28
J. Analisis Kestabilan
Analisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui apakah suatu penyakit menyebar atau menghilang dari suatu populasi, sehingga dapat dilakukan tindakan
lebih lanjut. Kestabilan titik kesetimbangan dari suatu sistem persamaan diferensial baik linear maupun nonlinear diberikan dalam definisi berikut.
Definisi 2. 10 Olsder and Woude, 2004: 53
Diberikan sistem persaman diferensial orde satu ̇ dengan
dan adalah solusi persamaan tersebut pada saat t dengan kondisi awal
i Vektor
̂ yang memenuhi ̂ dikatakan sebagai titik ekuilibrium.
ii Titik kesetimbangan
̂ dikatakan stabil jika untuk setiap , terdapat
sedemikian sehingga jika ‖ ̂‖ dengan ‖ ‖
adalah norm pada , maka
‖ ̂‖ untuk .
iii Titik kesetimbangan ̂ dikatakan stabil asitotik jika titik
kesetimbangannya stabil dan terdapat sedemikian sehingga
‖ ̂‖ , bila ‖
̂‖ .
iv Titik kesetimbangan ̂ dikatakan tidak stabil jika titik kesetimbangan
tersebut tidak memenuhi ii.
29
Definisi 2.10 disimulasikan pada Gambar 2.2
Gambar 2.2 Ilustrasi Kestabilan Diberikan penjelasan mengenai sifat kestabilan suatu sistem yang dilihat dari nilai
eigen untuk mempermudah dalam menganalisis kestabilan di sekitar titik kesetimbangan. Penjelasan tersebut dijelaskan dalam Teorema 2.2 berikut,
Teorema 2.2 Olsder and Woude, 2004: 58
Diberikan sistem persamaan diferensial ̇ , dengan suatu matriks
berukuran mempunyai nilai eigen berbeda
dengan .
i Titik kesetimbangan
̂ dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika
untuk . ii
Titik kesetimbangan ̂ dikatakan stabil jika dan hanya jika
untuk dan jika setiap nilai eigen imajiner
dengan , maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk
nilai eigen harus sama. iii
Titik kesetimbangan ̂ dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat paling sedikit satu
untuk .
� � �
�̂ �̂
� � �
� � �
�̂
30
Bukti : i
Akan dibuktikan bahwa jika titik kesetimbangan ̂ stabil
asimtotik, maka untuk .
Berdasarkan definisi 2.10, titik kesetimbangan ̂
dikatakan stabil asimtotik jika ‖
̂‖ . Hal ini berarti bahwa untuk
akan menuju ̂ . Karena merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka
memuat . Oleh karena itu, supaya
menuju ̂ , maka haruslah bernilai negatif.
Akan dibuktikan bahwa jika untuk
maka titik kesetimbangan ̂ stabil asimtotik.
merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka selalu memuat
. Jika , maka untuk
akan menuju ̂ . Berdasarkan definisi 2.10, titik kesetimbangan
̂ stabil asimtotik. ii
Akan dibuktikan bahwa titik kesetimbangan ̂ stabil, maka
untuk .
Andaikan , maka solusi persamaan diferensial
yang selalu memuat akan menuju
menjauh dari titik
31
kesetimbangan ̂ untuk , sehingga sistem tidak stabil. Hal
ini sesuai dengan kontraposisi pernyataan jika titik kesetimbangan ̅ stabil, maka
untuk . Jadi terbukti bahwa jika titik kesetimbangan
̂ stabil, maka untuk
Akan dibuktikan bahwa jika untuk , maka
titik kesetimbangan ̂ stabil dan jika ada
, maka multiplisitas aljabar dan geometri harus sama.
Penyelesaian merupakan solusi dari sistem
persamaan diferensial, maka selalu memuat
. Jika , maka titik kesetimbangan ̂ stabil asimtotik pasti
stabil. Jika , maka nilai eigen berupa bilangan kompleks
murni. Multiplisitas aljabar berhubungan dengan nilai eigen sedangkan geometri berhubungan dengan vektor eigen. Oleh karena itu, akan
dibuktikan bahwa banyak nilai eigen dan vektor eigen adalah sama. Tanpa mengurangi pembuktian secara umum, diambil
sebarang sistem pada yang mempunyai nilai eigen bilangan
kompleks murni. Diambil sistem sebagai berikut [
̇ ̇ ]
, dengan ,
2.21 a.
Akan ditentukan nilai eigen dari sistem 2.21 | |
32
| |
Diperoleh persamaan karakteristik
Akar dari persamaan 2.20 adalah √
√ √
√ atau √
b. Vektor Eigen
Berdasarkan definisi, adalah vektor eigen dari
yang bersesuaian dengan jika dan hanya jika adalah
pemecahan nontrivial dari
2.22 Untuk
√ maka persamaan 2.22 menjadi [ √
√ ]
2.23
Matriks augmented dari sistem 2.23 yaitu [ √
√ | ] baris pertama dikali dengan
√
33
[ √
√ | ] baris kedua dikali dengan
kemudian dikurangi dengan baris pertama
[ √
| ] Diperoleh
√
√
Misal , maka
√
[
√
], diambil diperoleh [
√
]
Oleh karena itu, vektor eigen yang bersesuaian dengan √
adalah
[ √
]
iii Akan dibuktikan bahwa jika titik kesetimbangan ̂ tidak stabil,
maka terdapat paling sedikit satu untuk
Titik kesetimbangan tidak stabil, jika untuk solusi persamaan
diferensial akan menuju . Hal ini dapat terpenuhi jika
terdapat paling sedikit satu .
34
Diketahui bahwa jika terdapat paling sedikit satu maka
solusi persamaan diferensial yang memuat
akan menuju
. Oleh karena itu, titik kesetimbangan ̂ tidak stabil
K. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz