21
Contoh 2.7
Contoh persamaan diferensial dan solusinya
Maka solusinya adalah
∫ ∫
G. Titik Kesetimbangan
Titik kesetimbangan menjadi salah satu pembahasan dalam bab ini karena titik kesetimbangan diperlukan dalam proses analisis penyebaran penyakit
campak.
Definisi 2. 6 Wiggins, 2003:5
Diberikan Sistem persamaan diferensial � = �. Titik ̂
disebut titik kesetimbangan dari
̇= ��. jika memenuhi ̂
Contoh 2. 8
Akan dicari titik kesetimbangan dari Sistem 2.10 sebagai berikut,
22
Menurut definisi 2.5 titik kesetimbangan ̂ ̂ dari Sistem 2.10 dapat
diperoleh jika ̂ ̂ . Akan dicari titik kesetimbangan dari Sistem 2.10
sedemikian, sehingga ̂ ̂
dan ̂ ̂
. dengan
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Untuk ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ atau ̂
a. Jika ̂ disubstitusikan ke persamaan
̂ ̂ , maka diperoleh
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂
Jadi, diperoleh titik kesetimbangan pertama yaitu .
b. Jika ̂
disubstitusikan ke persamaan ̂ ̂
maka diperoleh
23
̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂
̂ ̂ ̂
̂
̂
̂
Jadi, titik kesetimbangan kedua diperoleh .
Berdasarkan hasil yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa Sistem 2.10 memiliki dua titik kesetimbangan yaitu
dan .
Titik kesetimbangan dapat diklasifikasikan menjadi dua yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik penyakit. Titik
kesetimbangan bebas penyakit adalah adalah kesetimbangan saat kelas terinfeksi nol atau saat penyakit tidak menyebar dalam populasi. Titik kesetimbangan
endemik penyakit adalah titik kesetimbangan saat kelas terinfeksi tidak nol atau saat penyakit menyebar dalam populasi.
24
H. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Nilai eigen digunakan untuk mengetahui kestabilan dari suatu sistem persamaan diferensial.
Definisi 2. 7 Anton, 1998
Jika merupakan matriks berukuran , maka vektor tak nol di dalam
disebut vektor eigen dari . Jika adalah kelipatan skalar dari , maka
untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen eigenvalue dari , sedangkan
dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Untuk mencari nilai eigen dari matriks
yang berukuran , maka ditulis kembali sebagai , dimana adalah matriks identitas atau
secara ekivalen dapat ditulis : 2.11
Agar dapat menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari
persamaan 2.11, sehingga persamaan tersebut memiliki pemecahan tak nol jika dan hanya jika:
2.12
Persamaan 2.12 disebut persamaan karakteristik dari , skalar persamaan
tersebut adalah nilai eigen dari . Determinan − merupakan polinom
yang disebut polinom karakteristik dari . Anton, 1998.
25
Definisi 2. 8 Campbell Haberman 2008:142
Jika salah satu akar polinom karakteristik bernilai nol dan akar lainnya bernilai positif maka sistem nonlinier tidak stabil. Jika salah satu akar polinom
karakteristik bernilai nol dan akar lainnya bernilai negatif maka sistem nonlinier dapat stabil atau tidak stabil bergantung pada unsur nonlinier yang diabaikan.
I. Linierisasi
Linearisasi diperlukan karena bentuk model matematika penyebaran penyakit campak adalah persamaan diferensial nonlinear. Linearisasi adalah proses
mentransformasi sistem persamaan diferensial nonlinear ke bentuk persamaan diferensial linear. Proses ini dilakukan dengan linearisasi disekitar titik
kesetimbangan.
Definisi 2.9 Campbell Haberman, 2008:150.
Linierisasi merupakan proses hampiran persamaan diferensial tak linier dengan persamaan linier.
Contoh 2.9
Diberikan sistem persamaan diferensial berikut :
2.13
2.14
26
Dimana dan tak linear, jika
merupakan titik kritis dari sistem 2.13 dan 2.14 maka :
dengan menggunakan aproksimasi Taylor, persamaan 2.13 dan 2.14 dapat dilinierkan sehingga diperoleh :
Karena adalah titik kesetimbangan, maka
dan Persamaan 2.13 dan 2.14 dapat diaproksimasi dan menyerupai sistem linier
dari persamaan diferensial:
2.15
2.16 Pergantian dari titik kesetimbangan yang dilakukan untuk persamaan order
pertama, yaitu dan
konstan, maka persamaan diatas menjadi :
2.17
2.18
27
Dimana konstan, sehingga
. Persamaan 2.17 dan 2.18 merupakan sistem linear homogen, dengan menggunakan matrik perkalian, persamaan 2.17 dan 2.18
dapat ditulis :
[ ]
2.19
Notasi matrik sangat efektif dalam hal ini, matrik yang elemen-elemennya berupa turunan pertama disebut matrik Jacobian.
Matriks Jacobian
[ ]
2.20
Sebuah matrik harus dievaluasi pada titik kesetimbangan . Matrik
pergantian dari titik kesetimbangan adalah , sehingga
persamaan 2.20 dapat ditulis menjadi dimana adalah matrik konstan
yang diperoleh dari mengevaluasi matrik Jacobian pada titik kesetimbangan:
[ ]
28
J. Analisis Kestabilan