = 97
° 32′ + 68° 34′ 39″ + 76° 36′ 38″.38 2 = 242° 43′ 17″.3 2 s = 121
° 21′ 38″.6 s – a = 121
° 21′ 38″.6 – 97° 32′ = 23° 49′ 38″.69 s – b = 121
° 21′ 38″.6 – 68° 34′ 39″ = 52° 46′ 59″.6 s – c = 121
° 21′ 38″.6 – 76° 36′ 38″.38 = 44° 45′ 0″.22 sin s – a = sin 23
° 49′ 38″.69 = 0.403983024 sin s – b = sin 52
° 46′ 59″.6 = 0.79635284 sin s – c = sin 44
° 45′ 0″.22 = 0.704015481 sin s = sin 121
° 21′ 38″.6 = 0.853907762 tan r = [{sin s
−a sin s−b sin s−c} sin s]
12
12
tan r = 0.403983024 x 0.79635284 x 0.704015481 0.853907762
12
= 0.226490952 0.853907762
12
= 0.265240536
12
= 0.515015083 r = 27
° 14′ 56″.94 tan B2 = tan r sin s – b
tan B2 = 0.515015083 0.79635284 = 0.646717205 B2 = 32
° 53′ 29″.2 atau sudut arah Kiblat B = 65° 46′ 58″.4 dari utara ke barat atau bila pengukuran dari barat ke utara : 24° 13 1.6, Azimuth Arah Kiblat kota Jombang: 270° + 24° 13
1.6 = 294°.217112
Cara 4:
Bila A = Mekah Ka’bah, lintang geografis utara +21 ° 25′ 21″dan bujur geografis 39° 50′ 34″
bujur timur, B = Posisi kota Jombang : φ
B
= –7 ° 32′ Lintang Selatan dan bujur geografis λ
B
= 112
° 13′ Bujur Timur dan C adalah kutub utara, a = 90 − φ
A
, b = 90 − φ
B
dan c masing- masing adalah sisi-sisi dihadapan sudut bola A, B = arah kiblat dan C beda bujur geografis A
dan B maka:
a = 90 − φ
B
= 90 °––7° 32′ = 97° 32′;
b = 90 − φ
A
= 90 °–+21° 25′ 21″ = 68° 34′ 39″ dan
C = λ
B
- λ
A
= 112 ° 13′ – 39° 50′ 34″ = 72° 22′ 26″.
haversine = hav, hav B = 1 – cos B 2 cosec a = 1 sin a, cosec c = 1 sin c
s = a + b + c 2 cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
sin a = sin 97 ° 32′ = 0.991368756
13
cosec a = 1sin a = 1.00870639 cos a = cos 97
° 32′ = –0.131102969 sin b = sin 68
° 34′ 39″ = 0.930912457 cos b = cos 68
° 34′ 39″ = 0.365242381 sin C = sin 72
° 22′ 26″ = 0.953052771 cos C = cos 72
° 22′ 26″ = 0.302804252
cos c = –0.131102969 x 0.365242381 + 0.991368756 x 0.930912457 x 0.302804252 cos c = – 0.04788436 + 0.279451238 = 0.231566877
c = 76 ° 36′ 38″.38
sin c = sin 76 ° 36′ 38″.38 = 0.972818983
cosec c = 1sin c = 1.027940467
s = a + b + c 2 s = 97
° 32′ + 68° 34′ 39″ + 76° 36′ 38″.38 2 = 242° 43′ 17″.3 2 s = 121
° 21′ 38″.6 s – a = 121
° 21′ 38″.6 – 97° 32′ = 23° 49′ 38″.69 s – b = 121
° 21′ 38″.6 – 68° 34′ 39″ = 52° 46′ 59″.6 s – c = 121
° 21′ 38″.6 – 76° 36′ 38″.38 = 44° 45′ 0″.22
sin s – a = sin 23 ° 49′ 38″.69 = 0.403983024
sin s – b = sin 52 ° 46′ 59″.6 = 0.79635284
sin s – c = sin 44 ° 45′ 0″.22 = 0.704015481
14
sin s = sin 121 ° 21′ 38″.6 = 0.853907762
hav B = sin s −c sin s−a cosec c cosec a
cosec c = 1 sin c = 1.045449098 dan cosec a = 1sin a = 1.008241132 cos c = – 0.04788436 + 0.279451238 = 0.231566877
c = 76 ° 36′ 38″.38
sin c = sin 76 ° 36′ 38″.38 = 0.972818983
cosec c = 1sin c = 1.027940467 sin a = sin 97
° 32′ = 0.991368756 cosec a = 1sin a = 1.00870639
hav B = 0.704015481 x 0.403983024 x 1.027940467 x 1.00870639 = 0.294902232 hav B = 1 – cos B 2 atau cos B = 1 – 2 hav B = 1 – 2 x 0.294902232 = 1 – 0.589804465 =
0.410195535
B = cos
-1
0.410195535 = 65 °.7828814
Sudut arah Kiblat B = 65 ° 46′ 58″.37 dari utara ke barat atau bila pengukuran dari barat ke utara
: 24° 13 1.63, Azimuth Arah Kiblat kota Jombang: 270° + 24° 13 1.63 = 294°.21711186
Cara 5:
Bila A = Mekah Ka’bah, lintang geografis utara +21 ° 25′ 21″dan bujur geografis 39° 50′ 34″
bujur timur, B = Posisi kota Jombang : φ
B
= –7 ° 32′ Lintang Selatan dan bujur geografis λ
B
= 112
° 13′ Bujur Timur dan C adalah kutub utara, a = 90°− φA, b = 90° − φB dan c masing- masing adalah sisi-sisi dihadapan sudut bola A, B = arah kiblat dan C beda bujur geografis A
dan B maka:
15
a = 90 − φ
B
= 90 °––7° 32′ = 97° 32′;
b = 90 − φ
A
= 90 °–+21° 25′ 21″ = 68° 34′ 39″ dan
C = λ
B
- λ
A
= 112 ° 13′ – 39° 50′ 34″ = 72° 22′ 26″.
