PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA.
PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi sebagian syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika Konsentrasi Aljabar
Oleh
Ishma Fadlina Urfa 1005324
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
(2)
PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Oleh
Ishma Fadlina Urfa
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Ishma Fadlina 2014 Universitas Pendidikan Indonesia
Juli 2014
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian,
(3)
ISHMA FADLINA URFA
PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
disetujui dan disahkan oleh pembimbing:
Pembimbing I
Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si. NIP. 196901191993031001
Pembimbing II
Isnie Yusnitha, S.Si, M. Ed. NIP. 19850609201212202
Mengetahui
Ketua Jurusan Pendidikan Matematika
Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D. NIP. 196101121987031003
(4)
DAFTAR ISI
LEMBAR PERNYATAAN ... i
ABSTRAK ... ii
KATA PENGANTAR ... iii
DAFTAR ISI ... vi
BAB 1 PENDAHULUAN ... 1
1.1. Latar Belakang ... 1
1.2. Rumusan Masalah ... 2
1.3. Tujuan Penelitian ... 3
1.4. Sistematika Penulisan ... 3
BAB 2 KONSEP DASAR ALJABAR OPERATOR ... 4
2.1. Ruang Vektor Kompleks ... 4
2.2. Ruang Metrik ... 4
2.3. Ruang Vektor Bernorm ... 6
2.4. Ruang Hasil Kali Dalam ... 11
2.5. Ruang Hilbert ... 12
2.6. Operator di Ruang Hilbert ... 13
2.7. Keortogonalan, Proyeksi Ortogonal ... 18
2.8. Aljabar- ∗ ... 22
(5)
2.10. Grup Terurut ... 30
BAB 3 PRODUK SILANG DAN PENDAHULUAN ALJABAR TOEPLITZ ... 31
3.1. Produk Silang ... 31
3.2. Pendahuluan Aljabar Toeplitz ... 38
BAB 4 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA……….. 41 4.1. Produk Silang Atas Semigrup Endomorfisma ... 41
4.2. Konstruksi Sistem Dinamik Γ+, Γ+, � ... 43
4.3. Produk Silang Γ+×�Γ+ dari Sistem Dinamik Γ+, Γ+, � ……….. 47
BAB 5 PENUTUP ... 59
5.1. Simpulan ... 59
5.2. Saran ... 60
(6)
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Aljabar- ∗ merupakan objek utama dalam aljabar operator. Produk silang merupakan salah satu bentuk aljabar- ∗ yang merupakan “gabungan” dari dua objek berbeda, misal aljabar- ∗ dengan grup, yang dihubungkan oleh suatu pemetaan. Kedua objek dan pemetaan tersebut tergabung dalam suatu sistem yang disebut sistem dinamik. Kajian sistem dinamik dan produk silang merupakan topik yang cukup menarik dan memberikan warna perkembangan pada teori aljabar operator. Hal ini ditandai dengan banyaknya peneliti yang mengkaji masalah sistem dinamik dan produk silang dengan berbagai versi, diantaranya Murphy (1987, 1990, 1991), Stacey (1993), Adji dkk. (1994), Adji (2000), Adji dan Rosjanuardi (2007), Rosjanuardi dan Albania (2012), dan lain-lain.
Misal suatu grup abelian terurut total dengan + adalah bagian positifnya dan suatu aljabar- ∗. Sistem , +, � dikatakan sebagai sistem
dinamik jika terdapat pemetaan yang “menghubungkan” semigrup + dengan aljabar- ∗ , yaitu homomorfisma � dari + ke Endo( . Sistem dinamik , +, � mempunyai representasi kovarian, yaitu pasangan �, � dimana �: ⟶ adalah representasi nondegenerate dari pada (dalam kasus unital, � adalah representasi unital), dan �: + ⟶ Isom representasi isometrik dari pada yang memenuhi kondisi kovarian: �(�� � ) = ��� � ��∗, ∀� ∈ , � ∈ . Selanjutnya dari representasi kovarian tersebut dapat dibentuk suatu representasi terbesar (kanonik) yang membangun aljabar- ∗ baru yang dibentuk dari sistem dinamik , +, � . Notasikan aljabar- ∗ tersebut dengan ×� +, yaitu produk silang dari , +, � . Jika representasi � dari semigrup + merupakan representasi isometrik, maka singkatnya ×� + menjadi suatu aljabar- ∗ yang dibangun oleh unsur isometri.
