Analisis Kestabilan ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIR (SUSCEPTIBLE-EXPOSEDINFECTED- RECOVERED) DENGAN VAKSINASI PADA PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DI KABUPATEN SLEMAN PROVINSI DIY.

28

J. Analisis Kestabilan

Analisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui apakah suatu penyakit menyebar atau menghilang dari suatu populasi, sehingga dapat dilakukan tindakan lebih lanjut. Kestabilan titik kesetimbangan dari suatu sistem persamaan diferensial baik linear maupun nonlinear diberikan dalam definisi berikut. Definisi 2. 10 Olsder and Woude, 2004: 53 Diberikan sistem persaman diferensial orde satu ̇ dengan dan adalah solusi persamaan tersebut pada saat t dengan kondisi awal i Vektor ̂ yang memenuhi ̂ dikatakan sebagai titik ekuilibrium. ii Titik kesetimbangan ̂ dikatakan stabil jika untuk setiap , terdapat sedemikian sehingga jika ‖ ̂‖ dengan ‖ ‖ adalah norm pada , maka ‖ ̂‖ untuk . iii Titik kesetimbangan ̂ dikatakan stabil asitotik jika titik kesetimbangannya stabil dan terdapat sedemikian sehingga ‖ ̂‖ , bila ‖ ̂‖ . iv Titik kesetimbangan ̂ dikatakan tidak stabil jika titik kesetimbangan tersebut tidak memenuhi ii. 29 Definisi 2.10 disimulasikan pada Gambar 2.2 Gambar 2.2 Ilustrasi Kestabilan Diberikan penjelasan mengenai sifat kestabilan suatu sistem yang dilihat dari nilai eigen untuk mempermudah dalam menganalisis kestabilan di sekitar titik kesetimbangan. Penjelasan tersebut dijelaskan dalam Teorema 2.2 berikut, Teorema 2.2 Olsder and Woude, 2004: 58 Diberikan sistem persamaan diferensial ̇ , dengan suatu matriks berukuran mempunyai nilai eigen berbeda dengan . i Titik kesetimbangan ̂ dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika untuk . ii Titik kesetimbangan ̂ dikatakan stabil jika dan hanya jika untuk dan jika setiap nilai eigen imajiner dengan , maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama. iii Titik kesetimbangan ̂ dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat paling sedikit satu untuk . � � � �̂ �̂ � � � � � � �̂ 30 Bukti : i Akan dibuktikan bahwa jika titik kesetimbangan ̂ stabil asimtotik, maka untuk . Berdasarkan definisi 2.10, titik kesetimbangan ̂ dikatakan stabil asimtotik jika ‖ ̂‖ . Hal ini berarti bahwa untuk akan menuju ̂ . Karena merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka memuat . Oleh karena itu, supaya menuju ̂ , maka haruslah bernilai negatif. Akan dibuktikan bahwa jika untuk maka titik kesetimbangan ̂ stabil asimtotik. merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka selalu memuat . Jika , maka untuk akan menuju ̂ . Berdasarkan definisi 2.10, titik kesetimbangan ̂ stabil asimtotik. ii Akan dibuktikan bahwa titik kesetimbangan ̂ stabil, maka untuk . Andaikan , maka solusi persamaan diferensial yang selalu memuat akan menuju menjauh dari titik 31 kesetimbangan ̂ untuk , sehingga sistem tidak stabil. Hal ini sesuai dengan kontraposisi pernyataan jika titik kesetimbangan ̅ stabil, maka untuk . Jadi terbukti bahwa jika titik kesetimbangan ̂ stabil, maka untuk Akan dibuktikan bahwa jika untuk , maka titik kesetimbangan ̂ stabil dan jika ada , maka multiplisitas aljabar dan geometri harus sama. Penyelesaian merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka selalu memuat . Jika , maka titik kesetimbangan ̂ stabil asimtotik pasti stabil. Jika , maka nilai eigen berupa bilangan kompleks murni. Multiplisitas aljabar berhubungan dengan nilai eigen sedangkan geometri berhubungan dengan vektor eigen. Oleh karena itu, akan dibuktikan bahwa banyak nilai eigen dan vektor eigen adalah sama. Tanpa mengurangi pembuktian secara umum, diambil sebarang sistem pada yang mempunyai nilai eigen bilangan kompleks murni. Diambil sistem sebagai berikut [ ̇ ̇ ] , dengan , 2.21 a. Akan ditentukan nilai eigen dari sistem 2.21 | | 32 | | Diperoleh persamaan karakteristik Akar dari persamaan 2.20 adalah √ √ √ √ atau √ b. Vektor Eigen Berdasarkan definisi, adalah vektor eigen dari yang bersesuaian dengan jika dan hanya jika adalah pemecahan nontrivial dari 2.22 Untuk √ maka persamaan 2.22 menjadi [ √ √ ] 2.23 Matriks augmented dari sistem 2.23 yaitu [ √ √ | ] baris pertama dikali dengan √ 33 [ √ √ | ] baris kedua dikali dengan kemudian dikurangi dengan baris pertama [ √ | ] Diperoleh √ √ Misal , maka √ [ √ ], diambil diperoleh [ √ ] Oleh karena itu, vektor eigen yang bersesuaian dengan √ adalah [ √ ] iii Akan dibuktikan bahwa jika titik kesetimbangan ̂ tidak stabil, maka terdapat paling sedikit satu untuk Titik kesetimbangan tidak stabil, jika untuk solusi persamaan diferensial akan menuju . Hal ini dapat terpenuhi jika terdapat paling sedikit satu . 34 Diketahui bahwa jika terdapat paling sedikit satu maka solusi persamaan diferensial yang memuat akan menuju . Oleh karena itu, titik kesetimbangan ̂ tidak stabil

K. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz