dimana: F
I
= m. ÿ F
D
= c. ý F
s
= k. y 2.2
Yang mana F
I
,
F
D
,
dan F
S
berturut-turut adalah gaya inersia, gaya redam, dan gaya pegas, sedangkan ÿ, ý, dan y berturut-turut adalah percepatan, kecepatan, dan
simpangan. Apabila persamaan 2.1 di atas disubstitusikan pada persamaan 2.2 maka akan diperoleh:
m.ÿ + c.ý + k.y = F t 2.3
Maka pada persamaan 2.3 adalah persamaan diferensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik Ft. Pada problema
dinamik, sesuatu yang sangat penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaan tersebut adalah yt. Simpangan
horizontal akan berpengaruh secara langsung terhadap momen kolom maupun momen balok.
II.4 Persamaan Diferensial pada Struktur MDOF Multi Degree of Freedom
Secara umum struktur bangunan gedung tidaklah selalu dapat dinyatakan didalam suatu sistem yang mempunyai derajat kebebasan tunggal SDOF.
Struktur bangunan gedung justru banyak yang mempunyai derajat kebebasan banyak MDOF. Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur
dengan derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti prinsip
shear building masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak
Universitas Sumatera Utara
F
3
t
k
1
a Struktur dengan 3 DOF
b Model Matematik
m
1
c
1
F
2
t F
1
t k
3
k
2
k
1
h
h h
l l
F
1 t
k
2
m
2
c
2
F
2 t
k
3
m
3
c
3
F
3 t
c Free Body Diagram
k
1
y
1
c
1
ý
1
m
1
ÿ
1
k
2
y
2-
y
1
c
2
ý
2-
ý
1
m
2
ÿ
2
k
3
y
3-
y
2
c
3
ý
3-
ý
2
m
3
ÿ
3
MDOF. Untuk memperoleh persamaan diferensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik pada suatu massa yang ditinjau. Untuk
memperoleh persamaan tersebut, maka diambil model struktur MDOF seperti gambar 2.3.
Gambar 2.3 Struktur 3 DOF dengan redaman Sumber: Widodo 2001
Struktur bangunan gedung bertingkat 3 tiga seperti gambar tersebut, akan mempunyai 3 derajat kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan
dihubungkan secara langsung dengan jumlahnya tingkat. Persamaan diferensial gerakan tersebut umumnya disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut
first mode atau mode pertama seperti yang tampak pada garis putus-putus pada gambar 2.2.a. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram
akan diperoleh: m
1
ÿ
1
+ k
1
y
1
+ c
1
ý
1
– k
2
y
2
-y
1
– c
2
ý
2
- ý
1
- F
1
t = 0 2.4
m
2
ÿ
2
+ k
2
y
2
-y
1
+ c
2
ý
2
- ý
1
– k
3
y
3
-y
2
– c
3
ý
3
- ý
2
-F
2
t = 0 2.5
m
3
ÿ
3
+ k
3
y
3
-y
2
+ c
3
ý
3
- ý
2
– F
1
t = 0 2.6
Universitas Sumatera Utara
3
2 1
3 2
1 3
3 3
2 1
2 2
2 1
3 2
1 3
3 3
2 1
2 2
2 1
3 2
1 3
2 1
, ,
, ,
, ,
, ,
,
t F
t F
t F
y y
y k
k k
k k
k k
k k
y y
y c
c c
c c
c c
c c
y y
y m
m m
3
3 3
2 1
2 2
2 1
, 3
3 3
2 1
2 2
2 1
, 3
2 1
k k
k k
k k
k k
k K
c c
c c
c c
c c
c C
m m
m M
Pada persamaan-persamaan tersebut di atas tampak bahwa keseimbangan dinamik suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekakuan, redaman,
simpangan massa sebelum, dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat seperti itu umumnya disebut coupled equation, karena persamaan-persamaan tersebut
akan bergantung satu sama lain. Penyelesaian persamaan coupled harud dilakukan secara simultan, artinya dengan melibatkan semua persamaan yang ada. Pada
struktur dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial gerakan merupakan persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan yang lain.
Selanjutnya dengan menyusun persamaan-persamaan di atas menurut parameter yang sama percepatan, kecepatan, dan simpangan, maka akan
diperoleh: m
1
ÿ
1
+ c
1
+c
2
ý
1
- c
2
ý
2
+ k
1
+k
2
y
1
- k
2
y
2
= F
1
t 2.7
m
2
ÿ
2
- c
2
ý
1
+ c
2
+c
3
ý
2
- c
3
ý
3
- k
2
y
1
+ k
2
+k
3
y
2
- k
3
y
3
= F
2
t 2.8
m
3
ÿ
3
- c
3
ý
2
+c
3
ý
3
- k
3
y
2
+ k
3
y
3
= F
3
t 2.9
Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
2.10
Matriks di atas dapat ditulis kedalam matriks yang lebih kompak, yakni: [M]{ÿ} + [C]{ý} + [K]{y} = {Ft}
2.11 Dimana [M], [C], dan [K] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks,
dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,
2.12 Sedangkan {ÿ},{ý},{y} dan {Ft} masing-masing adalah vektor percepatan,
Universitas Sumatera Utara
3
2 1
, 3
2 1
, 3
2 1
, 3
2 1
. .
. .
.. ..
.. ..
t F
t F
t F
t F
dan y
y y
Y y
y y
Y y
y y
Y
F t
Displacement y Velocityý
Acceleration ÿ f
S
Displacement y Velocityý
Acceleration ÿ f
D
f
I
a b
c d
= +
+
vector kecepatan, vektor simpangan, dan vektor beban, yang dapat dituliskan sebagai berikut:
2.13
Secara visual Chopra 1995 menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya pegas, gaya redam, dan gaya inersia seperti gambar berikut:
Gambar 2.4 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan f
s
, f
d
, dan f
I
Sumber: Chopra 1995
II.5 Struktur Beraturan dan Tidak Beraturan