(7)
Pada tahun 1967, Coburn dalam papernya The ∗-Algebra Generated by An Isometry I mengenalkan suatu aljabar- ∗ yang dibangun oleh unsur isometri nonuniter untuk kasus grup = ℤ. Teori tersebut kemudian dikembangkan oleh Douglas pada tahun 1972. Ia memperluas suatu aljabar- ∗ yang dibangun oleh semigrup-semigrup isometri, dimana semigrupnya adalah bagian positif dari ℝ. Selanjutnya pada tahun 1987, Murphy mengembangkan semigrup yang digunakan Douglas menjadi bagian positif dari suatu grup terurut abelian total. Dalam papernya Ordered Groups and Toeplitz Algebra, ia mengenalkan kelas baru dari aljabar- ∗ yang mempunyai sifat yang menarik. Untuk setiap grup terurut , terdapat aljabar- ∗ yang berasosiasi, yaitu aljabar Toeplitz � dari grup terurut . Aljabar Toeplitz � tersebut memiliki sifat universal terhadap semigrup isometri dari +.
Adji, Laca, Nielsen dan Raeburn dalam papernya Crossed Products by Semigroups of Endomorphisms and The Toeplitz Algebras of Ordered Groups
(1994) membuktikan bahwa aljabar Toeplitz � yang dikaji oleh Murphy adalah isomorfik dengan aljabar- ∗ yang dibangun oleh isometri yaitu produk silang Γ+×�Γ+ atas semigrup endomorfisma sebagai akibat dari teorema utamanya. Dalam tugas akhir ini, penulis tertarik untuk mengkaji bentuk, eksistensi, serta keuniversalan produk silang Γ+×�Γ+ dari sistem dinamik yang mencakup aljabar- ∗ Γ+, semigrup Γ+ dari grup terurut abelian total Γ dan aksi � oleh endomorfisma.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian diatas, masalah yang dikaji dalam tugas akhir ini adalah:
1.2.1. Bagaimanakah konstruksi sistem dinamik Γ+, Γ+, � ?
1.2.2. Bagaimanakah konstruksi eksistensi representasi kovarian dari sistem dinamik Γ+, Γ+, � serta bentuk produk silang Γ+×�Γ+?
(8)
1.2.3. Bagaimana hubungan produk silang Γ+ ×�Γ+ dengan aljabar- ∗ yang dibangun oleh representasi isometrik non-uniter?
1.3 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan rumusan masalah diatas, maka tujuan dari penelitian ini adalah untuk:
1.3.1. Mengetahui konstruksi sistem dinamik Γ+, Γ+, � .
1.3.2. Mengetahui konstruksi eksistensi representasi kovarian dari sistem dinamik Γ+, Γ+, � serta bentuk produk silang Γ+×�Γ+.
1.3.3. Mengetahui hubungan produk silang Γ+×�Γ+ dengan aljabar- ∗ yang dibangun oleh representasi isometrik non-uniter.
1.4. Sistematika Penulisan
Pada BAB 1, diuraikan latar belakang dan permasalahan yang akan dikaji dalam tugas akhir ini. Kemudian pada BAB 2, diberikan konsep-konsep dasar aljabar operator sebagai materi penunjang dalam pengkajian permasalahan yang diangkat. Pada BAB 3, diuraikan konsep sistem dinamik, produk silang umum dari sistem dinamik, aljabar Toeplitz konkrit atas grup terurut dan aljabar Toeplitz abstrak atas grup terurut. BAB 4 berisi bahasan utama pada tugas akhir ini, yaitu produk silang atas semigrup endomorfisma Γ+×�Γ+. Terakhir, pada BAB 5
diberikan simpulan atas permasalahan yang diangkat serta rekomendasi dari penulis.
(9)
BAB 3
PRODUK SILANG DAN PENDAHULUAN
ALJABAR TOEPLITZ
Pada bab ini diberikan salah satu konsep aljabar- yaitu produk silang dari suatu sistem dinamik. Selanjutnya dibahas beberapa konsep aljabar Toeplitz sebagai materi pendukung yang masih berhubungan dengan konsep produk silang.
