67
minimum. Jumlah ini merupakan jumlah minimum vaksinasi yang dibutuhkan untuk mencegah terjadinya epidemi. Ripno Juli Iswanto : 183-184
1. Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Pada sub bab ini akan dianalisa kestabilan lokal di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit.
Berdasarkan Teorema 3.1 telah diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu
̂ ̂ ̂ ̂
Selanjutnya akan dianalisa kestabilan di sekitar titik kesetimbangan ini dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 3.2 i
Jika maka titik kesetimbangan bebas penyakit
̂ ̂ ̂ ̂ stabil asimtotik lokal.
ii Jika
maka titik kesetimbangan bebas penyakit ̂ ̂ ̂ ̂ tidak
stabil. Bukti :
Sistem 3.10 didefinisikan sebagai ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
3.16a ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
3.16b ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
3.16c
68
̂ ̂ ̂ ̂ 3.16d
Untuk membentuk matriks Jacobian, Akan diturunkan sistem 3.16 terhadap
̂ ̂ ̂ ̂.
Untuk
̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂
Untuk
̂ ̂ ̂
̂
̂ ̂ ̂ ̂
Untuk
̂ ̂
̂ ̂
̂ Untuk
̂ ̂
69
̂ ̂ ̂ ̂
Sehingga diperoleh matriks jacobian dari sistem 3.16 adalah :
[ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂]
[ ̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
̂ ]
Matriks jacobian dipersekitaran ̂ ̂ ̂ ̂ adalah :
[ ]
Mencari nilai eigen matriks jacobian di persekitaran |
|
70
|[ ] [
]|
|[ ]|
Menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama, sehingga diperoleh : [ ]
[ ]
Dari persamaan tersebut terdapat 3 hasil nilai eigen, yaitu : 1.
Maka, 2.
Maka, 3.
[ ]
71
Selanjutnya, analisis kestabilan pada kemungkinan ke-3 dapat diperoleh dengan menggunakan table Routh-Hurwitz seperti berikut :
Tabel 3.1 Tabel Routh untuk Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Variabel
Koefisien 1
Agar sistem stabil, maka semua suku kolom pertama table Routh-Hurwitz harus bertanda positif. Agar semua suku bertanda positif, maka :
72
Titik kesetimbangan bebas penyakit ̂ ̂ ̂ ̂ stabil
asimtotik jika , yang menunjukkan bahwa pada
suatu populasi tidak terjadi penyebaran penyakit. Stabil asimtotik berarti perubahan kecil pada syarat awal tidak menimbulkan pengaruh pada penyelesaian.
E. Simulasi Model
