Pada program linear ini, x
1
, x
2
, … , x
n
mewakili keputusan variabel yang tidak diketahui; c
1,
c
2,
… , c
n
adalah biaya koefisien; b
1
, b
2,
… , b
n
adalah nilai di samping kanan; dan a
ij
, i = 1 sampai m dan j = 1 sampai n, dinamakan koefisien teknologi.
Pernyataan 1 dinamakan fungsi objektif; 2 dinamakan kendala; dan 3 adalah kendala tidak negatif. Beberapa penyelesaian memenuhi semua kendala,
dinamakan feasible solution.
Pada perumusan ini, kendala ditulis dalam bentuk persamaan. Umumnya, kendala linear programming mempunyai relasi ≥ atau ≤ tetapi selalu dapat diubah
dalam persamaan dengan penjumlahan slack variabel. Fungsi objektif 1 juga dapat diekspresikan sebagai maksimum sebagai pengganti minimum.
Dapat dirumuskan menjadi: Minimumkan
∑
= n
j j
j
x c
1
Dengan kendala
,
1 i
n j
j ij
b x
a =
∑
=
m i
,..., 2
, 1
=
, ≥
j
x m
j ,...,
2 ,
1 =
2.7. Flow
Definisi 2.10 Suatu flow pada network G = N,A adalah suatu graph berarah dan
berkapasitas, di mana setap arcx,y Є A memiliki kapasitas nonnegative cx,y ≥ 0. Jika x,y
Є A, maka diasumsikan cx,y = 0.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.7. Flow dalam network
Gambar 2.7 memperlihatkan bahwa setiap arc terletak pada tiap-tiap node dari sumber s ke tujuan t. Arc menggambarkan saluran dengan kapasitas tertentu.
Kapasitas merupakan batas maksimal di mana setiap material misalnya air, gas, listrik dapat dialirkan melalui saluran. Sedangkan node menggambarkan
persimpangan saluran. Material mengalir melalui node tanpa mengumpulkan material tersebut pada node yang dilalui kecuali pada node sumber dan node tujuan.
2.8. Minimal Cost Flow
Definisi 2.11 Cost flow pada arc dalam network flow dengan arc cost adalah perkalian
antara arc-arc flow dan cost. Cost pada flow adalah jumlah dari cost flow pada arc.
Andaikan sebuah directed network jaringan berarah G, terdiri atas beberapa node titik N = {1,2,…,m dan beberapa directed arcs busur berarah S = {i,j,
k,l,…,s,t} dan saling terhubung pada node N. Arc i,j disebut incident peristiwa dari node i dan j dan terhubung dari node i ke node j. Dengan demikian diperoleh
bahwa network memiliki m node dan n arc.
Untuk setiap node i dalam network G, misalkan jumlah b
i
adalah ketersediaan barang b
i
0 atau permintaan barang b
i
0. Node dengan b
i
0 sering disebut sources sumber, dan node dengan b
i
0 sering disebut tujuan sinks. Jika b
i
= 0, s
t
V2 V1
V4 V3
8
6 6
6 6
8 5
4 a
2
a
1
a
3
a
6
a
5
a
4
a
7
a
9
a
8
Universitas Sumatera Utara
maka tidak ada barang yang tersedia pada node i dan tidak diperlukan. Pada permasalahan ini node i sering disebut intermediate perantara node. Untuk setiap arc
i,j pada x
ij
adalah jumlah aliran pada arc asumsikan 0 ≤ x
ij
dan c
ij
adalah biaya pengiriman sepanjang arc.
Asumsikan bahwa total penyediaan barang sama dengan total permintaan di dalam network. Secara matematika dapat dituliskan sebagai berikut.
Minimumkan
∑∑
= =
m i
m j
ij ij
x c
1 1
Kendala
∑ ∑
= =
= −
m j
m k
ki ij
x x
1 1
b
i
i = 1, 2, ...,m x
ij
≥ 0 i,j = 1, 2, …,m
2.1
Persamaan 2.1 disebut flow conservation atau persamaan Kirchhoff . Di dalam persamaan kekekalan, menunjukkan jumlah aliran yang keluar dari node i
sedangkan menunjukkan jumlah aliran yang masuk ke node i. Persamaan tersebut
mengharuskan aliran yang keluar dari node i, , akan sama dengan b
i.
Jika b
i
0, maka akan lebih banyak aliran yang masuk pada node i dari pada yang keluar.
∑
= m
j ij
x
1
∑
= m
k ki
x
1
∑ ∑
= =
−
m j
m k
ki ij
x x
1 1
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
PEMBAHASAN
3.1. Out-Of-Kilter pada Permasalahan Minimal Cost Dalam Network Flow