3.1. Produk Silang
Sebelum diberikan definisi suatu produk silang dari sistem dinamik, akan dibahas konsep-konsep yang terkait dengan produk silang terlebih dahulu.
Definisi 3.1.1: Aksi Grup pada Himpunan. (Hungerford, 1974: 88)
Misal suatu grup dan � suatu himpunan. Aksi dari pada � adalah pemetaan , ⟼ dari × � ⟶ � sedemikian sehingga:
i. id� = , ∀ �, id� elemen satuan di .
ii. = , ∀ , , �.
Jika terdapat pemetaan seperti diatas, maka dikatakan beraksi pada �.
Contoh dari aksi grup pada himpunan adalah aksi grup pada aljabar-seperti yang didefinisikan sebagai berikut.
(10)
Definisi 3.1.2: Aksi Grup pada Aljabar-�
Misal suatu grup, suatu aljabar- dan definisikan ≔ {�: ⟶
| � isomorfisma − }. Aksi dari pada adalah homomorfisma grup : ⟶
yang membawa ⟼ , ∀ .
Definisi 3.1.3: Sistem Dinamik
Misal suatu grup, suatu aljabar- dan : ⟶ aksi dari pada . Sistem , , dikatakan sebagai sistem dinamik jika terdapat homomorfisma (aksi) yang menghubungkan dua himpunan yang berbeda strukturnya, yaitu dan .
Contoh 3.1.4.
1)Misal � himpunan fungsi-fungsi kontinu : � ⟶ ℂ, dan suatu homomorfisma yang didefinisikan dengan
� = ( − ��� ), ∀ ℤ, �, � .
� , ℤ, α adalah suatu sistem dinamik.
2) Definisikan ℝ himpunan fungsi-fungsi kontinu : ℝ ⟶ ℂ yang vanish at infinity: untuk setiap � > 0 terdapat himpunan kompak ,� ⊂ ℝ, sedemikian sehingga | | < � untuk setiap ,�. ℝ adalah suatu aljabar- tanpa satuan. (Conway, 1999: 2)
Misal untuk setiap ℝ dan ℝ, definisikan
�� ≔ −� , ∀ ℝ.
1) Akan ditunjukkan � yang didefinisikan � ≔ −� , ∀ ℝ adalah unsur di ℝ .
- Akan ditunjukkan lim
→±∞ � = lim→±∞
(11)
Jika → ∞, karena −� suatu konstanta positif, maka −� → ∞. Akibatnyalim
→∞ −� = lim→∞ = 0. Jika → −∞, maka
lim
→−∞ −� = lim→−∞ = 0. Jadi lim→±∞ � = 0.
- Akan ditunjukkan � kontinu.
Misal ℝ. Akan ditunjukkan � kontinu di . Ambil � barisan Cauchy di ℝ sedemikian sehingga � → . Akan ditunjukkan � � ⟶ � . Misal � = � −�. Karena � → , maka � →
−�. Karena kontinu, maka
� → −� = � . Di lain pihak, � � = � −� = � . Jadi � � ⟶ � , dengan kata lain � kontinu di .
2) Akan ditunjukkan pemetaan �� dimana �� = � adalah sebuah automorfisma- dari ℝ ke ℝ .
- Akan ditunjukkan �� homomorfisma- .
(i) �� + = + �
= + −�
= −� + −�
= �� + ��
= (�� + �� ) , ∀ ℝ
Jadi �� + = �� + �� .
(ii) �� = �
= −� = −� −� = �� ��
= �� �� , ∀ ℝ Jadi �� = �� �� .
(iii) �� = �
= −�
= �� , ∀ ℝ Jadi �� = �� .
(12)
(iv) �� = � = −� =̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅−� = ��̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= �� , ∀ ℝ Jadi �� = �� .
- Akan ditunjukkan �� 1-1.
Ambil , ℝ sedemikian sehingga �� = �� . Perhatikan
�� = �� , ∀ ℝ
⟺ −� = −� , ∀ ℝ ⟺ � −� = � −� , ∀ ℝ ⟺ = , ∀ ℝ Jadi = .
- Akan ditunjukkan �� pada.
Ambil sembarang fungsi ℝ . Akan ditunjukkan terdapat ℝ dimana = �� sedemikian sehingga ∀ ℝ berlaku
�� = � = −� = .
Pilih = � , ∀ ℝ. Diperoleh
�� = � = −� = � −� = .
Jadi �� pada.
Jadi �� automorfisma- .
3) Akan ditunjukkan pemetaan → �� homomorfisma grup, dengan demikian diperoleh aksi
�: ℝ ⟶ ( ℝ )
⟼ �� = −� , ∀ ℝ. Misalkan �: → ��.
- Akan ditunjukkan � pemetaan.
(13)
= ⟺ − � = −� ⟺ − � = −� ⟺ − � = −� ⟺ − � = −�
⟺ �� = �� , ∀ ℝ. Jadi � pemetaan.
- Akan ditunjukkan � homomorfisma. Ambil sembarang , ℝ. Perhatikan
�� +� = � +�
= − � +� = −� −� = −� −� = �� �
= �� �� , ∀ ℝ, ℝ . Jadi �� +� = �� �� , ∀ ℝ .
Jadi, � homomorfisma grup.
Berdasarkan 1), 2) dan 3), � sebuah aksi dari ℝ ke ℝ melalui automorfisma. Jadi,
�: ℝ ⟶ ℝ
⟼ �� = −� , ∀ ℝ
adalah sebuah aksi dari ℝ pada aljabar- ℝ melalui automorfisma. Dengan demikian, ( ℝ , ℝ, � adalah sebuah sistem dinamik.
Definisi 3.1.5: Representasi Kovarian dari Sistem Dinamik
Misal , , adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar- , grup dan aksi . Representasi kovarian dari , , adalah pasangan , dimana
: ⟶ adalah representasi non-degenerate dari ke dimana seperti yang didefinisikan pada Definisi 2.6.3, dan : ⟶ representasi
(14)
uniter dari ke himpunan operator-operator linier terbatas uniter yang memenuhi kondisi kovarian berikut:
( � ) = � , ∀ , � .
Contoh 3.1.6. (Williams, 1952: 45)
Misal ℎ suatu homeomorfisma dari � ke �, adalah “rotasi oleh �”: yaitu,
ℎ ≔ − ��� , ∀ �
dan misal � , ℤ, α adalah sistem dinamik dengan aksi
� = ( − ��� ), ∀ ℤ, �, � .
Misal : Τ → ( Τ ) representasi yang didefinisikan oleh perkalian titik demi titik:
ℎ ≔ ℎ ,
dan misal : ℤ → ( Τ ) representasi uniter yang didefinisikan dengan
�ℎ ≔ ℎ( − ��� ).
Akan ditunjukkan bahwa , adalah representasi kovarian dari � , ℤ, α . Perhatikan
� � ℎ = � ℎ( − ��� )
= ( − ��� ) � ℎ( − ��� )
= � ℎ
= � ℎ
Jadi , adalah representasi kovarian dari � , ℤ, α .
Iain Raeburn dalam papernya On Crossed Products and Takai Duality
(15)
aljabar- yang representasinya berkorespondensi satu-satu dengan representasi kovarian dari , , .
Definisi 3.1.7: Produk Silang dari Sistem Dinamik
Misal , , adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar- , grup dan aksi . Produk silang dari , , adalah sistem , �, � yang terdiri dari aljabar- (aljabar- dinotasikan dengan ×� ), representasi �: ⟶
, dan representasi �: ⟶ yang memenuhi:
i. �, � adalah kovarian; yaitu, memenuhi �( � ) = � � � � ,
∀ , � ;
ii. Aljabar- memiliki sifat universal, yaitu: untuk setiap representasi kovarian , dari , , terdapat representasi unital unik × dari
sedemikian sehingga × � = dan × � = ; iii. dibangun oleh {� � ∶ � } ∪ { � ∶ }.
Eksistensi suatu produk silang dari sistem dinamik dan keunikannya diuraikan dalam proposisi berikut.
Proposisi 3.1.8. (Raeburn, 1988: 324)
1) Jika , �, � dan , �, � keduanya adalah produk silang dari
, , , terdapat isomorfisma � dari ke sedemikian sehingga �
� = � dan � � = �.
2) Terdapat produk silang untuk setiap sistem dinamik.
Setiap representasi non-degenerate dari ×� memiliki bentuk × dimana , representasi kovarian dari , , . Homomorfisma � dan � adalah injektif.
