Latar Belakang PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA.

Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu BAB 1 PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Aljabar- ∗ merupakan objek utama dalam aljabar operator. Produk silang merupakan salah satu bentuk aljabar- ∗ yang merupakan “gabungan” dari dua objek berbeda, misal aljabar- ∗ dengan grup, yang dihubungkan oleh suatu pemetaan. Kedua objek dan pemetaan tersebut tergabung dalam suatu sistem yang disebut sistem dinamik. Kajian sistem dinamik dan produk silang merupakan topik yang cukup menarik dan memberikan warna perkembangan pada teori aljabar operator. Hal ini ditandai dengan banyaknya peneliti yang mengkaji masalah sistem dinamik dan produk silang dengan berbagai versi, diantaranya Murphy 1987, 1990, 1991, Stacey 1993, Adji dkk. 1994, Adji 2000, Adji dan Rosjanuardi 2007, Rosjanuardi dan Albania 2012, dan lain-lain. Misal suatu grup abelian terurut total dengan + adalah bagian positifnya dan suatu aljabar- ∗ . Sistem , + , � dikatakan sebagai sistem dinamik jika terdapat pemetaan yang “menghubungkan” semigrup + dengan aljabar- ∗ , yaitu homomorfisma � dari + ke Endo . Sistem dinamik , + , � mempunyai representasi kovarian, yaitu pasangan �, � dimana �: ⟶ adalah representasi nondegenerate dari pada dalam kasus unital, � adalah representasi unital, dan �: + ⟶ Isom representasi isometrik dari pada yang memenuhi kondisi kovarian: �� � � = � � � � � � ∗ , ∀� ∈ , � ∈ . Selanjutnya dari representasi kovarian tersebut dapat dibentuk suatu representasi terbesar kanonik yang membangun aljabar- ∗ baru yang dibentuk dari sistem dinamik , + , � . Notasikan aljabar- ∗ tersebut dengan × � + , yaitu produk silang dari , + , � . Jika representasi � dari semigrup + merupakan representasi isometrik, maka singkatnya × � + menjadi suatu aljabar- ∗ yang dibangun oleh unsur isometri. Ishma Fadlina Urfa, 2014 PRODUK SILANG ATAS SEMIGRUP ENDOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Pada tahun 1967, Coburn dalam papernya The ∗ -Algebra Generated by An Isometry I mengenalkan suatu aljabar- ∗ yang dibangun oleh unsur isometri nonuniter untuk kasus grup = ℤ. Teori tersebut kemudian dikembangkan oleh Douglas pada tahun 1972. Ia memperluas suatu aljabar- ∗ yang dibangun oleh semigrup-semigrup isometri, dimana semigrupnya adalah bagian positif dari ℝ. Selanjutnya pada tahun 1987, Murphy mengembangkan semigrup yang digunakan Douglas menjadi bagian positif dari suatu grup terurut abelian total. Dalam papernya Ordered Groups and Toeplitz Algebra, ia mengenalkan kelas baru dari aljabar- ∗ yang mempunyai sifat yang menarik. Untuk setiap grup terurut , terdapat aljabar- ∗ yang berasosiasi, yaitu aljabar Toeplitz � dari grup terurut . Aljabar Toeplitz � tersebut memiliki sifat universal terhadap semigrup isometri dari + . Adji, Laca, Nielsen dan Raeburn dalam papernya Crossed Products by Semigroups of Endomorphisms and The Toeplitz Algebras of Ordered Groups 1994 membuktikan bahwa aljabar Toeplitz � yang dikaji oleh Murphy adalah isomorfik dengan aljabar- ∗ yang dibangun oleh isometri yaitu produk silang Γ + × � Γ + atas semigrup endomorfisma sebagai akibat dari teorema utamanya. Dalam tugas akhir ini, penulis tertarik untuk mengkaji bentuk, eksistensi, serta keuniversalan produk silang Γ + × � Γ + dari sistem dinamik yang mencakup aljabar- ∗ Γ + , semigrup Γ + dari grup terurut abelian total Γ dan aksi � oleh endomorfisma.

1.2. Rumusan Masalah