BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Konsep Dasar Graph
Sebelum sampai pada pendefinisian masalah network flow, terlebih dahulu pada bagian ini akan diuraikan mengenai konsep-konsep dasar dari model graph dan
representasinya dalam memodelkan masalah network flow.
Definisi 2.1. Sebuah graph G adalah pasangan V,E di mana V adalah himpunan tak
kosong yang anggotanya disebut verteks dan E adalah himpunan yang anggotanya adalah pasangan tak berurut dari verteks V yang disebut edge.
Secara umum graph dapat digambarkan dengan suatu diagram di mana verteks ditunjukkan sebagai titik yang dinotasikan dengan v
i
, i = 1, 2, …,P dan edge digambarkan dengan sebuah garis lurus atau garis lengkung yang menghubungkan dua
verteks v
i
, v
j
dan dinotasikan dengan e
k
. Sebagai ilustrasi dapat dilihat Gambar 2.1. yaitu suatu graph yang mempunyai lima verteks dan enam edge.
Gambar 2.1. Graph dengan lima verteks dan enam edge
V
1
V
2
e
4
V
4
V
5
V
3
e
2
e
5
e
3
e
6
e
1
Universitas Sumatera Utara
2.2. Graph Berlabel
Hubungan antar verteks-verteks dalam graph perlu diperjelas. Hubungan tidak cukup hanya menunjukkan verteks-verteks mana yang berhubungan langsung, tetapi juga
seberapa kuat hubungan itu. Sebagai contoh, andaikata suatu graph menyatakan “peta” suatu daerah. Verteks-verteks graph menyatakan kota-kota yang ada di daerah
tersebut. Edge-edge dalam graph menyatakan jalan yang menghubungkan kota-kota
tersebut.
Informasi tentang peta daerah perlu diperjelas dengan mencantumkan jarak antara 2 kota yang berhubungan. Informasi tentang jarak dibutuhkan karena dalam
graph, letak verteks dan panjang edgenya tidak menyatakan jarak 2 kota yang sebenarnya seperti halnya dengan peta yang sebenarnya. Jadi setiap garis dalam graph
berhubungan dengan suatu label yang menyatakan bobot garis tersebut.
Definisi 2.2. Graph Berlabel weighted graph adalah suatu graph tanpa edge paralel
di mana setiap edgenya berhubungan dengan suatu bilangan riil tak negatif yang menyatakan bobot edge we tersebut. Jumlah bobot semua edge disebut Total
Bobot.
Matriks yang bersesuaian dengan graph berlabel G adalah matriks hubung A = a
ij
dengan a
ij
= bobot edge yang menghubungkan verteks v
i
dengan verteks v
j
. Jika verteks v
i
tidak berhubungan langsung dengan verteks v
j,
maka a
ij
= ∞, dan a
ij
= 0 di mana i = j.
Contoh 2.1.
Dalam suatu propinsi, ada 8 kota v
1
, v
2
, …, v
8
yang akan dihubungkan dengan jaringan listrik. Biaya pemasangan jaringan listrik yang mungkin dibuat antar 2 kota
adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
Edge Kota yang dihubungkan
Biaya per satuan e
4
e
7
e
2
e
8
e
9
e
1
e
3
e
10
e
5
e
11
e
6
v
2
– v
3
v
4
– v
6
v
1
– v
7
v
3
– v
4
v
3
– v
5
v
1
– v
2
v
1
– v
4
v
6
– v
8
v
7
– v
8
v
5
– v
6
v
6
– v
7
3 4
5 5
5 15
15 15
15 15
18
a. Graph berlabel untuk menyatakan jaringan listrik di 8 kota dapat digambarkan
pada Gambar 2.2. di bawah ini. Angka dalam kurung menyatakan bobot edge yang bersangkutan. Bobot tersebut menyatakan biaya pengadaan jaringan listrik.
Gambar 2.2.Graph Jaringan listrik di 8 kota
v
1
v
4
v
6
v
8
v
7
v
2
v
3
v
5
e
2
5 e
3
15
e
5
15 e
6
18 e
7
4 e
8
5 e
9
5 e
4
3 e
1
15
e
10
15
e
11
15
Universitas Sumatera Utara
b. Matriks hubung untuk menyatakan graph berlabel pada Gambar 2.2. adalah
matriks A = a
ij
dengan a
ij
= Jarak verteks v
i
dengan v
j
di mana ada edge yang menghubungkan verteks v
i
dengan v
j
∞ di mana tidak ada edge yang menghubungkan
verteks v
i
dengan v
j
di mana i = j
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
7
v
8
v
1
15 ∞
15 ∞
∞ ∞
∞ v
2
15 3
∞ ∞
∞ ∞
∞ v
3
∞ 3
5 5
∞ ∞
∞ A =
v
4
15 ∞
5 ∞
4 ∞
∞ v
5
∞ ∞
5 ∞
15 ∞
∞ v
6
∞ ∞
∞ 4
15 18
15 v
7
5 ∞
∞ ∞
∞ 18
15 v
8
∞ ∞
∞ ∞
∞ 15
15
Misalkan G adalah sebuah graph berarah. Sebuah edge berarah e = [u,v] dikatakan mulai pada verteks awal u dan berahkhir di verteks akhir v, u dan v
dikatakan adjacent.
Definisi 2.3. Derajat luar dari v, outdeg v adalah jumlah edge yang berawal pada v,
dan derajat dalam dari v indeg v adalah jumlah edge yang berakhir di v. Jika setiap edge mulai dan berakhir pada suatu verteks, maka jumlah derajat-dalam
dan jumlah derajat-luar harus sama dengan n, yaitu jumlah edge pada G.
Definisi 2.4. Sebuah verteks v di G disebut sumber source bila mempunyai derajat-
luar positif tetapi derajat-dalam nol. Sedangkan, v disebut tujuan sink jika v mempunyai derajat-dalam positif tetapi derajat-luar nol.
Perhatikan Gambar 2.3.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.3. Graph G dengan 7 verteks
Gambar 2.3. di atas terdiri dari: Verteks
A B
C D
E F
G Derajat-dalam indegree
2 2
4 1
1 2
Derajat-luar outdegree 4
1 3
3 1
Jumlah derajat dalam dan jumlah derajat luar sama dengan 12 yaitu jumlah arc.
Pada Gambar 2.3. Verteks A adalah sumber source karena edgenya berawal pada A tetapi tidak berakhir di A. Sedangkan C dan D adalah verteks tujuan sink
karena edgenya berakhir di C dan di D tetapi tidak berawal di verteks itu.
2.3. Path Minimum
Kategori