(16)
3.2. Pendahuluan Aljabar Toeplitz
Pada bab selanjutnya, akan dikaji hubungan antara produk silang atas semigrup endomorfisma dengan aljabar- yang dibangun oleh unsur-unsur isometri nonuniter. Aljabar- yang dibangun oleh unsur-unsur isometri nonuniter dapat dipandang sebagai suatu aljabar Toeplitz. Untuk itu pada subbab ini dibahas secara ringkas konsep aljabar Toeplitz atas grup terurut dan aljabar Toeplitz abstrak. Penulis mengacu pada tesis magister Aljabar Toeplitz atas Grup Terurut
karya Lindiarni (1997).
Misal Γ grup terurut. Definisikan grup dual dari Γ sebagai Γ̂ ≔ { : Γ ⟶ �: homomorfisma grup kontinu}.
Grup dual Γ̂ membentuk grup dibawah operasi perkalian titik demi titik. Dapat ditunjukkan pula bahwa Γ̂ adalah suatu grup topologi kompak. Karena Γ̂ kompak, maka (Γ̂) ≔ { : Γ̂ ⟶ ℂ} adalah aljabar- terhadap operasi tambah dan kali titik demi titik serta norm supremum.
Pandang pemetaan evaluasi
� : Γ̂ ⟶ �
⟼ � = , ∀ Γ, Γ̂.
Untuk setiap Γ, � adalah suatu homomorfisma. Kemudian dapat ditunjukkan
�� {� : Γ} adalah subaljabar- padat dari (Γ̂).
Bentuk ruang Hilbert
(Γ̂) ≔ { : Γ̂ ⟶ ℂ ∶ ∫ | | < ∞}
Γ̂
dengan adalah ukuran Haar pada Γ̂. (Γ̂) adalah ̅̅̅̅̅̅(Γ̂) terhadap norm yang dihasilkan dari hasil kali dalam:
< �, � > = ∫ ��̅}
(17)
Definisi 3.2.1. (Adji, Laca, dkk. 1994: 1140)
Himpunan {� : Γ} adalah basis ortonormal untuk (Γ̂). Definisikan Γ+ sebagai subruang tutup ̅̅̅̅̅̅̅{� :�� Γ+}. Misal � proyeksi dari (Γ̂) ke
Γ+ . Untuk setiap � (Γ̂), operator Toeplitz
� adalah operator pada Γ+ yang didefinisikan oleh
� = � � , ∀ (Γ̂), � (Γ̂). Aljabar
Toeplitz � Γ dari grup terurut Γ adalah subaljabar- dari Γ+ yang dibangun oleh operator Toeplitz { �: � (Γ̂)}.
Sebagai catatan, perhatikan bahwa karena (Γ̂) = (Γ̂)̅̅̅̅̅̅ , maka untuk setiap � (Γ̂) dan (Γ̂), � (Γ̂). Jadi dapat didefinisikan operasi perkalian di (Γ̂).
Telah diuraikan konsep aljabar Toeplitz atas suatu grup terurut. Selanjutnya, Murphy (1991) mendefinisikan aljabar Toeplitz abstrak dalam papernya Ordered Group and Toeplitz Algebra.
Definisi 3.2.2: Semigrup Isometri. (Lindiarni, 1997: 49)
Misal Γ grup terurut dan suatu aljabar- unital. Semigrup isometri di relatif terhadap Γ adalah pemetaan : Γ+ ⟶ sedemikian sehingga isometri di untuk setiap Γ+ dan + = , untuk setiap , Γ+.
Definisi 3.2.3.
Aljabar Toeplitz abstrak dari grup terurut Γ adalah aljabar- unital yang dibangun oleh , Γ+, dimana adalah semigrup isometri di Γ. Notasikan aljabar- dengan { : Γ+}.
(18)
Notasikan aljabar Toeplitz abstrak dari grup terurut Γ dengan � Γ . Muphy telah membuktikan bahwa aljabar Toeplitz dari suatu grup terurut Γ selalu ada dan bersifat universal, yang terangkum dalam teorema berikut:
Teorema 3.2.4. (Murphy, 1987: 315)
Misal � grup terurut dan : �+ ⟶ adalah semigrup isometri nonuniter di aljabar- unital . Terdapat homomorfisma- unik : � � ⟶ sedemikian sehingga = injektif, dimana : �+ ⟶ � � adalah semigrup isometri di � � .
