Produk Silang PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA.

Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu BAB 3 PRODUK SILANG DAN PENDAHULUAN ALJABAR TOEPLITZ Pada bab ini diberikan salah satu konsep aljabar- yaitu produk silang dari suatu sistem dinamik. Selanjutnya dibahas beberapa konsep aljabar Toeplitz sebagai materi pendukung yang masih berhubungan dengan konsep produk silang.

3.1. Produk Silang

Sebelum diberikan definisi suatu produk silang dari sistem dinamik, akan dibahas konsep-konsep yang terkait dengan produk silang terlebih dahulu. Definisi 3.1.1: Aksi Grup pada Himpunan. Hungerford, 1974: 88 Misal suatu grup dan � suatu himpunan. Aksi dari pada � adalah pemetaan , ⟼ dari × � ⟶ � sedemikian sehingga: i. id � = , ∀ �, id � elemen satuan di . ii. = , ∀ , , �. Jika terdapat pemetaan seperti diatas, maka dikatakan beraksi pada �. Contoh dari aksi grup pada himpunan adalah aksi grup pada aljabar- seperti yang didefinisikan sebagai berikut. Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Definisi 3.1.2: Aksi Grup pada Aljabar- � Misal suatu grup, suatu aljabar- dan definisikan ≔ {�: ⟶ | � isomorfisma − }. Aksi dari pada adalah homomorfisma grup : ⟶ yang membawa ⟼ , ∀ . Definisi 3.1.3: Sistem Dinamik Misal suatu grup, suatu aljabar- dan : ⟶ aksi dari pada . Sistem , , dikatakan sebagai sistem dinamik jika terdapat homomorfisma aksi yang menghubungkan dua himpunan yang berbeda strukturnya, yaitu dan . Contoh 3.1.4. 1 Misal � himpunan fungsi-fungsi kontinu : � ⟶ ℂ, dan suatu homomorfisma yang didefinisikan dengan � = − ��� , ∀ ℤ, �, � . � , ℤ, α adalah suatu sistem dinamik. 2 Definisikan ℝ himpunan fungsi-fungsi kontinu : ℝ ⟶ ℂ yang vanish at infinity : untuk setiap � 0 terdapat himpunan kompak ,� ⊂ ℝ, sedemikian sehingga | | � untuk setiap ,� . ℝ adalah suatu aljabar- tanpa satuan. Conway, 1999: 2 Misal untuk setiap ℝ dan ℝ, definisikan � � ≔ −� , ∀ ℝ. 1 Akan ditunjukkan � yang didefinisikan � ≔ −� , ∀ ℝ adalah unsur di ℝ . - Akan ditunjukkan lim →±∞ � = lim →±∞ −� = 0. Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Jika → ∞, karena −� suatu konstanta positif, maka −� → ∞. Akibatnya lim →∞ −� = lim →∞ = 0. Jika → −∞, maka lim →−∞ −� = lim →−∞ = 0. Jadi lim →±∞ � = 0. - Akan ditunjukkan � kontinu. Misal ℝ. Akan ditunjukkan � kontinu di . Ambil � barisan Cauchy di ℝ sedemikian sehingga � → . Akan ditunjukkan � � ⟶ � . Misal � = � −� . Karena � → , maka � → −� . Karena kontinu, maka � → −� = � . Di lain pihak, � � = � −� = � . Jadi � � ⟶ � , dengan kata lain � kontinu di . 2 Akan ditunjukkan pemetaan � � dimana � � = � adalah sebuah automorfisma- dari ℝ ke ℝ . - Akan ditunjukkan � � homomorfisma- . i � � + = + � = + −� = −� + −� = � � + � � = � � + � � , ∀ ℝ Jadi � � + = � � + � � . ii � � = � = −� = −� −� = � � � � = � � � � , ∀ ℝ Jadi � � = � � � � . iii � � = � = −� = � � , ∀ ℝ Jadi � � = � � . Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu iv � � = � = −� = −� ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = � � ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = � � , ∀ ℝ Jadi � � = � � . - Akan ditunjukkan � � 1-1. Ambil , ℝ sedemikian sehingga � � = � � . Perhatikan � � = � � , ∀ ℝ ⟺ −� = −� , ∀ ℝ ⟺ � −� = � −� , ∀ ℝ ⟺ = , ∀ ℝ Jadi = . - Akan ditunjukkan � � pada. Ambil sembarang fungsi ℝ . Akan ditunjukkan terdapat ℝ dimana = � � sedemikian sehingga ∀ ℝ berlaku � � = � = −� = . Pilih = � , ∀ ℝ. Diperoleh � � = � = −� = � −� = . Jadi � � pada. Jadi � � automorfisma- . 