34
Diketahui bahwa jika terdapat paling sedikit satu maka
solusi persamaan diferensial yang memuat
akan menuju
. Oleh karena itu, titik kesetimbangan ̂ tidak stabil
K. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode yang digunakan untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan
koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar secara langsung. Jika persamaan polinom adalah persamaan karakteristik, maka
metode ini dapat digunakan untuk menentukan kestabilan dari suatu sistem. Prosedurnya adalah sebagai berikut:
a. Persamaan polinom orde ditulis dalam bentuk:
dengan koefisien-koefisien adalah bilangan riil dan .
b. Bila ada koefisien yang bernilai 0 atau negatif disamping adanya koefisien
positif, maka hal ini menunjukkan ada satu akar atau akar-akar imajiner atau memiliki bagian real positif sistem tak stabil. Kondisi perlu tetapi
belum cukup untuk stabil adalah semua koefisien persamaan polinom positif dan lengkap.
35
c. Bila semua koefisien positif, lalu buat tabel Routh seperti pada Tabel 2.1
berikut.
Tabel 2.1 Tabel Routh Variabel
Koefisien
Dengan koefisien-koefisien :
36
d. Banyaknya akar tak stabil dapat dilihat dari banyaknya perubahan tanda
pada kolom pertama tabel Routh. e.
Syarat perlu untuk stabil adalah semua koefisien persamaan karakteristik positif dan syarat cukup untuk stabil adalah semua suku pada kolom
pertama tabel Routh bertanda positif. Kriteria Routh-Hurwitz tidak dapat menjelaskan bagaimana memperbaiki
kestabilan relatif atau bagaimana menstabilkan sistem tak stabil, tetapi dapat digunakan untuk menentukan batas penguatan suatu sistem agar masih stabil
Wahab W. Subiantoro A, Tanpa Tahun.
L. Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan banyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yang
berlangsung di dalam populasi susceptible. Bilangan repdroduksi dasar merupakan parameter penentu kestabilan dari titik-titik kesetimbangan model, dan
dinotasikan dengan lambang . Titik kritis
berkisar 1, jika 1 maka rata-
rata populasi yang terifeksi berkurang atau menghilang dari populasi atau infeksi tersebut akan berkurang atau menghilang dari populasi. Jika
1, maka infeksi akan membesar atau meningkat pada suatu populasi. Bilangan reproduksi dasar
37
dapat diperoleh dengan menentukan nilai eigen dari matriks jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit.
Cara lain dalam menentukan bilangan reproduksi dasar adalah dengan menggunakan metode matriks next generation. Pada metode matriks next
generation didefinisikan sebagai nilai eigen terbesar dari matriks next
generation. Formasi ini terdiri dari 2 kelas dari model yaitu terinfeksi dan tidak terinfeksi. Diasumsikan terdapat kelas tidak terinfeksi dan
kelas terinfeksi. Selanjutnya dimisalkan
sebagai subpoulasi kelas terinfeksi dan sebagai subpopulasi yang tidak terinfeksi , dan
dan untuk
, sehingga
̇ dengan
2.24 ̇
, dengan 2.25
dengan adalah matriks dari individu yang masuk dan menambah banyaknya
individu yang masuk ke kelas terinfeksi, dan adalah matriks dari laju
peningkatan jumlah individu yang keluar dari kelas terinfeksi yang menyebabkan berkurangnya jumlah individu pada kelas terinfeksi.
Didefinisikan matriks next generation H dari Persamaan 2.23 dan 2.24 adalah
2.26 dengan
38
{ }
dan {
} Didefinisikan bilangan reproduksi dasar sebagai nilai eigen terbesar dari matiks
next generation H adalah
Contoh 2. 9
Diberikan sistem persamaan diferensial berikut
2.27
dengan menyatakan populasi individu rentan pada saat , menyatakan
populasi individu terinfeksi pada saat t. Sistem 2.27 mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit
Matriks next generation dapat diperoleh dari kelas
, sehingga kelas dapat dituliskan sebagai berikut
dengan
39
dan Hasil linearisasi dari
dan masing-masing adalah ̂ dan . Matriks next generationnya sebagai berikut
[ ̂ ] [ ] [
̂ ]
2.28
Substitusikan titik kesetimbangan bebas penyakit ke Persamaan
2.27 diperoleh [
] Maka diperoleh nilai
dari sistem 2.27 adalah [
] Sri, Rejeki. 2016. Analisis Penyebaran Penyakit Diare sebagai Salah Satu
Penyebab Kematian pada Balita Menggunakan Model Matematika SIS Susceptible-Infected-Susceptible. Skripsi. UNY. Yogyakarta.
M. Model SIR Susceptible-Infected-Recovered
