Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia |
repository.upi.edu |
perpustakaan.upi.edu
3.2. Pendahuluan Aljabar Toeplitz
Pada bab selanjutnya, akan dikaji hubungan antara produk silang atas semigrup endomorfisma dengan aljabar-
yang dibangun oleh unsur-unsur isometri nonuniter. Aljabar-
yang dibangun oleh unsur-unsur isometri nonuniter dapat dipandang sebagai suatu aljabar Toeplitz. Untuk itu pada subbab ini dibahas
secara ringkas konsep aljabar Toeplitz atas grup terurut dan aljabar Toeplitz abstrak. Penulis mengacu pada tesis magister Aljabar Toeplitz atas Grup Terurut
karya Lindiarni 1997. Misal
Γ grup terurut. Definisikan grup dual dari Γ sebagai Γ̂ ≔ { : Γ ⟶ �: homomorfisma grup kontinu}.
Grup dual Γ̂ membentuk grup dibawah operasi perkalian titik demi titik. Dapat
ditunjukkan pula bahwa Γ̂ adalah suatu grup topologi kompak. Karena Γ̂ kompak,
maka Γ̂ ≔ { : Γ̂ ⟶ ℂ} adalah aljabar- terhadap operasi tambah dan kali
titik demi titik serta norm supremum. Pandang pemetaan evaluasi
� : Γ̂ ⟶ � ⟼ �
= , ∀
Γ, Γ̂.
Untuk setiap Γ, � adalah suatu homomorfisma. Kemudian dapat ditunjukkan
�� {� : Γ} adalah subaljabar- padat dari Γ̂.
Bentuk ruang Hilbert Γ̂ ≔ { : Γ̂ ⟶ ℂ ∶ ∫ | |
∞}
Γ̂
dengan adalah ukuran Haar pada
Γ̂. Γ̂ adalah Γ̂ ̅̅̅̅̅̅ terhadap norm yang
dihasilkan dari hasil kali dalam: �, � = ∫ ��̅}
Γ̂
.
Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia |
repository.upi.edu |
perpustakaan.upi.edu
Definisi 3.2.1. Adji, Laca, dkk. 1994: 1140
Himpunan {� :
Γ} adalah basis ortonormal untuk Γ̂. Definisikan Γ
+
sebagai subruang tutup ��
̅̅̅̅̅̅̅{� : Γ
+
}. Misal � proyeksi dari Γ̂ ke Γ
+
. Untuk setiap � Γ̂, operator Toeplitz
�
adalah operator pada Γ
+
yang didefinisikan oleh
�
= � � , ∀ Γ̂, �
Γ̂. Aljabar Toeplitz
� Γ dari grup terurut Γ adalah subaljabar- dari Γ
+
yang dibangun oleh operator Toeplitz
{
�
: � Γ̂}.
Sebagai catatan, perhatikan bahwa karena Γ̂ = Γ̂
̅̅̅̅̅̅ , maka untuk setiap
� Γ̂ dan
Γ̂, � Γ̂. Jadi dapat didefinisikan operasi
perkalian di Γ̂.
Telah diuraikan konsep aljabar Toeplitz atas suatu grup terurut. Selanjutnya, Murphy 1991 mendefinisikan aljabar Toeplitz abstrak dalam
papernya Ordered Group and Toeplitz Algebra.
Definisi 3.2.2: Semigrup Isometri. Lindiarni, 1997: 49
Misal Γ grup terurut dan suatu aljabar- unital. Semigrup isometri di relatif
terhadap Γ adalah pemetaan : Γ
+
⟶ sedemikian sehingga isometri di untuk setiap
Γ
+
dan
+
= , untuk setiap ,
Γ
+
.
Definisi 3.2.3.
Aljabar Toeplitz abstrak dari grup terurut Γ adalah aljabar- unital yang
dibangun oleh ,
Γ
+
, dimana adalah semigrup isometri di Γ. Notasikan
aljabar- dengan
{ : Γ
+
}.
Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia |
repository.upi.edu |
perpustakaan.upi.edu
Notasikan aljabar Toeplitz abstrak dari grup terurut Γ dengan � Γ .
Muphy telah membuktikan bahwa aljabar Toeplitz dari suatu grup terurut Γ selalu
ada dan bersifat universal, yang terangkum dalam teorema berikut:
Teorema 3.2.4. Murphy, 1987: 315
Misal � grup terurut dan : �
+
⟶ adalah semigrup isometri nonuniter di aljabar-
unital . Terdapat homomorfisma- unik : � � ⟶ sedemikian
sehingga = injektif, dimana : �
+
⟶ � � adalah semigrup isometri di
� � .
Berdasarkan teorema diatas, dapat disimpulkan bahwa semua aljabar- yang dibangun oleh semigrup isometri nonuniter dari
Γ
+
dapat dipandang sebagai suatu aljabar Toeplitz
� Γ .
Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA
Universitas Pendidikan Indonesia |
repository.upi.edu |
perpustakaan.upi.edu
BAB 5 PENUTUP
5.1. Simpulan
