Perumusan Masalah Pembatasan Masalah Tujuan Penelitian Kontribusi Penelitian Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Selanjutnya variabel baru ini dinamakan komponen utama principal component. Tujuan metode ini untuk menyederhanakan variabel yang diamati dengan cara mereduksi data asliawal menjadi sedikit mungkin komponen, akan tetapi mampu menyerap sebagian besar jumlah varian dari data asliawal menyerap informasi sebanyak mungkin dari informasi data asli. Analisis komponen utama menghasilkan kombinasi linear dari variabel- variabel yang diperoleh dari mereduksi variabel asliawal yang banyak sekali. Di dalam proses mereduksi, diperoleh variabel yang lebih sedikit akan tetapi masih mengandung informasi yang termuat dalam data asliawal. Variabel hasil mereduksi tersebut dinamakan faktor yang juga disebut komponen atau faktor komponen. Dari uraian di atas, maka dalam penelitian tugas akhir ini peneliti mengkaji metode regresi ridge dan metode analisis komponen utama untuk menyelesaikan masalah multikolinearitas. Oleh karena itu penulis mengangkat judul untuk penelitian ini yaitu “Studi Metode Regresi Ridge Dan Metode Analisis Komponen Utama Dalam Menyelesaikan Masalah Multikolinearitas”.

1.2. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, masalah yang akan dibahas adalah sebagai berikut : 1. Bagaimana mendeteksi adanya multikolinearitas pada suatu data? 2. Bagaimana prosedur penanggulangan multikolinearitas dengan metode regresi ridge dan analisis komponen utama? Universitas Sumatera Utara

1.3. Pembatasan Masalah

Ruang lingkup dalam penelitian ini dibatasi pada data yang diambil dari buku atau internet, dan antar variabel bebas pada data diduga memiliki korelasi multikolinearitas. kemultikolinearitasan data akan dideteksi, lalu ditanggulangi dengan metode regresi ridge dan analisis komponen utama.

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Untuk mendeteksi ada tidaknya multikolinearitas dalam suatu data. 2. Untuk mengetahui prosedur penanggulangan masalah multikolinearitas dengan Metode Regresi Ridge dan Metode Principal Component Analysis Komponen Utama.

1.5 Kontribusi Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah: 1. Memberikan pengetahuan tentang tindakan yang harus dilakukan dalam mengidentifikasi dan menanggulangi keberadaan multikolinearitas. 2. Memberikan pengetahuan dasar tentang analisis regresi, metode ridge dan analisis komponen utama.. 3. Memberikan penjelasan tentang mengaplikasikan metode regresi ridge dan analisis komponen utama dalam menyelesaikan masalah multikolinearitas. Universitas Sumatera Utara

1.6 Metodologi Penelitian

Dalam penelitian ini penulis melakukan studi literatur dan mencari bahan dari buku dan internet yang membahas mengenai multikolinearitas, regeresi ridge dan analisis komponen utama principal component analysis. Kemudian mengambil sampel data yang multikolinearitas dari buku atau internet. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: a. Menguraikan penyelesaian masalah multikolinearitas dengan regresi ridge. b. Menguraikan penyelesaian masalah multikolinearitas dengan analisis komponen utama. c. Melakukan pendeteksian ada tidaknya multikolinearitas dalam suatu data. d. Menanggulangi multikolinearitas dengan metode regresi ridge. e. Menanggulangi multikolinearitas dengan metode analisis komponen utama. Universitas Sumatera Utara BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Matriks 2.1.1. Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris serta dibatasi tanda ”[ ]” atau “ ” Anton, 1987. Matriks A adalah susunan segiempat dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:                       = mn m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a A . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 Baris-baris dari matriks A semacam ini adalah m deretan horizontal yang terdiri dari skalar-skalar: mn m m n n a a a a a a a a a ,..., , ,..., ,..., , , ,..., , 2 1 2 22 21 1 12 11 Dan kolom-kolom dari A adalah n deretan vertikal yang terdiri dari skalar-skalar:                                     mn n n m m a a a a a a a a a ... ,..., ... , ... 2 1 2 22 12 1 21 11 Universitas Sumatera Utara Elemen ij a yang disebut entri ij atau elemen ij, muncul pada baris i dan kolom j. Matriks tersebut seringkali dituliskan hanya sebagai A=[a ij ] Schaum’s, 2006.

