54
Berdasarkan persamaan 3.9a, 3.9b, 3.9c, dan 3.9d dapat dibentuk transformasi dari sistem 3.1 yaitu :
3.10a
3.10b
3.10c
3.10d
Sistem 3.10 adalah sistem persamaan non linear yang merupakan hasil transformasi model matematika
pada penyebaran penyakit campak yang terdapat pada sistem 3.1
B. Titik Kesetimbangan Model
Dari hasil persamaan tersebut terdapat titik kesetimbangan bebas penyakit, yaitu suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit menular dalam populasi atau
ketika
.
1. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
55
Pada bagian ini akan dibahas mengenai titik ekuilibrium bebas penyakit dari model
penyebaran penyakit campak pada sistem 3.10 . Titik kesetimbangan bebas penyakit diperoleh saat tidak ada individu yang terinfeksi
penyakit campak . Asumsikan variabel yang digunakan dalam
pembahasan ini yaitu : ̂ ̂ ̂ ̂ titik kesetimbangan bebas penyakit pada sistem 3.10
̂ titik kesetimbangan bebas penyakit kelas susceptible ̂ titik kesetimbangan bebas penyakit kelas exposed
̂ titik kesetimbangan bebas penyakit kelas infected ̂ titik kesetimbangan bebas penyakit kelas recovered
Titik ̂ ̂ ̂ ̂ adalah titik kesetimbangan dari sistem 3.10 jika :
|
̂ ̂ ̂ ̂
3.12
Berdasarkan persamaan , diketahui jumlah proporsi
masing-masing kelas adalah satu atau dapat dituliskan menjadi : ̂ ̂ ̂ ̂
3.13 Untuk kasus titik ekuilibrium bebas penyakit, diketahui nilai
̂ , akibatnya,
̂ sehingga persamaan 3.13 menjadi ̂ ̂
3.14 Akan dibuktikan nilai dari
̂ ̂
56
Jika ̂ , akibatnya ̂ , maka berdasarkan sistem 3.10 dn 3.12
diperoleh :
|
̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂
3.15 Pada kasus ini akan dibatasi untuk titik kesetimbangan bebas
penyakit yaitu titik kesetimbangan ketika ̂ . Titik kesetimbangan
bebas penyakit dapat ditunjukkan pada Teorema 3.1 berikut. Teorema 3.1
Jika ̂ , maka sistem 3.10 mempunyai titik kesetimbangan bebas
penyakit ̂ ̂ ̂ ̂ .
Bukti : Berdasarkan Definisi 2.5, maka sistem 3.10 dapat dituliskan menjadi :
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 3.16a
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 3.16b
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 3.16c
̂ ̂ ̂ ̂ 3.16d
57
Berdasarkan 3.16a diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
3.17
Berdasarkan 3.16d diperoleh ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
3.18
Sehingga titik kesetimbangan bebas penyakit dari Sistem 3.10 yaitu
̂ ̂ ̂ ̂ C.
Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar Basic Reproduction Number merupakan parameter yang biasa digunakan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu
penyakit. Bilangan Reproduksi Dasar adalah rata-rata banyaknya individu
rentan yang terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila individu yang terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya
masih rentan. Jika , maka penyakit akan cenderung berkurang atau
58
menghilang dari populasi. Namun, jika , maka penyakit cenderung
meningkat dalam populasi dan dapat menyebabkan endemik. Bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dengan menggunakan metode Next
Generation Matrix. Matriks ini merupakan matriks yang dibentuk oleh sub-sub populasi pada kelas exposed dan infection. Pada model penyebaran penyakit
campak akan dibahas mengenai bilangan reproduksi dasar pada sistem 3.10 dengan menggunakan kelas terekspose dan terinfeksi pada persamaan 3.10b dan
3.10c. Didefinisikan
[ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ]
3.19
dan [ ̂
̂] 3.20
Matriks 3.19 dan 3.20 akan dilinearisasi. Diberikan sistem persamaan nonlinear
̇ ̇
3.21 dan
̇
59
̇ 3.22
Misalkan ̂ dan ̂ adalah titik kesetimbangan kelas eksposed dan infection pada
sistem 3.21 dan 3.22, maka pendekatan linear sistem 3.21 dan 3.22 disekitar titik kesetimbangan kelas terekspos dan kelas terinfeksi menggunakan
deret taylor di sekitar titik kesetimbangan ̂ dan ̂ yaitu
̂ ̂
̂
̂ ̂
̂
̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ 3.23
dan
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ 3.24
Karena nilai dari dan
mendekati 0, maka dan
diabaikan, maka diperoleh
60
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ 3.25
dan
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ 3.26
Dari sistem 3.25, dapat dibentuk matriks sebagai berikut
[ ̇
̇ ] [ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ] ̂
̂ 3.27
Sistem 3.26 dibentuk menjadi matriks diperoleh
[ ̇
̇ ] [ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ] ̂
̂ 3.28
Misalkan ̂ dan
̂, maka diperoleh
61
[ ̇
̇ ] [ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ]
3.29
dan
[ ̇
̇ ] [ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ]
3.30
diperoleh matriks jacobian dari Matriks 3.29 adalah
[ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ]
3.31
dan
[ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ]
3.32
Persamaan 3.31 diperoleh matriks P
[ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ]
62
Substitusikan nilai ̂ ̂ ̂ ̂ ke matriks P, sehingga
diperoleh
[ ]
dari persamaan 3.32 diperoleh matriks R
Berdasarkan persamaan 2.20, maka diperoleh Next Generation Matriks yaitu [
] 3.33
[ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
63
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen maksimum Matriks
H. Nilai eigen dari Matriks H adalah
Menggunakan rumus akar kuadrat diperoleh nilai eigen dari persamaan 3.34 yaitu :
[ ]
| |
|| [
] ||
|| [
] ||
3.34
64
Berdasarkan sistem 3.35 terdapat dua nilai eigen yaitu
dan
√
3.35
√
√
65
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen maksimum, sehingga nilai eigen yang memenuhi yaitu :
Sebelum menentukan nilai dari bilangan reproduksi dasar akan disederhanakan persamaan dari nilai eigen.
Misal
Maka diperoleh √
66
√
Oleh karena itu, nilai diperoleh pada persamaan 3.36 berikut
√
D. Analisis Kestabilan pada Titik Ekuilibrium Model SEIR