Berdasarkan teorema diatas, dapat disimpulkan bahwa semua aljabar-yang dibangun oleh semigrup isometri nonuniter dari Γ+ dapat dipandang sebagai suatu aljabar Toeplitz � Γ .
(19)
59
BAB 5
PENUTUP
5.1. Simpulan
5.1.1. Konstruksi sistem dinamik Γ+, Γ+, � mencakup konstruksi aljabar- ∗
Γ+ dan aksi � dari semigrup Γ+ ke Endo Γ+ . Untuk setiap ∈ Γ+, definisikan 1 fungsi karakteristik dari { ∈ Γ+, ≥ }, kemudian bentuk Γ+ ≔
���
̅̅̅̅̅̅̅{1 : ∈ Γ+}.
Γ+ merupakan subaljabar- ∗ dari �∞ Γ dengan operasi
perkalian dan penjumlahan titik demi titik, norm supremum dan involusi konjugasi bilangan kompleks.
Untuk setiap ∈ Γ+, definisikan aksi
�: Γ+ ⟶ �∞ Γ
⟼ � dimana
� : �∞ Γ ⟶ �∞ Γ � ⟼ � − .
Karena Γ+ merupakan subaljabar- ∗ dari �∞ Γ , maka � dapat direstriksi ke
Γ+ ∀ ∈ Γ+; definisikan restriksi tersebut sebagai aksi �: Γ+ ⟶ Endo Γ+ . Karena terdapat aksi dari Γ+ pada Γ+ melalui endomorfisma, maka dapat dibentuk sistem dinamik Γ+, Γ+, � .
5.1.2. Misal �: �+ ⟶ Isom � representasi isometrik dari Γ+. Definisikan pemetaan linier well-defined �� pada ���{1 : ∈ Γ+} yang kemudian dapat diperluas pada Γ+ ≔ ���̅̅̅̅̅̅̅{1 : ∈ Γ+}. Karena 1 1 = 1����{ , } dan � �∗� � ∗ = �����{ , } �����{ , }∗, maka �� adalah suatu homomorfisma-*. Karena berlaku �� � (1 ) = � �� 1 �∗, maka ��, � representasi kovarian
(20)
60
pada ���{1 : ∈ Γ+}. Kemudian berdasarkan kekontinuan, ��, � adalah representasi kovarian pada Γ+. Produk silang Γ+×�Γ+ dibentuk oleh dibangun oleh {�Γ+ : ∈ Γ+}, dimana �Γ+ representasi dari Γ+ ke semigrup isometri di
Γ+×�Γ+. Lebih tepatnya, Γ+×�Γ+ ≔ ���̅̅̅̅̅̅̅{�Γ+ �Γ+ ∗: , ∈ Γ+}.
5.1.3. Untuk setiap ��, � representasi kovarian dari sistem dinamik
Γ+, Γ+, � , terdapat isomorfisma ��× � dari ∗ �+ = Γ+×�Γ+ ke ∗ � : ∈ Γ+ jika dan hanya jika � non-uniter. Jadi produk silang
Γ+×�Γ+
dapat dipandang sebagai aljabar- ∗ yang dibangun oleh unsur-unsur isometri non-uniter berdasarkan isomorfisma.
5.2. Saran
Dalam tugas akhir ini penulis mengkaji hubungan produk silang
Γ+×�Γ+ dengan aljabar- ∗ yang dibangun oleh representasi-representasi isometrik non-uniter. Untuk bahan kajian selanjutnya, dapat diteliti hubungan antara aljabar- ∗ yang dibangun oleh representasi isometrik non-uniter � dari Γ+ dengan aljabar Toeplitz � Γ atas grup terurut Γ.
(1)
aljabar- yang representasinya berkorespondensi satu-satu dengan representasi kovarian dari , , .
Definisi 3.1.7: Produk Silang dari Sistem Dinamik
Misal , , adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar- , grup dan aksi . Produk silang dari , , adalah sistem , �, � yang terdiri dari aljabar- (aljabar- dinotasikan dengan ×� ), representasi �: ⟶
, dan representasi �: ⟶ yang memenuhi:
i. �, � adalah kovarian; yaitu, memenuhi �( � ) = � � � � ,
∀ , � ;
ii. Aljabar- memiliki sifat universal, yaitu: untuk setiap representasi kovarian , dari , , terdapat representasi unital unik × dari
sedemikian sehingga × � = dan × � = ;
iii. dibangun oleh {� � ∶ � } ∪ { � ∶ }.
Eksistensi suatu produk silang dari sistem dinamik dan keunikannya diuraikan dalam proposisi berikut.
Proposisi 3.1.8. (Raeburn, 1988: 324)
1) Jika , �, � dan , �, � keduanya adalah produk silang dari
, , , terdapat isomorfisma � dari ke sedemikian sehingga �
� = � dan � � = �.
2) Terdapat produk silang untuk setiap sistem dinamik.
(2)
Ishma Fadlina Urfa, 2014
3.2. Pendahuluan Aljabar Toeplitz
Pada bab selanjutnya, akan dikaji hubungan antara produk silang atas semigrup endomorfisma dengan aljabar- yang dibangun oleh unsur-unsur isometri nonuniter. Aljabar- yang dibangun oleh unsur-unsur isometri nonuniter dapat dipandang sebagai suatu aljabar Toeplitz. Untuk itu pada subbab ini dibahas secara ringkas konsep aljabar Toeplitz atas grup terurut dan aljabar Toeplitz abstrak. Penulis mengacu pada tesis magister Aljabar Toeplitz atas Grup Terurut
karya Lindiarni (1997).
Misal Γ grup terurut. Definisikan grup dual dari Γ sebagai Γ̂ ≔ { : Γ ⟶ �: homomorfisma grup kontinu}.
Grup dual Γ̂ membentuk grup dibawah operasi perkalian titik demi titik. Dapat ditunjukkan pula bahwa Γ̂ adalah suatu grup topologi kompak. Karena Γ̂ kompak, maka (Γ̂) ≔ { : Γ̂ ⟶ ℂ} adalah aljabar- terhadap operasi tambah dan kali titik demi titik serta norm supremum.
Pandang pemetaan evaluasi
� : Γ̂ ⟶ �
⟼ � = , ∀ Γ, Γ̂.
Untuk setiap Γ, � adalah suatu homomorfisma. Kemudian dapat ditunjukkan �� {� : Γ} adalah subaljabar- padat dari (Γ̂).
Bentuk ruang Hilbert
(Γ̂) ≔ { : Γ̂ ⟶ ℂ ∶ ∫ | | < ∞} Γ̂
dengan adalah ukuran Haar pada Γ̂. (Γ̂) adalah ̅̅̅̅̅̅(Γ̂) terhadap norm yang dihasilkan dari hasil kali dalam:
< �, � > = ∫ ��̅} Γ̂ .
(3)
Definisi 3.2.1. (Adji, Laca, dkk. 1994: 1140)
Himpunan {� : Γ} adalah basis ortonormal untuk (Γ̂). Definisikan Γ+ sebagai subruang tutup ̅̅̅̅̅̅̅{� :�� Γ+}. Misal � proyeksi dari (Γ̂) ke
Γ+ . Untuk setiap � (Γ̂), operator Toeplitz
� adalah operator pada Γ+ yang didefinisikan oleh
� = � � , ∀ (Γ̂), � (Γ̂). Aljabar Toeplitz � Γ dari grup terurut Γ adalah subaljabar- dari Γ+ yang dibangun oleh operator Toeplitz { �: � (Γ̂)}.
Sebagai catatan, perhatikan bahwa karena (Γ̂) = (Γ̂)̅̅̅̅̅̅ , maka untuk setiap � (Γ̂) dan (Γ̂), � (Γ̂). Jadi dapat didefinisikan operasi perkalian di (Γ̂).
Telah diuraikan konsep aljabar Toeplitz atas suatu grup terurut. Selanjutnya, Murphy (1991) mendefinisikan aljabar Toeplitz abstrak dalam papernya Ordered Group and Toeplitz Algebra.
Definisi 3.2.2: Semigrup Isometri. (Lindiarni, 1997: 49)
Misal Γ grup terurut dan suatu aljabar- unital. Semigrup isometri di relatif terhadap Γ adalah pemetaan : Γ+ ⟶ sedemikian sehingga isometri di untuk setiap Γ+ dan + = , untuk setiap , Γ+.
Definisi 3.2.3.
