BAB 3
PEMBAHASAN
3.1. Out-Of-Kilter pada Permasalahan Minimal Cost Dalam Network Flow
Bentuk umum dari masalah aliran minimal cost dapat dituliskan sebagai berikut.
Minimumkan
∑∑
= =
m i
m j
ij ij
x c
1 1
Kendala
∑ ∑
= =
= −
m j
m k
ki ij
x x
1 1
i = 1, 2, ...,m x
ij
≥ l
ij
i,j = 1, 2, …,m x
ij
≤ u
ij
i,j = 1, 2, …,m
3.1
Kekekalan aliran yang memenuhi pada batasan tetap l
ij
≤ x
ij
≤ u
ij
adalah feasible flowAliran yang layak. Asumsikan c
ij
, l
ij
, dan u
ij
integer dan 0 ≤ l
ij
≤ u
ij
.
Karena semua nilai di sisi kanan pada persamaan kekekalan aliran adalah nol, dapat disimpulkan bahwa aliran dalam network tidak mempunyai titik awal atau titik
akhir, tapi akan beredarberputar terus-menerus sepanjang aliran pada network tersebut. Dengan demikian kekekalan aliran dalam network akan membentuk directed
cycles.
3.1.1. Dual pada Aliran Network
Hubungkan variabel dual w
i
dengan beberapa node pada Persamaan 3.1, variabel dual h
ij
dengan batasan x
ij
≤ u
ij
yang mana ditetapkan - x
ij
≥ - u
ij
untuk mencari dual, dan
Universitas Sumatera Utara
variabel dual v
ij
dengan batasan x
ij
≥ l
ij
, dual dari out-of-kilter pada permasalahan aliran network minimal cost dituliskan sebagai berikut.
Minimumkan
∑∑
= =
m i
m j
ij ij
v l
1 1
-
∑∑
= =
m i
m j
ij ij
h u
1 1
Kendala w
i
– w
j
+ v
ij
– h
ij
= c
ij
i, j = 1,…, m h
ij
,v
ij
≥ 0 i, j = 1,…, m
w
i
tak terbatas i = 1,…, m
Jika w
i
asumsikan semua w
i
integer, maka dual constraint untuk arc i, j menjadi
v
ij
– h
ij
= c
ij
– w
i
+ w
j
, h
ij
≥ 0, v
ij
≥ 0 dan dapat dipenuhi oleh
v
ij
= Maksimum {0, c
ij
- w
i
+ w
j
} h
ij
= Maksimum {0, - c
ij
- w
i
+ w
j
}
3.1.2. Kondisi-kondisi Complementary Slackness
Kondisi-kondisi complementary slackness untuk mendapatkan nilai yang optimal dari perumusan out-of-kilter adalah sebagai berikut:
x
ij
– l
ij
v
ij
= 0 i,j = 1, 2,…, m
3.2 u
ij
– x
ij
v
ij
= 0 i,j = 1, 2,…, m
3.3 z
ij
– c
ij
≡ w
i
– w
j
- c
ij
. Kemudian dari definisi v
ij
dan h
ij
didapat v
ij
= Maksimum {0, -zij – c
ij
} 3.4
h
ij
= Maksimum {0, zij – c
ij
} 3.5
Catatan bahwa z
ij
– c
ij
akan dikenal sebagai koefisien x
ij
dalam barisan fungsi objektif pada tabel simpleks batas atas-batas bawah yang mempunyai solusi dasar pada
masalah primal.
Bila diberikan nilai pada w
i
, maka dapat dihitung z
ij
– c
ij
= w
i
– w
j
- c
ij.
Jika melihat persamaan pada 3.4 dan 3.5, maka kondisi complementary slackness 3.2
dan 3.3 diperoleh
Universitas Sumatera Utara
z
ij
– c
ij
0 v
ij
0 x
ij
= l
ij
i, j = 1, 2,..., m 3.6
z
ij
– c
ij
0 h
ij
0 x
ij
= u
ij
i, j = 1, 2,..., m 3.7
Memasukkan kondisi tambahan z
ij
– c
ij =
0 l
ij
≤ x
ij
≤ u
ij
i, j = 1, 2,..., m 3.8
Beberapa kekekalan aliran conserving flow yang memenuhi 3 tiga kondisi di atas akan optimal. Permasalahannya, bagaimana mencari atas nilai-nilai dari w
i
kekekalan x
ij
sampai tiga kondisi di atas terpenuhi. Lihat Gambar 3.1a. Ambil untuk tiap-tiap w
i
= 0, dan kekekalan aliran tiap-tiap x
ij
, Agar dapat memeriksa nilai yang optimal. Gambar 3.1b memberikan nilai z
ij
– c
ij,
x
ij,
dan w
i
pada network yang ada di Gambar 3.1a. Pada Gambar 3.1b dapat dilihat bahwa z
12
– c
12
= -2 dan x
12
= 0 = l
12
dan demikian arc 1, 2 disebut menjadi in-kilter, pada sisi lain, z
23
– c
23
= 3 dan x
23
= 0 u
23
dan karena itu arc 2, 3 disebut menjadi out-of-kilter.
a b
Gambar 3.1a. Network Gambar 3.1b w
i
, z
ij
– c
ij
, x
ij
2
3 1
4
0, 2, 2
0, 5, -1 0, 6, -3
0, 3, 0 l
ij
, u
ij
, c
ij
1, 2, 5
2
4 1
3
z
12
– c
12
= -2
z
34
– c
34
= 1 z
23
– c
23
= 3 z
41
– c
41
= 0 w
1 =
w
2 =
w
3 =
w
4 =
x
12 =
x
23 =
x
34 =
x
41 =
x
13 =
z
13
– c
13
= -5
Universitas Sumatera Utara
3.1.3. Status Kilter dan Bilangan Kilter pada Arc
Kategori