2.1.2. Jenis jenis matriks

1. Matriks Bujursangkar Matriks bujursangkar adalah matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama banyak. Matriks bujursangkar n x n dikatakan sebagai matriks dengan orde n. Contoh:       = 1 3 4 2 A 2. Matriks Nol Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya mempunyai nilai nol.       = A 3. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah suatu matriks bujursangkar dimana semua elemen diluar diagonal utama mempunyai nilai nol dan paling tidak ada satu elemen diagonal utama ≠ 0 disimbol D. Contoh :           = 5 2 4 D 4. Matriks Segitiga Atas Matriks segitiga atas adalah matriks dimana semua entri dibawah diagonal utama bernilai nol. Universitas Sumatera Utara Contoh:           = 8 7 2 3 5 4 A 5. Matriks Segitiga Bawah Matriks segitiga bawah adalah matriks dimana semua entri diatas diagonal utama bernilai nol. Contoh:           = 8 3 6 2 7 4 A 6. Matriks Identitas Matriks identitas atau matriks satuan bujursangkar-n ditulis I n atau hanya I adalah matriks bujursangakar-n dengan bilangan 1 pada diagonalnya dan 0 pada entri-entri lainnya. Contoh:           = 1 1 1 I 7. Matriks Skalar Skalar ialah suatu bilangan konstan. Jika k suatu bilangan konstan maka hasil kali k I dinamakan scalar matriks. Contoh: k I 3 , k=3           =           = 3 3 3 1 1 1 3 kI Universitas Sumatera Utara 8. Matriks Simetri Apabila matriks A yang berisikan a ij Dimana i=j=1,2,…,n. dan berlaku a ij= a ji maka matriks A disebut matriks simetri Contoh:           − − − = 8 7 5 7 6 3 5 3 2 A Keterangan: melalui pengamatan, elemen-elemen simetri di dalam A sama, atau A T =A. Jadi A adalah matriks simetri. 9. Transpos Matriks Transpos dari suatu matriks A=a ij ialah suatu matriks baru dengan menukarkan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Apabila suatu matriks ditranspos kepada dirinya sendiri maka disebut matriks simetri. Contoh:           = →           = 8 7 5 3 7 3 5 4 2 8 3 5 7 7 4 5 3 2 T A A 10. Matriks Ortogonal Matriks real A disebut matriks ortogonal jika A T =A -1 , yaitu, jika AA T = A T A=I. Jadi A haruslah matriks bujursangkar dan dapat dibalik. Contoh: Misalkan                 − − − = 9 4 9 1 9 8 9 7 9 4 9 4 9 4 9 8 9 1 A . Mengalikan A dengan A T menghasilkan I, yaitu AA- T =I. ini juga berarti bahwa A T A=I . Maka A T = A -1 ; dengan demikian, A adalah matriks ortogonal. Universitas Sumatera Utara 11. Matriks Trace Misalkan A=[a ij ] adalah matriks bujursangkar-n, diagonal dari A terdiri dari elemen- elemen subskrip bilangan kembar yaitu: a 11, a 22, a 33, …, a nn Trace dari A ditulis trA adalah jumlah dari elemen-elemen diagonal yaitu: trA = a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn contoh :           − − − = 8 7 5 7 8 3 5 3 2 A Maka trA = a 11 + a 22 + a 33 = 2 + 8 + -8 = 2 2.1.3. Penjumlahan matriks dan perkalian skalar matriks Misalkan A=[a ij ] dan B=[b ij ] adalah dua matriks dengan ukuran yang sama, misalnya matriks mxn. Jumlah A dan B ditulis A+B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari A dan B. Yaitu             + + + + + + + + + = + mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A ... ... ... ... ... ... ... 2 2 1 1 2 2 22 22 21 21 1 1 12 12 11 11 Hasilkali dari matriks A dengan suatu skalar k ditulis k.A atau hanya kA adalah matriks yang diperoleh dengan cara mengalikan setiap elemen A dengan k. Yaitu             = mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11 Universitas Sumatera Utara

