e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
e
8
v
1
1 1
1 1
v
2
1 1
A = v
3
1 1
1 1
v
4
1 1
1 v
5
1 1
1
2.5. Shortest Path
Setiap path dalam digraph mempunyai nilai yang dihubungkan dengan nilai path tersebut, yang nilainya adalah jumlah dari nilai edge path tersebut. Dari ukuran dasar
ini dapat dirumuskan masalah seperti “ mencari lintasan terpendek antara dua verteks dan meminimumkan biaya”.
Banyak bidang penerapan mensyaratkan untuk menentukan lintasan terpendek berarah dari asal ke tujuan di dalam suatu distribusi aliran berarah. Algoritma yang
diberikan dapat dimodifikasi dengan mudah untuk menghadapi lintasan berarah pada setiap iterasinya.
Suatu versi yang lebih umum dari masalah lintasan terpendek adalah menentukan lintasan terpendek dari sembarang verteks menuju ke setiap verteks
lainnya. Pilihan lain adalah membuang kendala tak negatif bagi “jarak”. Suatu kendala lain dapat juga diberlakukan dalam suatu masalah lintasan terpendek.
Definisi 2.10. Lintasan terpendek antara dua verteks dari s ke t dalam network adalah
lintasan graph berarah sederhana dari s ke t dengan sifat di mana tidak ada lintasan lain yang memiliki nilai terendah.
Universitas Sumatera Utara
Contoh 2.4.
Gambar 2.6. Shortest path garis tebal
Pada Gambar 2.6. dapat dilihat bahwa setiap edge terletak pada path-path dari titik 1 ke titik 5. Edge merepresentasikan saluran dengan kapasitas tertentu
contohnya, air dapat dialirkan melalui saluran. Sedangkan verteks merepresentasikan persimpangan saluran. Air mengalir melalui verteks pada verteks yang dilalui
Lintasan terpendek dari verteks pada graph di atas adalah P = {1 – 4, 4 – 5} dengan kapasitas 4.
2.6. Linear Programming
Perumusan linear programming dapat membantu prosedur penyelesaian lebih efisien. Berikut ini adalah bentuk umum linear programming.
Minimumkan
n n
x c
x c
x c
+ +
+ ...
2 2
1 1
1 Dengan kendala
1 1
2 12
1 11
... b
x a
x a
x a
n n
= +
+ +
2
2 2
2 22
1 21
... b
x a
x a
x a
n n
= +
+ +
. .
m n
mn m
m
b x
a x
a x
a =
+ +
+ ...
2 2
1 1
...,
, 2
, 1
≥
n
x x
x
3
3
5
2
X
7
3 X
5
4
1 2
4
X
2
X
4
1 3
X
3
1 X
6
5 X
8
2 X
1
Universitas Sumatera Utara
Pada program linear ini, x
1
, x
2
, … , x
n
mewakili keputusan variabel yang tidak diketahui; c
1,
c
2,
… , c
n
adalah biaya koefisien; b
1
, b
2,
… , b
n
adalah nilai di samping kanan; dan a
ij
, i = 1 sampai m dan j = 1 sampai n, dinamakan koefisien teknologi.
Pernyataan 1 dinamakan fungsi objektif; 2 dinamakan kendala; dan 3 adalah kendala tidak negatif. Beberapa penyelesaian memenuhi semua kendala,
dinamakan feasible solution.
Pada perumusan ini, kendala ditulis dalam bentuk persamaan. Umumnya, kendala linear programming mempunyai relasi ≥ atau ≤ tetapi selalu dapat diubah
dalam persamaan dengan penjumlahan slack variabel. Fungsi objektif 1 juga dapat diekspresikan sebagai maksimum sebagai pengganti minimum.
Dapat dirumuskan menjadi: Minimumkan
∑
= n
j j
j
x c
1
Dengan kendala
,
1 i
n j
j ij
b x
a =
∑
=
m i
,..., 2
, 1
=
, ≥
j
x m
j ,...,
2 ,
1 =
2.7. Flow
Kategori