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
sin a = sin 97 ° 32′ = 0.991368756
cosec a = 1sin a = 1.00870639 cos a = cos 97
° 32′ = –0.131102969 sin b = sin 68
° 34′ 39″ = 0.930912457 cos b = cos 68
° 34′ 39″ = 0.365242381 sin C = sin 72
° 22′ 26″ = 0.953052771 cos C = cos 72
° 22′ 26″ = 0.302804252
cos c = –0.131102969 x 0.365242381 + 0.991368756 x 0.930912457 x 0.302804252 cos c = – 0.04788436 + 0.279451238 = 0.231566877
c = 76 ° 36′ 38″.38
sin c = sin 76 ° 36′ 38″.38 = 0.972818983
cosec c = 1sin c = 1.027940467
cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B cos B = [ cos b – cos a cos c ] [sin a sin c]
cos a cos c = –0.131102969 x 0.231566877 = – 0.030359104
16
sin a sin c = 0.991368756 x 0.972818983 = 0.964422345
cos B = [0.365242381 – – 0.030359104] [0.964422345 0] = 0.41019527 dan arah Kiblat dari arah Utara ke arah Barat B = 65
°. 78289805 = 65° 46′ 58″.43 Atau sudut arah Kiblat B = 65
° 46′ 58″.43 dari utara ke barat atau bila pengukuran dari barat ke utara : 24° 13 1.57, Azimuth Arah Kiblat kota Jombang: 270° + 24° 13 1.63 = 294°.217102
Cara 6:
Bila A = Mekah Ka’bah, lintang geografis utara +21 ° 25′ 21″dan bujur geografis 39° 50′ 34″
bujur timur, B = Posisi kota Jombang : φ
B
= –7 ° 32′ Lintang Selatan dan bujur geografis λ
B
= 112
° 13′ Bujur Timur dan C adalah kutub utara, a = 900 − φA, b = 900 − φB dan c masing- masing adalah sisi-sisi dihadapan sudut bola A, B = arah kiblat dan C beda bujur geografis A
dan B maka:
a = 90 − φ
B
= 90 °––7° 32′ = 97° 32′;
b = 90 − φ
A
= 90 °–+21° 25′ 21″ = 68° 34′ 39″ dan
C = λ
B
- λ
A
= 112 ° 13′ – 39° 50′ 34″ = 72° 22′ 26″.
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
sin a = sin 97 ° 32′ = 0.991368756
cosec a = 1sin a = 1.00870639 cos a = cos 97
° 32′ = –0.131102969 sin b = sin 68
° 34′ 39″ = 0.930912457 cos b = cos 68
° 34′ 39″ = 0.365242381 sin C = sin 72
° 22′ 26″ = 0.953052771 cos C = cos 72
° 22′ 26″ = 0.302804252
17
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C cos c = –0.131102969 x 0.365242381 + 0.991368756 x 0.930912457 x 0.302804252
cos c = – 0.04788436 + 0.279451238 = 0.231566877 c = 76
° 36′ 38″.38 sin c = sin 76
° 36′ 38″.38 = 0.972818983 cosec c = 1sin c = 1.027940467
sin a sin A = sin b sin B = sin c sin C sin b sin B = sin c sin C maka sin B = sin b sin c x sin C
sin b = sin 68 ° 34′ 39″ = 0.930912457
sin c = sin 76 ° 36′ 38″.38 = 0.972818983
sin C = sin 72 ° 22′ 26″ = 0.953052771
sin B = 0.930912457 0.972818983 x 0.953052771 = 0.911997722 atau B = 65.78289844 = 65
° 46′ 58″.43 atau arah Kiblat dari arah Utara ke arah Barat B = 65° 46′ 58″.43 atau 24
°.21710156 atau 294°.2171016
VII. Uji konsistensi