3 Akan ditunjukkan pemetaan → � � homomorfisma grup, dengan demikian diperoleh aksi �: ℝ ⟶ ℝ ⟼ � � = −� , ∀ ℝ. Misalkan �: → � � . - Akan ditunjukkan � pemetaan. Misalkan , ℝ dengan = . Perhatikan Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu = ⟺ − � = −� ⟺ − � = −� ⟺ − � = −� ⟺ − � = −� ⟺ � � = � � , ∀ ℝ. Jadi � pemetaan. - Akan ditunjukkan � homomorfisma. Ambil sembarang , ℝ. Perhatikan � � +� = � +� = − � +� = −� −� = −� −� = � � � = � � � � , ∀ ℝ, ℝ . Jadi � � +� = � � � � , ∀ ℝ . Jadi, � homomorfisma grup. Berdasarkan 1, 2 dan 3, � sebuah aksi dari ℝ ke ℝ melalui automorfisma. Jadi, �: ℝ ⟶ ℝ ⟼ � � = −� , ∀ ℝ adalah sebuah aksi dari ℝ pada aljabar- ℝ melalui automorfisma. Dengan demikian, ℝ , ℝ, � adalah sebuah sistem dinamik. Definisi 3.1.5: Representasi Kovarian dari Sistem Dinamik Misal , , adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar- , grup dan aksi . Representasi kovarian dari , , adalah pasangan , dimana : ⟶ adalah representasi non-degenerate dari ke dimana seperti yang didefinisikan pada Definisi 2.6.3, dan : ⟶ representasi Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu uniter dari ke himpunan operator-operator linier terbatas uniter yang memenuhi kondisi kovarian berikut: � = � , ∀ , � . Contoh 3.1.6. Williams, 1952: 45 Misal ℎ suatu homeomorfisma dari � ke �, adalah “rotasi oleh �”: yaitu, ℎ ≔ − ��� , ∀ � dan misal � , ℤ, α adalah sistem dinamik dengan aksi � = − ��� , ∀ ℤ, �, � . Misal : Τ → Τ representasi yang didefinisikan oleh perkalian titik demi titik: ℎ ≔ ℎ , dan misal : ℤ → Τ representasi uniter yang didefinisikan dengan � ℎ ≔ ℎ − ��� . Akan ditunjukkan bahwa , adalah representasi kovarian dari � , ℤ, α . Perhatikan � � ℎ = � ℎ − ��� = − ��� � ℎ − ��� = � ℎ = � ℎ Jadi , adalah representasi kovarian dari � , ℤ, α . Iain Raeburn dalam papernya On Crossed Products and Takai Duality 1988 memandang produk silang dari sistem dinamik , , sebagai suatu Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu aljabar- yang representasinya berkorespondensi satu-satu dengan representasi kovarian dari , , . Definisi 3.1.7: Produk Silang dari Sistem Dinamik Misal , , adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar- , grup dan aksi . Produk silang dari , , adalah sistem , � , � yang terdiri dari aljabar- aljabar- dinotasikan dengan × � , representasi � : ⟶ , dan representasi � : ⟶ yang memenuhi: i. � , � adalah kovarian; yaitu, memenuhi � � = � � � � , ∀ , � ; ii. Aljabar- memiliki sifat universal, yaitu: untuk setiap representasi kovarian , dari , , terdapat representasi unital unik × dari sedemikian sehingga × � = dan × � = ; iii. dibangun oleh { � � ∶ � } ∪ { � ∶ }. Eksistensi suatu produk silang dari sistem dinamik dan keunikannya diuraikan dalam proposisi berikut. Proposisi 3.1.8. Raeburn, 1988: 324 1 Jika , � , � dan , � , � keduanya adalah produk silang dari , , , terdapat isomorfisma � dari ke sedemikian sehingga � � = � dan � � = � . 2 Terdapat produk silang untuk setiap sistem dinamik. Setiap representasi non-degenerate dari × � memiliki bentuk × dimana , representasi kovarian dari , , . Homomorfisma � dan � adalah injektif. Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

3.2. Pendahuluan Aljabar Toeplitz