43
populasi Infected I, dan populasi Recovered R. Populasi Susceptible S, adalah banyaknya individu yang rentan terhadap penyakit campak. Populasi Exposed E,
adalah banyaknya individu yang terdeteksi campak tetapi belum terinfeksi. Populasi Infected I, adalah banyaknya individu yang telah terinfeksi penyakit campak dan
dapat menularkan penyakitnya ke individu lainnya. Populasi Recovered R, adalah banyaknya individu yang telah sembuh dari penyakit campak dan kebal terhadap
penyakit campak. Total populasi dinyatakan dengan .
1. Asumsi-Asumsi yang Digunakan
Model penebaran penyakit diturunkan dengan menggunakan asumsi atau batasan tertentu. Asumsi-asumsi yang digunakan untuk merumuskan model penyakit campak
dengan pengaruh vaksinasi sebagai berikut: a.
Jumlah populasi diasumsikan cukup besar sehingga dapat dinggap sebagai variabel kontinu.
b. Populasi diasumsikan tertutup. Oleh karena itu, tidak ada populasi yang masuk
ke dalam populasi atau keluar dari populasi tersebut. c.
Faktor kelahiran dan kematian diperhatikan. d.
Setiap individu yang lahir diasumsikan rentan terhadap penyakit campak. e.
Setiap individu mempunyai kemungkinan yang sama dalam melakukan kontak dengan individu lain.
f. Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dari penyakit dan dapat
meninggal akibat penyakit. g.
Diasumsikan hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi.
44
h. Vaksin hanya diberikan pada individu yang baru lahir.
i. Keampuhan vaksinasi adalah 100. Hal tersebut berarti setiap individu yang
telah mendapatkan vaksin akan kebal dari penyakit. j.
Kekebalan yang terjadi karena vaksin bersifat permanen
2. Formulasi Model Matematika SEIR pada Penyebaran Penyakit Campak
Didefinisikan parameter yang digunakan untuk membentuk model matematika SEIR pada penyebaran penyakit campak yaitu :
= angka kelahiran Jiwa per hari = angka kematian alami Jiwa per hari
= laju kontak Jiwa per hari = angka infektivitas Jiwa per hari
= angka kesembuhan Jiwa per hari = angka kematian karena campak Jiwa per hari
= persentase sukses vaksinasi pada kelahiran proportion of those successively vaccinated at birth
Setiap individu yang baru lahir, masuk ke dalam kelas susceptible. Kemudian keluar dari kelas susceptible, karena memasuki kelas exposed individu yang terjangkit
melakukan kontak langsung dengan individu lain atau mengalami kematian secara alami kematian yang bukan disebabkan karena penyakit campak.
45 ��
� �
�
�E I
�S �E
�I �R
�
I Seseorang akan masuk ke dalam kelas exposed ketika virus menyerang manusia
pada kelas susceptible, dan individu yang terjangkit melakukan kontak langsung dengan individu lain dalam populasi. Kemudian keluar dari kelas exposed, karena
virus berkembang dan menginfeksi maka individu dari kelas exposed masuk kelas infectious, atau karena kematian alami.
Seseorang akan masuk kelas infectious karena virus telah menginfeksi individu dari kelas exposed. Pada kelas ini, individu dapat sembuh atau meninggal baik
kematian secara alami atau kematian akibat penyakit. Jika seseorang meninggal secara alami atau akibat penyakit maka secara otomatis akan keluar dari sistem. Selanjutnya
jika seseorang sembuh dari penyakit maka akan masuk ke dalam kelas recovered. Setelah waktu tertentu, seseorang dapat sembuh dan memasuki kelas recovered.
Seseorang dapat memasuki kelas recovered karena telah diberikan vaksinasi dan selanjutnya keluar dari kelas recovered karena kematian alami.
Dari penjelasan di atas, diperoleh diagram alur model matematika penyakit campak dengan vaksinasi sebagai berikut :
Gambar 3.1 Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Vaksinasi
St Et
Rt It
46
Didefinisikan adalah angka kelahiran. Jumlah individu yang lahir dalam
populasi tiap satuan waktu selalu konstan. Jumlah populasi yang lahir proporsional dengan total populasi
. Oleh karena itu, jumlah populasi yang lahir dalam populasi adalah
. Jumlah populasi yang lahir tersebut akan memasuki kelompok
. adalah angka kematian alami, berdasarkan asumsi angka kelahiran sama
dengan angka kematian, maka jumlah populasi yang mati pada setiap kelompok proposional dengan jumlah populasi pada masing-masing kelompok. Oleh karena
itu, jumlah kematian pada kelompok S, E, R masing-masing sebesar S, E, R,
sedangkan pada kelompok I sebesar I dengan adalah kematian karena
penyakit campak. adalah angka besarnya populasi yang terinfeksi dimana adalah
koefisien transmisi yang merupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit, individu rentan memperoleh infeksi
dan angka
timbulnya penyakit
pada populasi
yang terinfeksi
. adalah angka terinfeksi dari individu yang telah exposed. Notasi
adalah angka kesembuhan dari individu yang telah terinfeksi. Notasi adalah
persentase populasi rentan yang di vaksinasi per satuan waktu. Notasi adalah
persentase kelas rentan yang berhasil divaksinasi dan memasuki kelas rentan. Berikut akan ditentukan model persamaan diferensial untuk masing-masing kelas.