Aljabar Toeplitz abstrak dari grup terurut Γ adalah aljabar- unital yang dibangun oleh , Γ+, dimana adalah semigrup isometri di Γ. Notasikan aljabar- dengan { : Γ+}.
(4)
Ishma Fadlina Urfa, 2014
Notasikan aljabar Toeplitz abstrak dari grup terurut Γ dengan � Γ . Muphy telah membuktikan bahwa aljabar Toeplitz dari suatu grup terurut Γ selalu ada dan bersifat universal, yang terangkum dalam teorema berikut:
Teorema 3.2.4. (Murphy, 1987: 315)
Misal � grup terurut dan : �+ ⟶ adalah semigrup isometri nonuniter di aljabar- unital . Terdapat homomorfisma- unik : � � ⟶ sedemikian sehingga = injektif, dimana : �+ ⟶ � � adalah semigrup isometri di � � .
Berdasarkan teorema diatas, dapat disimpulkan bahwa semua aljabar-yang dibangun oleh semigrup isometri nonuniter dari Γ+ dapat dipandang sebagai suatu aljabar Toeplitz � Γ .
(5)
59
BAB 5
PENUTUP
5.1. Simpulan
5.1.1. Konstruksi sistem dinamik Γ+, Γ+, � mencakup konstruksi aljabar- ∗
Γ+ dan aksi � dari semigrup Γ+ ke Endo Γ+ . Untuk setiap ∈ Γ+, definisikan
1 fungsi karakteristik dari { ∈ Γ+, ≥ }, kemudian bentuk Γ+ ≔ ���
̅̅̅̅̅̅̅{1 : ∈ Γ+}.
Γ+ merupakan subaljabar- ∗ dari �∞ Γ dengan operasi
perkalian dan penjumlahan titik demi titik, norm supremum dan involusi konjugasi bilangan kompleks.
Untuk setiap ∈ Γ+, definisikan aksi
�: Γ+ ⟶ �∞ Γ
⟼ � dimana
� : �∞ Γ ⟶ �∞ Γ � ⟼ � − .
Karena Γ+ merupakan subaljabar- ∗ dari �∞ Γ , maka � dapat direstriksi ke
Γ+ ∀ ∈ Γ+; definisikan restriksi tersebut sebagai aksi �: Γ+ ⟶ Endo Γ+ .
Karena terdapat aksi dari Γ+ pada Γ+ melalui endomorfisma, maka dapat dibentuk sistem dinamik Γ+, Γ+, � .
5.1.2. Misal �: �+ ⟶ Isom � representasi isometrik dari Γ+. Definisikan pemetaan linier well-defined �� pada ���{1 : ∈ Γ+} yang kemudian dapat diperluas pada Γ+ ≔ ���̅̅̅̅̅̅̅{1 : ∈ Γ+}. Karena 1 1 = 1����{ , } dan
(6)
60
Ishma Fadlina Urfa, 2014
pada ���{1 : ∈ Γ+}. Kemudian berdasarkan kekontinuan, ��, � adalah representasi kovarian pada Γ+. Produk silang Γ+×�Γ+ dibentuk oleh dibangun oleh {�Γ+ : ∈ Γ+}, dimana �Γ+ representasi dari Γ+ ke semigrup isometri di
Γ+×�Γ+. Lebih tepatnya, Γ+×�Γ+ ≔ ���̅̅̅̅̅̅̅{�Γ+ �Γ+ ∗: , ∈ Γ+}.
5.1.3. Untuk setiap ��, � representasi kovarian dari sistem dinamik
Γ+, Γ+, � , terdapat isomorfisma ��× � dari ∗ �+ = Γ+×�Γ+ ke
∗ � : ∈ Γ+ jika dan hanya jika � non-uniter. Jadi produk silang
Γ+×�Γ+
dapat dipandang sebagai aljabar- ∗ yang dibangun oleh unsur-unsur isometri non-uniter berdasarkan isomorfisma.
5.2. Saran
Dalam tugas akhir ini penulis mengkaji hubungan produk silang
Γ+×�Γ+ dengan aljabar- ∗ yang dibangun oleh representasi-representasi isometrik non-uniter. Untuk bahan kajian selanjutnya, dapat diteliti hubungan antara aljabar- ∗ yang dibangun oleh representasi isometrik non-uniter � dari Γ+ dengan aljabar Toeplitz � Γ atas grup terurut Γ.