39
dan Hasil linearisasi dari
dan masing-masing adalah ̂ dan . Matriks next generationnya sebagai berikut
[ ̂ ] [ ] [
̂ ]
2.28
Substitusikan titik kesetimbangan bebas penyakit ke Persamaan
2.27 diperoleh [
] Maka diperoleh nilai
dari sistem 2.27 adalah [
] Sri, Rejeki. 2016. Analisis Penyebaran Penyakit Diare sebagai Salah Satu
Penyebab Kematian pada Balita Menggunakan Model Matematika SIS Susceptible-Infected-Susceptible. Skripsi. UNY. Yogyakarta.
M. Model SIR Susceptible-Infected-Recovered
SIR merupakan model epidemik yang memiliki karakteristik bahwa setiap individu rentan terhadap suatu penyakit yang dinotasikan dengan
Susceptible, individu yang sudah terinfeksi penyakit dinotasikan
Infected dan individu yang telah sembuh serta memiliki kekebalan imun terhadap penyakit dinotasikan
dengan Recovered Hardiningsih, 2010. Model SEIR Susceptible-Exposed-
Infected-Recovered
40 ��
I I
Gambar 2.3 dibawah ini adalah kompartemen dari model SIR klasik.
Gambar 2.3 Kompartemen model SIR klasik
Sehingga formulasi untuk model SIR klasik pada Gambar 2.3 adalah sebagai berikut:
Penurunan dari model SIR diperlukan asumsi-asumsi, sebagai berikut : a.
Populasi konstan, b.
Individu lahir dan imigrasi merupakan individu sehat tetapi rentan terinfeksi penyakit,
c. Populasi homogen,
d. Masa inkubasi penyakit diabaikan,
e. Hanya terdapat satu macam penyebaran penyakit infeksi,
f. Individu yang sembuh dari penyakit infeksi tidak akan terinfeksi lagi
Hetchcote, 2000. Probabilitas penularan dinotasikan
, dengan dimana adalah jumlah individu yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang dalam suatu
St Rt
It
41
populasi selama periode infectious, merupakan rata-rata durasi infektivitas dan
merupakan jumlah populasi. Kemudian untuk adalah rata-rata jumlah kontak efektif dengan populasi infected per satuan waktu,
adalah laju perpindahan dari kompartemen susceptible ke infected,
adalah laju kesembuhan dan adalah laju perpindahan dari kompartemen infected ke recovered. Setyawan,
2011.
42
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai model matematika penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi, diantaranya formulasi model penyakit campak, titik
ekuilibrium bebas penyakit beserta analisis kestabilannya. Selanjutnya dilakukan simulasi model berdasarkan studi kasus yang dilakukan di Kabupaten Sleman Provinsi
DIY dan strategi mengoptimalkan vaksinasi.
A. Model Matematika SEIR untuk Penyebaran Penyakit Campak