47
i. Model untuk kelas Susceptible
Besarnya jumlah individu yang rentan atau perubahan kelas rentan terhadap waktu dipengaruhi oleh jumlah individu yang lahir dalam
populasi kemudian akan menurun dengan adanya proporsi sukses
vaksinasi pada kelahiran sebesar , angka individu exposed
, dan angka kematian alami
. Sehingga diperoleh persamaan .
ii. Model untuk kelas Exposed
Besarnya angka individu yang terjangkit atau perubahan kelas exposed terhadap waktu dipengaruhi oleh jumlah individu yang terekspos
kemudian akan menurun dengan populasi yang terinfeksi dan angka kematian alami
. Sehingga diperoleh persamaan .
iii. Model untuk kelas Infected
Besarnya jumlah individu yang terinfeksi atau perubahan kelas infeksi terhadap waktu dipengaruhi oleh jumlah yang terinfeksi
kemudian akan menurun dengan adanya jumlah individu yang sembuh dan angka kematian alami dan angka kematian karena penyakit
campak . Sehingga diperoleh persamaan
.
48
iv. Model untuk kelas Recovered
Besarnya jumlah individu yang sembuh atau perubahan dari kelas recovered terhadap waktu dipengaruhi oleh adanya proporsi sukses
vaksinasi pada kelahiran dan angka kesembuhan dari jumlah individu
yang terinfeksi dan angka kematian alami . Sehingga
diperoleh persamaan .
Dari gambar 3.1 dan uraian diatas diperoleh model matematika penyakit campak dengan vaksinasi adalah sebagai berikut.
3.1a
3.1b
3.1c
3.1d
Dengan dan
Persamaan 3.1a, 3.1b, 3.1c, 3.1d, selanjutnya disebut sistem 3.1. Sistem 3.1 dapat diskala dengan total populasi
untuk menyederhanakan dan mempermudah analisis yang dilakukan. Proporsi banyaknya individu pada
masing-masing kelompok dapat dinyatakan sebagai berikut :
49
3.2
dari persamaan 3.2, diperoleh : 3.3
Oleh karena itu, dengan persamaan 3.2, sistem 3.1 dapat dinyatakan sebagai berikut :
3.4a
3.4b
3.4c
3.4d
Selanjutnya akan ditunjukkan total populasi tidak konstan. Diketahui
3.5
50
Turunan pertama dari Persamaan 3.5 terhadap adalah
3.6
Substitusikan sistem 3.1 ke persamaan 3.6, sehingga diperoleh
3.7
Karena turunan pertama dari tidak sama dengan nol, maka dapat
disimpulkan bahwa populasi tidak konstan. Untuk menentukan proporsi di setiap kelas terlebih dahulu akan dicari proporsi
dari .
51
3.8
Berdasarkan persamaan 3.4a, 3.4b, 3.4c, dan 3.4d akan ditentukan laju proporsi untuk masing-masing kelas.
i. Laju Proporsi untuk Kelas Susceptible
Laju proporsi kelas susceptible merupakan banyaknya individu rentan dalam populasi.
52
Berdasarkan persamaan 3.4a diperoleh :
ii. Laju Proporsi untuk Kelas Exposed
Laju proporsi kelas exposed merupakan rata-rata banyaknya individu yang terjangkit penyakit tetapi belum dapat menularkannya.
Berdasarkan persamaan 3.4b diperoleh :
iii. Laju Proporsi
untuk Kelas Infected
3.9a
3.9b
53
Laju proporsi kelas infected merupakan rata-rata banyaknya individu terinfeksi dalam populasi.
Berdasarkan persamaan 3.4c diperoleh :
iv. Laju Proporsi untuk Kelas Recovered
Laju proporsi kelas recovered merupakan rata-rata banyaknya individu yang telah sembuh dari penyakit dalam populasi.
Berdasarkan persamaan 3.4d diperoleh : 3.9c
3.9d
54
Berdasarkan persamaan 3.9a, 3.9b, 3.9c, dan 3.9d dapat dibentuk transformasi dari sistem 3.1 yaitu :
3.10a
3.10b
3.10c
3.10d
Sistem 3.10 adalah sistem persamaan non linear yang merupakan hasil transformasi model matematika
pada penyebaran penyakit campak yang terdapat pada sistem 3.1
B. Titik Kesetimbangan Model