2.1.4. Determinan

Setiap matriks bujursangkar-n A=a ij memiliki skalar khusus yang disebut determinan A, dilambangkan dengan detA atau |A| atau nn n n n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11 Sifat-sifat determinan: 1. Jika A T merupakan transpos dari matriks A maka detA=detA T . 2. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom dari matriks kuadrat A mempunyai nilai nol maka detA=0. 3. Jika 2 baris atau 2 kolom dipertukarkan maka nilai determinan matriks tersebut berubah tanda. 4. Jika 2 baris atau 2 kolom mempunyai elemen yang sama maka nilai determinan=0.

2.1.5. Invers Matriks

Jika pada matriks bujur sangkar A terdapat matriks B sehingga AB = I, dengan I adalah matriks identitas, maka B dinamakan invers matriks A dan ditulis sebagai Jadi jika A adalah matriks bujur sangkar tak singular berorde-n, maka terdapat satu invers sehingga Invers matriks memiliki sifat: 1. ; yaitu invers dari perkalian dua matriks adalah perkalian inversnya dalam urutan yang terbalik. 2. ; yaitu transpose dari invers A adalah invers dari transpose A. Invers matriks A dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut : Universitas Sumatera Utara

2.2. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Kata “vektor eigen” adalah ramuan bahasa Jerman dan Inggris. Dalam bahasa Jerman “eigen” dapat diterjemahkan sebagai “sebenarnya” atau “karakteristik”. Oleh Karena itu, nilai eigen dapat juga dinamakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik. Dalam literatur lama kadang-kadang dinamakan akar-akar latent. Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam R n dinamakan vektor eigen eigenvector dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni, Ax = λ x untuk suatu skalar λ . Skalar λ dinamakan nilai eigen eigenvalue dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ Anton, 1987 . Nilai eigen dan vektor eigen mempunyai tafsiran geometrik yang bermanfaat dalam R 2 dan R 3 . Jika λ adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian dengan x. maka Ax = λ x, sehingga perkalian oleh A akan memperbesar x, atau membalik arah x, yang bergantung pada nilai λ . Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n maka dituliskan kembali Ax = λ x sebagai Ax = λ I x atau secara ekivalen λ I – Ax = 0 Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan ini. Akan tetapi persamaan ini akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika det λ I – A = 0 ini dinamakan persamaan karakteristik A, skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari A. Bila diperluas, maka determinan det λ I – A adalah polinom λ yang dinamakan polinom karakteristik dari A Anton, 1987. Jika A adalah matriks n x n, maka polinom karakteristik A harus terpenuhi sebanyak n dan koefisien λ n adalah 1. Jadi, polinom karakteristik dari matriks n x n mempunyai bentuk det λ I – A = n n n c c + + + − ... 1 1 λ λ . Universitas Sumatera Utara Jika A matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain: 1. λ adalah nilai eigen dari A. 2. Sistem persamaan λ I – Ax = 0 mempunyai pemecahan yang taktrivial. 3. Ada vektor taknol x di dalam R n sehingga Ax = λ x. 4. λ adalah pemecahan riil dari persamaan karakteristik det λ I – A = 0. Vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor taknol x yang memenuhi Ax = λ x. Secara ekivalen, vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah vektor taknol dalam ruang pemecahan dari λ I – Ax = 0. Ruang pemecahan ini dinamakan sebagai ruang eigen eigenspace dari A yang bersesuaian dengan λ .

2.3. Matriks Korelasi